Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall

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Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
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Exercices no31
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorème de Gaschütz
Exo suiv. :Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre 60. (On a explicité la structure d'un tel groupe dans les exercices du chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, mais cela ne nous servira pas ici.) Alors G n'est pas résoluble, donc, d'après la réciproque du théorème de Hall (réciproque mentionnée sans démonstration dans la partie théorique), il existe au moins un diviseur naturel d de 60 tel que d et 60/d soient premiers entre eux et que G n'ait pas de sous-groupe d'ordre d. Trouver un tel diviseur. (Indication : dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, on a vu qu'un groupe simple fini est isomorphe à certains sous-groupes de Sn pour des valeurs intéressantes de n.)