Suites et récurrence/Exercices/Suite récurrente

Une fonction tangente à la première bissectrice

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par :

$u_{0}=3$ et $u_{n+1}={\frac {5u_{n}-1}{u_{n}+3}}$

Partie A : Étude de la fonction

1. Donner une fonction $f$ définie sur $\mathbb {R} \setminus \{-3\}$ telle que $u_{n+1}=f(u_{n})$.

2. Étudier les variations de $f$.

3. Démontrer que $f(x)\leq x$ pour tout $x>-3$.

4. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x=1$.

Solution

1. $f(x)={\frac {5x-1}{x+3}}$.

2. $f(x)={\frac {5(x+3)-5\times 3-1}{x+3}}=5-{\frac {16}{x+3}}$ donc quand $x$ croît de $-\infty$ à $-3$, $f(x)$ croît de $5$ à $+\infty$ puis, quand $x$ croît de $-3$ à$+\infty$, $f(x)$ croît de $-\infty$ à $5$.

3. $x-f(x)={\frac {x(x+3)-(5x-1)}{x+3}}={\frac {x^{2}-2x+1}{x+3}}={\frac {(x-1)^{2}}{x+3}}$ est du signe de $x+3$.

4. $f(1)=1$ et $f'(1)={\frac {16}{(1+3)^{2}}}=1$ donc la tangente au point $(1,f(1))$ a pour équation $y=x$.

 

Partie B : Étude de la suite

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : $u_{n}\geq 1$.

2. Démontrer que $(u_{n})$ est décroissante.

3. En déduire que $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.

Solution

1. $\left[1,+\infty \right[$ contient $u_{0}$ (initialisation) et, d'après la question A2, est stable par $f$ (hérédité).

2. $u_{n+1}-u_{n}=f(u_{n})-u_{n}\leq 0$ d'après la question précédente et la question A3.

3. $(u_{n})$ est décroissante et minorée par 1 donc converge vers une limite $\ell \geq 1$. Par continuité de $f$, $f(\ell )=\ell$ c'est-à-dire (cf. calcul de la question A3) $\ell =1$.