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Systèmes et représentations/Fonction de transfert

Leçons de niveau 14
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Fonction de transfert
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Chapitre no 5
Leçon : Systèmes et représentations
Chap. préc. :Représentation des systèmes
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La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles.

Soit le système suivant, avec en entrée et en sortie :

En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient :

Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a :

L'équation générale devient donc :

En posant , il vient : .

La fonction H est appelée fonction de transfert (ou transmittance) du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de E et de l'unité de S.

Par exemple, pour une résistance, si S représente la tension à ses bornes et E l'intensité du courant la parcourant, alors H a pour unité des ohms ().

Ordre, pôles et zéros

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Le comportement dynamique d'un système est entièrement régi par les pôles et les zéros de la fonction de transfert.

On pose :

Sous cette forme, la fonction de transfert s'exprime comme une fonction rationnelle en p. On note N le numérateur et D le dénominateur.

L'ordre de la fonction de transfert est le degré du polynôme D. Avec les notations précédentes, la fonction de transfert étudiée est d'ordre n.

Les zéros de la fonction de transfert H sont les racines complexes , , ..., de la fonction N :

Les pôles de la fonction de transfert H sont les racines complexes , , ..., de la fonction D :

Système intégrateur / Système dérivateur

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Un système est dit dérivateur lorsqu’il possède un zéro nul. H se factorise donc par p.

Un système est dit intégrateur lorsqu’il possède un pôle nul. H se factorise donc par 1/p.

Retour au domaine temporel

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Il est difficile de revenir au domaine temporel depuis la fonction de transfert sous sa forme "brute". On la décompose donc en fonctions élémentaires :

Avec G le gain statique :

On obtient après calculs une expression de la forme :

En utilisant la table donnée ci-dessus, on retrouve l’expression temporelle :