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Exercice : Simplification d'expressions
Trigonométrie/Exercices/Simplification d'expressions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Simplifiez :
1°
;
2°
.
Solution
1°
.
2°
.
Simplifiez :
1°
2°
.
Solution
donc :
1°
;
2°
.
Exprimer l'expression suivante en fonction de
et
:
.
Solution
.
Simplifier l'expression :
.
Solution
![{\displaystyle 1=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{3}=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x)=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47cfa2c6ef5d1595602c690d82b681c44d99146)
et
![{\displaystyle 1=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{2}=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x+2\sin ^{2}x\cos ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71233f5d0df9fda7faea87fe60849de4fe191353)
donc
.
Montrer que les expressions :
1°
2°
3°
peuvent s'exprimer à l'aide de la seule fonction
.
Solution
1°
.
2°
.
3°
.
Montrer que les expressions :
1°
2°
3°
4°
peuvent s'exprimer à l'aide de la seule fonction
.
Solution
1°
.
2°
.
3°
.
4°
.
Simplifier les expressions :
1°
;
2°
;
3°
;
4°
.
Solution
1°
.
2°
.
3°
.
4°
donc (cf. exercice 4-4)
.
Simplifier les expressions :
1°
;
2°
;
3°
;
4°
.
Solution
1°
.
2°
et
.
3°
.
4°
.
Simplifier les expressions :
1°
;
2°
.
Solution
1°
(voir aussi l'exercice suivant).
2°
.
1° On considère les expressions :
![{\displaystyle S=\sin x+\sin(x+r)+\sin(x+2r)+\cdots +\sin[x+(n-1)r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68b8a884242ebd3cda6fe4d74c949e867dd5c20)
![{\displaystyle S'=\cos x+\cos(x+r)+\cos(x+2r)+\cdots +\cos[x+(n-1)r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47de1f4e31a3ac6d445e38edc18067e4c3794550)
- que l'on se propose de simplifier.
- a) À cet effet, on calculera
et
et l'on transformera chaque produit partiel en une différence de sinus ou de cosinus.
- b) Étudier le cas où
![{\displaystyle r={\frac {2\pi }{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048eb02c0e93265af1b2b828591dec49374b871d)
2° Pour
non multiple de
, simplifier les expressions :
- a)
;
- b)
;
- c)
;
- d)
.
3° Pour
non multiple de
, simplifier l'expression :
.
Solution
1° a)
- La formule
donne
![{\displaystyle \sin(x+kr)\sin {\frac {r}{2}}={\frac {\cos(x+(k-{\frac {1}{2}})r)-\cos(x+(k+{\frac {1}{2}})r)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a530e5f848280cbf444e5ab8aaf97b66054384)
- donc (en sommant de
à
et en remarquant que les termes intermédiaires s'éliminent 2 par 2) :
;
- puis, la formule
donne
.
- De même, la formule
donne
![{\displaystyle \cos(x+kr)\sin {\frac {r}{2}}={\frac {-\sin(x+(k-{\frac {1}{2}})r)+\sin(x+(k+{\frac {1}{2}})r)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda3da7475b4f9f1f0e2d3f587288b657323414b)
- donc
;
- puis, la formule
donne
.
- Finalement, on a trouvé
,
- sauf bien sûr si
, c'est-à-dire
multiple de
, auquel cas
et
.
- b) Lorsque
,
donc
.
2° a) Dans le cas
,
.
- b) Le cas
et
donne (en remplaçant
par
dans
)
.
- c)
.
- d)
(on peut vérifier que c) + d) = n + 1).
3° La question 1, appliquée à
et
, donne
.