Trigonométrie/Exercices/Triangle particulier

Dans cette page, si rien n'est précisé, on considère un triangle $ABC$ et on pose :

$a=BC\qquad b=AC\qquad c=AB$

Les mesures des angles du triangle seront notées $A,\,B,\,C$

Exercice 14-1

1°  Que peut-on dire d'un triangle si l'on a :

$\sin A+\cos A=\sin B+\cos B$

2°  Même question pour :

$\sin A\cos A=\sin B\cos B$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-2

Les côtés d'un triangle valent :

$x^{2}+x+1,\qquad 2x+1,\qquad x^{2}-1,\qquad (x>1)$.

Montrer que l'un des angles vaut ${\frac {2\pi }{3}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-3

Démontrer que si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, on a les relations :

1°  $\tan {\frac {B}{2}}={\frac {b}{a+c}}$

2°  $\tan 2B={\frac {2bc}{c^{2}-b^{2}}}$

3°  $\cos(B-C)={\frac {2bc}{a^{2}}}$

4°  $\cos 2B={\frac {c^{2}-b^{2}}{a^{2}}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-4

1°  Montrer que si dans un triangle on a :

$\sin ^{2}A=\sin ^{2}B+\sin ^{2}C$

le triangle est rectangle.

2°  Même question avec :

$\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C=2$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-5

Démontrer que les relations suivantes caractérisent un triangle rectangle :

1°  $b\cos B+c\cos C=2a\sin B\sin C$

2°  $\sin A={\frac {\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}}$

3°  $\sin C=\cos A+\cos B$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-6

On suppose que dans un triangle $ABC$ on a : $B=2C$. Démontrer que l'on a :

$b=2c\cos C;\qquad ac=b^{2}-c^{2}$

Étudier les réciproques

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-7

Démontrer que si l'on a :

$6A=4B=3C$

on a aussi :

$\cos {\frac {A}{2}}={\frac {a+c}{2b}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-8

Démontrer que si l’on a : $2b=a+c$, on a aussi :

1°  $\tan {\frac {a}{2}}\tan {\frac {c}{2}}={\frac {1}{3}}$

2°  $4(1-\cos A)(1-\cos C)=\cos A+\cos C$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-9

Montrer que si :

$b-a=nc\qquad n\in N^{*}$

on a aussi :

1°  $\cos \left(A+{\frac {C}{2}}\right)=n\cos {\frac {C}{2}}$

2°  $\tan {\frac {B-A}{2}}={\frac {n\sin B}{1+n\cos B}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 14-10

Que peut-on dire d'un triangle si l'on a :

1°  $\sin B=2\sin C\cos A$

2°  $\sin A\sin B=\cos ^{2}{\frac {C}{2}}$

3°  $a=2b\sin {\frac {A}{2}}$

4°  $\sin {\frac {A}{2}}\cos ^{3}{\frac {B}{2}}=\sin {\frac {B}{2}}\cos ^{3}{\frac {A}{2}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}