Théorie physique des distributions/Exercices/Transformée de Fourier

Exercice 6-1

1°  Calculer la transformée de Fourier de la distribution $T_{a}:=\delta _{-a}+\delta _{a}$.

Solution

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}T_{a}(x)&={\mathcal {F}}\delta _{-a}(x)+{\mathcal {F}}\delta _{a}(x)\\&=\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \pi ax}+\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ax}\\&=2\cos(2\pi ax).\end{aligned}}$

 

2°  Calculer la transformée de Fourier de la distribution régulière associée aux fonctions $f_{1}(t):=\operatorname {e} ^{-|t|}$ et $f_{2}(t):=\operatorname {e} ^{-|t|}\sin t$.

Solution

${\mathcal {F}}T_{f_{i}}=T_{{\mathcal {F}}{f_{i}}}$, avec

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}f_{1}(x)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {e} ^{-|t|}\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{0}\operatorname {e} ^{(1-2\mathrm {i} \pi x)t}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{(-1-2\mathrm {i} \pi x)t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{1-2\mathrm {i} \pi x}}+{\frac {1}{1+2\mathrm {i} \pi x}}\\&={\frac {2}{1+4\pi ^{2}x^{2}}}.\end{aligned}}$

$f_{2}(t)={\frac {f_{3}(t)-f_{3}(-t)}{2\mathrm {i} }}$ avec $f_{3}(t):=\operatorname {e} ^{-|t|}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$. Par un calcul analogue au précédent, ${\mathcal {F}}f_{3}(x)={\frac {1}{1+\mathrm {i} (1-2\pi x)}}+{\frac {1}{1-\mathrm {i} (1-2\pi x)}}={\frac {2}{1+(1-2\pi x)^{2}}}$, donc ${\mathcal {F}}f_{2}(x)={\frac {Ff_{3}(x)-Ff_{3}(-x)}{2\mathrm {i} }}=-\mathrm {i} \left({\frac {1}{1+(1-2\pi x)^{2}}}-{\frac {1}{1+(1+2\pi x)^{2}}}\right)={\frac {-2\mathrm {i} \pi x}{1+4\pi ^{4}x^{4}}}$

 

Exercice 6-2

On rappelle la définition de la fonction porte Π étudiée dans l'exercice 4-1 :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \Pi (x)=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {si} &x<-{\frac {1}{2}}\\1&\mathrm {si} &-{\frac {1}{2}}\leqslant x<{\frac {1}{2}}\\0&\mathrm {si} &{\frac {1}{2}}\leqslant x\end{matrix}}\right.$

a - Calculer directement la transformée de Fourier de la fonction Π.

b - Calculer la transformée de Fourier de la fonction Π après l'avoir écrit en fonction de la fonction de Heaviside.

Solution

a - On peut utiliser la formule classique :

${\begin{aligned}\forall f\in \mathbb {R} \quad {\mathcal {F}}(\Pi )(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\Pi (t)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-1/2}^{1/2}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{-2\mathrm {i} \pi f}}\left[\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\right]_{-1/2}^{1/2}\\&={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi f}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi f}}{2\mathrm {i} \pi f}}\\&={\frac {\sin \left(\pi f\right)}{\pi f}}.\end{aligned}}$

b - On peut aussi remarquer que :

$\Pi (x)=H(x+{\frac {1}{2}})-H(x-{\frac {1}{2}})=\tau _{-{\frac {1}{2}}}.H(x)-\tau _{\frac {1}{2}}.H(x)=\delta _{-{\frac {1}{2}}}\star H(x)-\delta _{\frac {1}{2}}\star H(x)=\left(\delta _{-{\frac {1}{2}}}-\delta _{\frac {1}{2}}\right)\star H(x)$

Nous voyons que nous avons besoin de la transformée de Fourier de la fonction de Heaviside.

$\forall x\in \mathbb {R} \quad {\mathcal {F}}.H(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}H(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi x}}$.

