Leçons de niveau 14

Systèmes et représentations/Fonction de transfert

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Fonction de transfert
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Chapitre no 5
Leçon : Systèmes et représentations
Chap. préc. :Représentation des systèmes
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Systèmes et représentations/Fonction de transfert
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Définition[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles.

Soit le système suivant, avec en entrée et en sortie :

En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient :

Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a :

L'équation générale devient donc :

En posant , il vient : .

La fonction H est appelée fonction de transfert (ou transmittance) du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de E et de l'unité de S.

Par exemple, pour une résistance, si S représente la tension à ses bornes et E l'intensité du courant la parcourant, alors H a pour unité des ohms ().

Ordre, pôles et zéros[modifier | modifier le wikicode]

Le comportement dynamique d'un système est entièrement régi par les pôles et les zéros de la fonction de transfert.

On pose :

Sous cette forme, la fonction de transfert s'exprime comme une fonction rationnelle en p. On note N le numérateur et D le dénominateur.

Ordre[modifier | modifier le wikicode]

L'ordre de la fonction de transfert est le degré du polynôme D. Avec les notations précédentes, la fonction de transfert étudiée est d'ordre n.

Zéros[modifier | modifier le wikicode]

Les zéros de la fonction de transfert H sont les racines complexes , , ..., de la fonction N :

Pôles[modifier | modifier le wikicode]

Les pôles de la fonction de transfert H sont les racines complexes , , ..., de la fonction D :

Système intégrateur / Système dérivateur[modifier | modifier le wikicode]

Un système est dit dérivateur lorsqu’il possède un zéro nul. H se factorise donc par p.

Un système est dit intégrateur lorsqu’il possède un pôle nul. H se factorise donc par 1/p.

Retour au domaine temporel[modifier | modifier le wikicode]

Il est difficile de revenir au domaine temporel depuis la fonction de transfert sous sa forme "brute". On la décompose donc en fonctions élémentaires :

Avec G le gain statique :

On obtient après calculs une expression de la forme :

En utilisant la table donnée ci-dessus, on retrouve l’expression temporelle :