Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces des distributions

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Espaces des distributions
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Introduction des distributions

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Espaces de base
Exo suiv. :Dérivation
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Espaces des distributions
Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces des distributions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer, en déterminant son support, que la distribution de Dirac est un élément de l'espace .


Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

a - Montrez que :


b - Pour y réel et fixé, calculer :


c - Montrez que, pour y fixé, et n suffisamment grand :


d - φ étant une fonction-test de , utiliser le théorème de la convergence dominée pour calculer :


e - en déduire que la distribution de Dirac peut être la limite d'une suite de polynômes.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

a - Montrer que pour toute fonction ψ indéfiniment dérivable sur ℝ, et pour tout intervalle borné [a;b],


b - En utilisant l'égalité :

montrer qu'au sens des distributions :

On pourra utiliser l'exercice 1-3 et on rappelle la relation bien connue :

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

On définit, sur ℝ, une famille de fonction uα en posant :

a - Montrer que u1 est sommable.

b - En déduire, qu'au sens des distributions :


Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

(espace disponible pour y rajouter un exercice)


Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit f, une fonction sommable vérifiant la propriété :

Montrer que, au sens de la convergence des distributions, on a alors :


Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle la relation bien connue :


a - Calculer :


b - Montrer qu'au sens des distribution :


c - Calculer :