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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe de Frattini

Leçons de niveau 14
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Sous-groupe de Frattini
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Exercices no49
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupe de Frattini

Exercices de niveau 14.

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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe de Frattini
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple fini. Prouver que Frat(G) est trivial.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et un diviseur premier de Prouver que figure dans la décomposition de en facteurs premiers à une puissance strictement plus petite que dans la décomposition de (Autrement dit, si la décomposition de en facteurs premiers est , divise )
Indication : d'après les théorèmes de Sylow, il revient au même de prouver que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G, alors P n'est pas contenu dans Frat(G); dans le cas contraire, déduire de la nilpotence de Frat(G) que P est un sous-groupe normal de G; appliquer le théorème de Schur-Zassenhaus puis le fait que P est contenu dans Frat(G).

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre naturel; prouver que Frat() et Frat() sont triviaux.
Indication : on peut utiliser le fait que Frat() est un sous-groupe normal nilpotent de ; on a déterminé les sous-groupes normaux de dans les exercices sur le chapitre Groupes alternés.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Plus généralement, si un groupe G agit primitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments, le stabilisateur d'un point de X est toujours un sous-groupe maximal de G. Voir W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, 10.5.7, p. 270; J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage corrigé de 1999, Springer, théor. 9.15, p. 258; D.J.S.Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., Springer, 1995, 7.2.3, p. 198.