Leçons de niveau 14

Systèmes et représentations/Représentation des systèmes

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Représentation des systèmes
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Chapitre no 4
Leçon : Systèmes et représentations
Chap. préc. :Fonctions d'entrée courantes
Chap. suiv. :Fonction de transfert
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Systèmes et représentations/Représentation des systèmes
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On ne considérera que les systèmes linéaires, continus et invariants.

Équation différentielle[modifier | modifier le wikicode]

Représentation[modifier | modifier le wikicode]

L'évolution d'un système dynamique linéaire et invariant est généralement représenté par un système d'équations différentielles à coefficients constants liant les grandeurs d'entrée et de sortie. Dans le cas d'une seule équation différentielle linéaire, de la forme : , avec n>m, n est appelé ordre du système.

On a également : et .

Résolution "classique"[modifier | modifier le wikicode]

Classiquement, une équation différentielle se résout en trois étapes :

  • la résolution de l'équation sans second membre (solution générale), qui représente la solution transitoire du phénomène ;
  • la détermination d'une solution particulière de l'équation avec second membre, qui représente la composante permanente du phénomène physique ;
  • la solution "totale" est alors obtenue en réalisant la somme des deux solutions précédentes.

Résolution par transformation de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

La méthode par transformation de Laplace permet de ramener l'équation différentielle à une équation polynomiale algébrique en tenant compte des conditions initiales.

La résolution est donc aisée. Par transformation inverse de Laplace, on peut retrouver la solution temporelle.

TransformationLaplace.svg

Transformation de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

On appelle transformée de Laplace bilatérale d'une fonction de la variable temps f la fonction F de la variable p définie de la façon suivante :

avec et ( étant l'abscisse de convergence).

Pour une fonction causale, la transformée de Laplace est dite monolatérale, et on a :

avec et ( étant l'abscisse de convergence).

Dans toute la suite, on notera les fonctions du domaine temporel en minuscules, et les fonctions du domaine de Laplace (domaine symbolique) en majuscules.

Si , on dit que F est la transformée de Laplace de f.

Si , on dit que f est la transformée inverse de Laplace de F (ou l'original de F).

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Unicité[modifier | modifier le wikicode]

À une fonction temporelle f donnée correspond une unique fonction F du domaine symbolique, et à une fonction F du domaine symbolique correspond une unique fonction temporelle f.

Linéarité[modifier | modifier le wikicode]

Théorèmes fondamentaux[modifier | modifier le wikicode]

Théorème du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Théorème du retard[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de l'amortissement (ou décalage fréquentiel)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de dérivation par rapport au temps[modifier | modifier le wikicode]

  • Dérivée première :
  • Dérivée seconde :

On note :

Théorème d'intégration par rapport au temps[modifier | modifier le wikicode]

Si et , alors .

Ainsi :

À noter que si les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), c'est-à-dire le système est causal, alors :

  • dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique ;
  • intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.

Théorème du produit de convolution[modifier | modifier le wikicode]

  • est appelé produit de convolution de f par g et est noté
  • est appelé variable muette

Attention : le produit de deux fonctions du temps n'a pas pour transformée de Laplace le produit des transformées :

Théorème de la valeur initiale[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de la valeur finale[modifier | modifier le wikicode]

Autres transformations[modifier | modifier le wikicode]

De façon plus générale:

Transformées usuelles[modifier | modifier le wikicode]

f(t) F(p)
(Dirac) 1
1