Leçons de niveau 13

Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S

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Sujet de bac S
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Exercices no3
Leçon : Suites et récurrence

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Suite récurrente
Exo suiv. :Démonstration par récurrence
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Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S
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Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007

N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Question de cours[modifier | modifier le wikicode]

1. Soit une fonction réelle définie sur . Compléter la phrase suivante :

On dit que admet une limite finie en si

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient , et trois fonctions définies sur et un nombre réel.

Si et ont pour limite commune quand tend vers ,

et si pour tout assez grand, ,

alors la limite de quand tend vers est égale à .

Partie A[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie sur par :

et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite d'équation est asymptote à .

1. Soit un nombre réel. Écrire, en fonction de ,

une équation de la tangente à au point d'abscisse .

2. Cette tangente coupe la droite au point d'abscisse . Vérifier que .

3. En déduire une construction de la tangente à au point d'abscisse 1,5.

Partie B[modifier | modifier le wikicode]

1. Déterminer graphiquement le signe de .

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul , les inégalités suivantes :

.

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul  :

4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :

b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :

5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :

puis sa limite en .