Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall

Problème 1

Soit G un groupe simple d'ordre 60. (On a explicité la structure d'un tel groupe dans les exercices du chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, mais cela ne nous servira pas ici.) Alors G n'est pas résoluble, donc, d'après la réciproque du théorème de Hall (réciproque mentionnée sans démonstration dans la partie théorique), il existe au moins un diviseur naturel d de 60 tel que d et 60/d soient premiers entre eux et que G n'ait pas de sous-groupe d'ordre d. Trouver un tel diviseur. (Indication : dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, on a vu qu'un groupe simple fini est isomorphe à certains sous-groupes de S_n pour des valeurs intéressantes de n.)

Solution

Prouvons par exemple que G n'a pas de sous-groupe d'ordre 15. S'il en avait un, un tel sous-groupe serait d'indice 4 dans G, donc, d’après un théorème démontré dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, G serait isomorphe à un sous-groupe de S₄. C'est impossible, puisque l’ordre de S₄ est 24 et est donc strictement inférieur à l’ordre de G.