Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Limites de suites numériquesSuites et récurrence/Exercices/Limites », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Trouver les limites des suites suivantes :
1.
a
n
=
n
−
(
−
1
)
n
n
+
(
−
1
)
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {n-\left(-1\right)^{n}}{n+\left(-1\right)^{n}}}}
avec
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
2.
b
n
=
1
n
3
∑
k
=
1
n
k
2
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}}
3.
c
n
=
n
n
{\displaystyle c_{n}={\sqrt[{n}]{n}}}
4.
d
n
=
n
!
n
2
{\displaystyle d_{n}={\sqrt[{n^{2}}]{n!}}}
5.
e
n
=
n
!
n
n
{\displaystyle e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}}
6.
f
n
=
a
n
n
!
{\displaystyle f_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}}
, pour
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
7.
g
n
=
n
n
n
!
(
2
n
)
!
{\displaystyle g_{n}={\frac {n^{n}n!}{(2n)!}}}
Solution
a
n
=
n
(
1
−
(
−
1
)
n
n
)
n
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
=
1
−
(
−
1
)
n
n
1
+
(
−
1
)
n
n
→
1
{\displaystyle a_{n}={\frac {n\,\left(1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}{n\,\left(1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}}={\frac {1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}{1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}}\to 1}
.
b
n
=
1
n
3
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
→
1
3
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\,{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\to {\frac {1}{3}}}
.
c
n
=
e
ln
n
/
n
→
1
{\displaystyle c_{n}=\operatorname {e} ^{\ln n/n}\to 1}
.
d
n
≥
1
{\displaystyle d_{n}\geq 1}
et
d
n
≤
n
n
n
2
=
c
n
{\displaystyle d_{n}\leq {\sqrt[{n^{2}}]{n^{n}}}=c_{n}}
donc par encadrement,
d
n
→
1
{\displaystyle d_{n}\to 1}
.
e
n
≤
1
n
→
0
{\displaystyle e_{n}\leq {\frac {1}{n}}\to 0}
. Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2 , question 2.
Fixons un entier
N
{\displaystyle N}
tel que
a
N
+
1
<
1
{\displaystyle {\frac {a}{N+1}}<1}
(par exemple :
N
=
⌊
a
⌋
{\displaystyle N=\lfloor a\rfloor }
). Pour tout
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
,
0
≤
f
n
=
f
N
×
a
N
+
1
a
N
+
2
…
a
n
≤
f
N
×
(
a
N
+
1
)
n
−
N
{\displaystyle 0\leq f_{n}=f_{N}\times {\frac {a}{N+1}}{\frac {a}{N+2}}\dots {\frac {a}{n}}\leq f_{N}\times \left({\frac {a}{N+1}}\right)^{n-N}}
donc par encadrement,
f
n
→
0
{\displaystyle f_{n}\to 0}
. Un autre méthode est de minorer
n
!
=
(
1.
n
)
(
2
(
n
−
1
)
)
(
3
(
n
−
2
)
)
…
{\displaystyle n!=(1.n)(2(n-1))(3(n-2))\dots }
par
n
n
/
2
{\displaystyle n^{n/2}}
donc de majorer
f
n
{\displaystyle f_{n}}
par
(
a
n
)
n
{\displaystyle \left({\frac {a}{\sqrt {n}}}\right)^{n}}
, qui tend vers
(
0
+
)
+
∞
=
0
+
{\displaystyle (0^{+})^{+\infty }=0^{+}}
. Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2 , question 1.
Les
n
{\displaystyle n}
termes du produit
g
n
=
n
2
n
n
2
n
−
1
n
2
n
−
2
…
n
n
+
1
{\displaystyle g_{n}={\frac {n}{2n}}{\frac {n}{2n-1}}{\frac {n}{2n-2}}\dots {\frac {n}{n+1}}}
sont tous
<
1
{\displaystyle <1}
et les
n
2
{\displaystyle {\frac {n}{2}}}
premiers (ou
n
+
1
2
{\displaystyle {\frac {n+1}{2}}}
si
n
{\displaystyle n}
est impair) sont même
<
2
3
{\displaystyle <{\frac {2}{3}}}
, donc
g
n
<
(
2
3
)
n
2
→
0
{\displaystyle g_{n}<\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {n}{2}}\to 0}
. Une autre méthode est de minorer le produit des dénominateurs par
(
2
n
2
)
n
/
2
{\displaystyle \left(2n^{2}\right)^{n/2}}
donc de majorer
g
n
{\displaystyle g_{n}}
par
2
−
n
/
2
{\displaystyle 2^{-n/2}}
, qui tend vers 0. Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2 , question 4.
Soient
(
u
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
et
(
v
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
définies par :
u
0
=
1
,
v
0
=
2
,
u
n
+
1
=
u
n
2
u
n
+
v
n
,
v
n
+
1
=
v
n
2
u
n
+
v
n
{\displaystyle u_{0}=1,\quad v_{0}=2,\quad u_{n+1}={\frac {u_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}}},\quad v_{n+1}={\frac {v_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}}}}
(pour tout
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
).
