Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007

N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.

Exercice 3

Question de cours

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a;+\mathrm{\infty }[$. Compléter la phrase suivante :

On dit que $f$ admet une limite finie $L$ en $+\mathrm{\infty }$ si $\mathrm{...}$

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a;+\mathrm{\infty }[$ et $L$ un nombre réel.

Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $L$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$,

et si pour tout $x$ assez grand, $g(x)\le f(x)\le h(x)$,

alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ est égale à $L$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=e^x-x-1$

et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à $(C)$.

1. Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$,

une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point $M$ d'abscisse $a$.

Solution

f est dérivable sur $ℝ$ et $f^{\prime }(x)=e^x-1$.

L'équation de la tangente (T) en $x=a$ est :

$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

donc

$y=(e^a-1)(x-a)+e^a-a-1=(e^a-1)x-a{e}^a+a+e^a-a-1$

finalement (T) a pour équation :

$y=(e^a-1)x+e^a(1-a)-1$

 

2. Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b-a=-1$.

Solution

L'ordonnée du point d'intesection d'abscisse b vérifie l'équation :

$-b-1=(e^a-1)b+e^a(1-a)-1$

si et seulement si :

$-b=b{e}^a-b+e^a(1-a)-1$

si et seulement si :

$0=b{e}^a+e^a(1-a)$

comme pour tout réel a, $e^a$ est non nul, ceci équivaut à :

$0=b+1-a$

si et seulement si :

$b-a=-1$

 

3. En déduire une construction de la tangente $(T)$ à $(C)$au point $M$ d'abscisse 1,5.

Solution

(T) est la droite passant par

$M(1,5;f(1,5))$ et par $N(1,5-1;-(1,5-1)-1)=(0,5;-1,5)$.

 

Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe de $f$.

Solution

Pour tout réel x, on constate graphiquement que $f(x)\ge 0$.

En fait f ne s'annule qu'en $x=0$.

 

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$, les inégalités suivantes :

$(1)e^{\frac{1}{n}}\ge 1+\frac{1}{n};(2)e^{\frac{-1}{n+1}}\ge 1-\frac{1}{n+1}$.

Solution

Pour tout entier n strictement positif, en posant $x=\frac{1}{n}$ dans l'inégalité $f(x)=e^x-x-1\ge 0$, on obtient :

$e^{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}-1\ge 0$

donc on obtient l'inégalité (1) :

$e^{\frac{1}{n}}\ge 1+\frac{1}{n}$.

Pour tout entier n strictement positif, en posant $x=-\frac{1}{n+1}$ dans l'inégalité $f(x)=e^x-x-1\ge 0$, on obtient :

$e^{-\frac{1}{n+1}}+\frac{1}{n+1}-1\ge 0$

donc il s'ensuit l'inégalité (2) :

$e^{-\frac{1}{n+1}}\ge 1-\frac{1}{n+1}$

 

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le e$

Solution

Puisque n est strictement positif, la fonction $x\mapsto x^n$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$.

On l'applique aux deux membres de l'inégalité (1) qui est conservée :

$(e^{\frac{1}{n}}{)}^n\ge (1+\frac{1}{n}{)}^n$.

donc

$e\ge (1+\frac{1}{n}{)}^n$

 

4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :

$e^{\frac{1}{n+1}}\le \frac{1}{1-\frac{1}{n}}$

Solution

On a

$e^{-\frac{1}{n+1}}\ge 1-\frac{1}{n+1}$

Les deux membres sont strictement positifs. En leur appliquant la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$, décroissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, l'inégalité change de sens et devient :

$e^{\frac{1}{n+1}}\le \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}$

 

b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :

$\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{n}$

Solution

Pout tout n strictement positif :

$\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{\frac{n+1-1}{n+1}}$

$=\frac{1}{\frac{n}{n+1}}$

$=\frac{n+1}{n}$

$=1+\frac{1}{n}$

 

c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :

$e\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$

Solution

D'après (3) et (4b),

$O<e^{\frac{1}{n+1}}\le 1+\frac{1}{n}$

En appliquant la fonction $x\mapsto x^{n+1}$, croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, aux deux membres positifs :

$(e^{\frac{1}{n+1}}{)}^{n+1}\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$

donc

$e\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$.

 

5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :

$(1+\frac{1}{n}{)}^n$

puis sa limite en $+\mathrm{\infty }$.

Solution

D'après (4c), pour tout n entier strictement positif :

$e\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$

donc en divisant par $1+\frac{1}{n}>0$, on obtient :

$\frac{e}{1+\frac{1}{n}}\le (1+\frac{1}{n}{)}^n$

donc avec (3), on a l'encadrement :

$\frac{e}{1+\frac{1}{n}}\le (1+\frac{1}{n}{)}^n\le e$.

Or $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{e}{1+\frac{1}{n}})=e$ et $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}e=e$

donc d’après le théorème "des gendarmes" :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$