Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier

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Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Chapitre no 46
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes libres, premiers éléments
Chap. suiv. :Groupes libres : théorème de Howson

Exercices :

Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Théorie des groupes/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Wikipédia possède un article à propos de « Jakob Nielsen ».
Wikipédia possède un article à propos de « Otto Schreier ».

Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est lui-même un groupe libre. La longueur du chapitre tient surtout à ce qu'on est entré dans des minuties dont on espère qu'elles aideront le lecteur à se sentir en terrain solide[1].

Pour un ensemble X, nous définirons, comme au chapitre Groupes libres, premiers éléments, le groupe libre F(X) construit sur X comme l'ensemble des mots signés réduits sur X, muni de la loi de groupe « juxtaposition suivie de réduction ».

Comme au chapitre Groupes libres, premiers éléments, nous noterons la base canonique de F(X), c'est-à-dire l'ensemble des ((x, 1)), où x parcourt X. Donc est l'ensemble de ce que nous appelons les lettres signées sur X, autrement dit l'ensemble des mots signés (réduits) de longueur 1 sur X.

Pour un mot signé et un mot signé , nous utiliserons de nouveau la notation pour désigner le mot signé

(non forcément réduit, même si et le sont).

Segments initiaux et parties schreiériennes[modifier | modifier le wikicode]


Dire que est un segment initial de revient à dire qu'il existe un mot signé tel que . Le mot signé vide et w lui-même sont des segments initiaux de w. Si le plus long segment initial propre de est



D'après la seconde des caractérisations qu'on vient de donner d'une partie schreiérienne, il est clair que toute partie schreiérienne de F(X) comprend l'élément 1 de F(X), c'est-à-dire le mot signé vide.

Transversales droites de Schreier[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème
Image logo représentative de la faculté Faculté de Mathématiques Faites ces exercices : Problème 4 (une preuve d'existence de transversales de Schreier s'appuyant sur le lemme de Zorn).


Démonstration. Dans la présente démonstration, on dira simplement « classe à droite » pour « classe à droite de H dans F(X) ».

Pour toute classe à droite C, définissons la longueur de C comme le plus petit nombre naturel n tel que C comprenne un élément (mot signé) de longueur n.

Pour tout nombre naturel n, désignons par l'ensemble des classes à droite de longueur n. (Il est possible que soit vide. Si H est d'indice fini dans F(X), il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite, donc les longueurs de ces classes ne prennent qu'un nombre fini de valeurs.)

Soit n un nombre naturel, soit une partie de F(X) possédant les propriétés suivantes :

(1) tout élément de est de longueur n et appartient à une classe à droite de longueur n;
(2) pour toute classe à droite C de longueur n, il existe un et un seul élément de qui appartient à C.

Soit maintenant K une classe à droite de longueur n + 1 (s'il en existe). Nous allons prouver

(thèse 3) qu'il existe dans K un mot signé de longueur n + 1 dont le plus long segment initial propre (autrement dit le segment initial de longueur n) appartient à .

Nous avons donc démontré notre thèse (3), à savoir que si satisfait aux hypothèses (1) et (2), alors toute classe à droite K de longueur n + 1 comprend un mot signé de longueur n + 1 dont le plus long segment initial propre appartient à .

D'après l'axiome du choix, il existe donc une application de dans F(S) telle que, pour toute classe à droite K de longueur n + 1,

(7) soit un mot signé de longueur n + 1 appartenant à K

et

(8) le plus long segment initial propre de appartienne à

Désignons par l'image de l'application .

Alors, d'après (7) et (8),

(9) tout élément de est un mot signé de longueur n + 1 et appartient à une classe à droite de longueur n + 1 ;
(10) pour toute classe à droite K de longueur n + 1, il existe un et un seul élément de qui appartient à K ;
(11) pour tout élément v de , le plus long segment initial propre de v appartient à

Les deux premières de ces trois propriétés sont les analogues de (1) et (2) avec n + 1 au lieu de n. D'après la théorie des ensembles, nous pouvons donc construire inductivement, en partant de une suite infinie

possédant les propriétés suivantes :

(12) tout élément de est de longueur n et appartient à une classe à droite de longueur n ;
(13) pour toute classe à droite C de longueur n, il existe un et un seul élément de qui appartient à C ;
(14) pour tout élément v de , le plus long segment initial propre de v appartient à

Prouvons que est alors une transversale droite de Schreier de H dans F(X).

Ceci achève la démonstration du lemme 1. ◻

Théorème de Nielsen-Schreier dans F(X)[modifier | modifier le wikicode]

On va maintenant démontrer le théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre. Quelques lemmes qu'on utilisera à cette fin serviront encore à démontrer un autre théorème, le théorème de Howson.