Montrer que
u
n
>
0
{\displaystyle u_{n}>0}
et
v
n
>
0
{\displaystyle v_{n}>0}
(pour tout
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
).
Montrer que les deux suites décroissent. En déduire qu'elles convergent.
On note
ℓ
{\displaystyle \ell }
et
ℓ
′
{\displaystyle \ell '}
leurs limites respectives. Montrer que
ℓ
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \ell \ell '=0}
.
Montrer que la suite
(
v
n
−
u
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (v_{n}-u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
est constante.
En déduire
ℓ
{\displaystyle \ell }
et
ℓ
′
{\displaystyle \ell '}
.
Solution
Immédiat par récurrence (ce qui prouve en même temps que les deux suites sont bien définies). Ou plus formellement : l'application
f
:
(
u
,
v
)
↦
(
u
2
u
+
v
,
v
2
u
+
v
)
{\displaystyle f:(u,v)\mapsto \left({u^{2} \over u+v},{v^{2} \over u+v}\right)}
est bien définie sur
A
:=
(
R
+
∗
)
2
{\displaystyle A:=(\mathbb {R} _{+}^{*})^{2}}
,
(
u
0
,
v
0
)
∈
A
{\displaystyle (u_{0},v_{0})\in A}
, et
f
(
A
)
⊂
A
{\displaystyle f(A)\subset A}
. Ceci prouve que la suite
(
u
n
,
v
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (u_{n},v_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
est bien définie et à valeurs dans
A
{\displaystyle A}
.
0
<
u
n
+
1
u
n
=
u
n
u
n
+
v
n
<
1
{\displaystyle 0<{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {u_{n}}{u_{n}+v_{n}}}<1}
donc
(
u
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
est (strictement) décroissante. (Variante :
u
n
+
1
−
u
n
=
−
u
n
v
n
u
n
+
v
n
<
0
{\displaystyle u_{n+1}-u_{n}=-{u_{n}v_{n} \over u_{n}+v_{n}}<0}
.) De même pour
(
v
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
. Puisque ces deux suites sont décroissantes et minorées (par
0
{\displaystyle 0}
), elles convergent.
Si
ℓ
≠
0
{\displaystyle \ell \neq 0}
alors
ℓ
+
ℓ
′
≥
ℓ
>
0
{\displaystyle \ell +\ell '\geq \ell >0}
et
ℓ
=
ℓ
2
ℓ
+
ℓ
′
{\displaystyle \ell ={\frac {\ell ^{2}}{\ell +\ell '}}}
donc
1
=
ℓ
ℓ
+
ℓ
′
{\displaystyle 1={\frac {\ell }{\ell +\ell '}}}
donc
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \ell '=0}
. Ou plus formellement : si l'on avait
(
ℓ
,
ℓ
′
)
∈
A
{\displaystyle (\ell ,\ell ')\in A}
on aurait (par continuité de
f
{\displaystyle f}
sur
A
{\displaystyle A}
)
f
(
ℓ
,
ℓ
′
)
=
(
ℓ
,
ℓ
′
)
{\displaystyle f(\ell ,\ell ')=(\ell ,\ell ')}
, d'où l'on déduirait (en utilisant que
ℓ
,
ℓ
′
>
0
{\displaystyle \ell ,\ell '>0}
) que
ℓ
=
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \ell =\ell '=0}
: contradiction, donc
ℓ
{\displaystyle \ell }
ou
ℓ
′
{\displaystyle \ell '}
est nul.
v
n
+
1
−
u
n
+
1
=
v
n
2
−
u
n
2
u
n
+
v
n
=
v
n
−
u
n
{\displaystyle v_{n+1}-u_{n+1}={\frac {v_{n}^{2}-u_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}}}=v_{n}-u_{n}}
donc
ℓ
′
−
ℓ
=
v
0
−
u
0
=
1
{\displaystyle \ell '-\ell =v_{0}-u_{0}=1}
.
Comme l'une des deux limites est nulle et l'autre est positive,
ℓ
′
=
1
{\displaystyle \ell '=1}
et
ℓ
=
0
{\displaystyle \ell =0}
.
Remarque : il était plus simple de traiter d'abord la question 4, pour se ramener à l'étude de la seule suite
(
u
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
, vérifiant
u
n
>
0
{\displaystyle u_{n}>0}
et
u
n
+
1
=
u
n
2
2
u
n
+
1
<
u
n
2
{\displaystyle u_{n+1}={u_{n}^{2} \over 2u_{n}+1}<{u_{n} \over 2}}
, d'où
u
n
→
0
{\displaystyle u_{n}\to 0}
et donc
v
n
→
1
{\displaystyle v_{n}\to 1}
.