Nous en déduisons le même résultat que précédemment :

${\mathcal {F}}.\Pi (x)=\left({\mathcal {F}}.\delta _{-{\frac {1}{2}}}-{\mathcal {F}}.\delta _{\frac {1}{2}}\right)\times {\mathcal {F}}.H(x)=\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi x}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi x}\right)\times {\frac {1}{2\mathrm {i} \pi x}}={\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}$.

 

Exercice 6-3

On rappelle la définition de la fonction ⋀ rencontrée dans l'exercice 4-1 :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \wedge (x)=\left\{{\begin{matrix}1-|x|&\mathrm {si} &|x|\leqslant 1\\0&\mathrm {si} &|x|>1\end{matrix}}\right.$

a - Calculer directement la transformée de Fourier de la fonction ⋀.

b - On a vu dans l'exercice 4-1 que ⋀ = Π ⋆ Π. En déduire un autre calcul de la transformée de Fourier de la fonction ⋀.

Solution

a - On peut utiliser la formule classique :

${\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} \quad {\mathcal {F}}.\wedge (x)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2i\pi x.t}.\wedge (t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-1}^{1}e^{-2i\pi x.t}(1-|t|)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-1}^{0}e^{-2i\pi x.t}(1+t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}e^{-2i\pi x.t}(1-t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-1}^{0}e^{-2i\pi x.t}\,\mathrm {d} t+\int _{-1}^{0}e^{-2i\pi x.t}.t\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}e^{-2i\pi x.t}\,\mathrm {d} t-\int _{0}^{1}e^{-2i\pi x.t}.t\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-1}^{1}e^{-2i\pi x.t}\,\mathrm {d} t+\left[-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x.t}.t\right]_{-1}^{0}+{\frac {1}{2i\pi x}}\int _{-1}^{0}e^{-2i\pi x.t}\,\mathrm {d} t-\left[-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x.t}.t\right]_{0}^{1}-{\frac {1}{2i\pi x}}\int _{0}^{1}e^{-2i\pi x.t}\,\mathrm {d} t\\&=\left[-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x.t}\right]_{-1}^{1}-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{2i\pi x}+{\frac {1}{2i\pi x}}\left[-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x.t}\right]_{-1}^{0}+{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x}-{\frac {1}{2i\pi x}}\left[-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x.t}\right]_{0}^{1}\\&=-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x}+{\frac {1}{2i\pi x}}e^{2i\pi x}-{\frac {1}{2i\pi x}}e^{2i\pi x}+{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}e^{2i\pi x}+{\frac {1}{2i\pi x}}e^{-2i\pi x}-{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}e^{-2i\pi x}+{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}\\&={\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}e^{2i\pi x}-{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}e^{-2i\pi x}+{\frac {1}{4\pi ^{2}x^{2}}}\\&={\frac {1}{2\pi ^{2}x^{2}}}-{\frac {1}{2\pi ^{2}x^{2}}}{\frac {e^{2i\pi x}+e^{-2i\pi x}}{2}}\\&={\frac {1}{2\pi ^{2}x^{2}}}-{\frac {1}{2\pi ^{2}x^{2}}}\cos(2\pi x)\\&={\frac {1}{\pi ^{2}x^{2}}}{\frac {1-\cos(2\pi x)}{2}}\\&={\frac {1}{\pi ^{2}x^{2}}}\sin ^{2}(\pi x)\end{aligned}}$

b - Si ⋀ = Π ⋆ Π, on en déduit :

${\mathcal {F}}.\wedge (x)={\mathcal {F}}.\Pi (x)\times {\mathcal {F}}.\Pi (x)={\frac {1}{\pi x}}\sin(\pi x)\times {\frac {1}{\pi x}}\sin(\pi x)={\frac {1}{\pi ^{2}x^{2}}}\sin ^{2}(\pi x)$

Nous remarquons que nous obtenons le même résultat que précédemment.