Soient X un ensemble, T une partie schreiérienne de F(X), w un élément de F(X) n'appartenant pas à T. Il existe au moins un segment initial de w qui n'appartient pas à T (à savoir w), donc nous pouvons considérer le plus court segment initial de w n'appartenant pas à T.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Soient X un ensemble, T une partie schreiérienne de F(X), w un élément de F(X). Il existe au moins un segment initial de w qui appartient à T (à savoir le segment initial vide), donc nous pouvons considérer le plus long segment initial de w qui appartient à T.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme 2.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration.

Soient t un élément de T et x un élément de tels que

(3)

L'hypothèse (3), à savoir signifie (par définition de )

(4)
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Image logo représentative de la faculté Faculté de Mathématiques Faites ces exercices : Problème 3 (une preuve du théorème de Nielsen-Schreier reposant sur la notion d'action de groupe).


Démonstration.

D'après le lemme de Schreier (chapitre « Classes modulo un sous-groupe »), est une partie génératrice de H. Donc

Y est une partie génératrice de H.

D'après la définition d'une partie libre donnée au chapitre Groupes libres, premiers éléments, une partie d'un groupe G est une partie libre de G si et seulement c'est une base du sous-groupe de G qu'elle engendre. Donc, pour prouver que Y est une base de H, il suffit de prouver que

(thèse 1) Y est une partie libre de F(X).

Soient r un nombre naturel , tels que

(hyp. 2) le mot signé sur Y soit réduit.

Pour prouver notre thèse (1), il s'agit de prouver que

(thèse 3) dans F(X).

Rappelons à nouveau (preuve du lemme 7) que les n'appartiennent pas à T, donc on peut parler du plus court segment initial de n'appartenant pas à T. D'après le lemme 7,

(4) commence (une fois explicité dans F(X)) par le plus court segment initial de n'appartenant pas à T.

Puisque ce segment initial n'appartient pas à T, il est distinct de 1, donc le résultat (4) entraîne la thèse (3), donc le lemme 8 est démontré. ◻

Théorème de Nielsen-Schreier dans un groupe libre quelconque[modifier | modifier le wikicode]

On va maintenant introduire quelques définitions qui permettront d'étendre ce lemme 8 aux groupes libres généraux au lieu des groupes libres F(X). C'est un petit travail assez trivial, sur lequel on peut passer rapidement.

Remarques. 1. Toujours dans l'hypothèse où X est une base de L, désignons par l'isomorphisme de L sur F(X) qui à tout élément a de L fait correspondre le mot signé sur X qui représente a dans la base X de L (voir chapitre Groupes libres, premiers éléments, énoncé 6). Pour des éléments v, w de L, dire que v est un segment intial de w relativement à la base X de L revient à dire que est un segment initial de dans le premier sens de l'expression « segment initial ».

2. Soient v et w des éléments du groupe libre F(X) construit sur l'ensemble X. Dire que v est un segment initial de w relativement à la base canonique de F(X) revient à dire que v est un segment initial de w dans le premier sens de l'expression « segment initial ».

Remarques. 1. Dans les mêmes hypothèses, désignons de nouveau par l'isomorphisme de L sur F(X) qui à tout élément a de L fait correspondre le mot signé sur X représentant a dans la base X. D'après la première remarque sur la définition d'un segment initial relativement à une base, dire que S est une partie schreiérienne de L relativement à la base X de L revient à dire que est une partie schreiérienne de F(X) dans le premier sens de l'expression « partie schreiérienne ».

2. D'après la seconde remarque sur la définition d'un segment initial relativement à une base, dire qu'une partie S du groupe libre F(X) construit sur X est une partie schreiérienne de F(X) relativement à la base revient à dire que S est une partie schreiérienne de F(X) au premier sens de l'expression « partie schreiérienne ».

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme 10.

Remarques. 1. On déduit immédiatement du lemme 8 que tout sous-groupe de F(X) est un groupe libre, ce qui est un cas particulier du théorème de Nielsen-Schreier. Puisque tout groupe libre est isomorphe à un groupe F(X), on en déduit facilement le théorème de Nielsen-Schreier dans sa forme générale. Donc, si on ne s'intéressait qu'au théorème de Nielsen-Schreier, on pourrait se passer de ce qui suit le lemme 8 et précède l'énoncé 11. Néanmoins, le lemme 10 n'est pas sans intérêt, car il permet de traiter directement des groupes libres qui ne sont pas du type F(X) (voir les exercices).

2. On verra dans les exercices que le rang d'un sous-groupe d'un groupe libre L peut être strictement supérieur au rang de L (ce qui rompt l'analogie entre les bases d'un groupe et les bases d'un espace vectoriel).

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. La démonstration qu'on trouvera ici est essentiellement celle que donnent Baumslag et Chandler, Group Theory, 1968, p. 259-263. Il existe d'autres démonstrations, qui, contrairement à celle-ci, font intervenir des théories étrangères.