Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une fréquence

**Intervalle de confiance d'une fréquence**
Leçon : Statistique inférentielle

Chapitre n^o 4
Chap. préc. :	Intervalle de confiance d'une moyenne
Chap. suiv. :	Test d'hypothèse

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Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une fréquence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Loi d'échantillonnage de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

La théorie de l'échantillonnage[modifier | modifier le wikicode]

En statistique, il est en général impossible d'étudier un caractère sur toute une population de taille N élevée.

La théorie de l'échantillonnage se pose la question suivante :

En supposant connus les paramètres statistiques de la population,

que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ?

On suppose que ces échantillons sont prélevés au hasard

et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise.

L'ensemble de ces échantillons de taille n est appelé échantillonnage de taille n.

Étudions dans ces conditions la loi d'échantillonnage des fréquences.

Loi d'échantillonnage des fréquences[modifier | modifier le wikicode]

On suppose donc sur une population de taille N, un caractère de fréquence p.

Soit X la variable aléatoire valant 1 si le caractère est acquis, 0 sinon.

X suit donc une loi de Bernoulli de paramètre p, d'espérance p

et de variance

p(1-p)

.

Dans un échantillon de taille n,

on répète n de ces épreuves indépendantes auxquelles correspondent n variables aléatoires :

$X_{1},X_{2},...,X_{n}$ de même loi que X.

La variable aléatoire représentant la moyenne de l'échantillon est :

$Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$

Définition

La loi d'échantillonnage de la fréquence est la loi de probabilité de $Y_{n}$

Elle dépend bien sûr de la taille n des échantillons.

D'après le théorème central limite, on déduit :

Propriété

La loi d'échantillonnage de $Y_{n}$ suit une loi normale d'espérance p et d'écart-type ${\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$

Intervalle de confiance de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

L'estimation ponctuelle de la fréquence dans la population à partir de celle dans l'échantillon n'indique pas le risque d'erreur.

Il s'agit de déterminer un intervalle contenant la valeur de la fréquence

dans la population avec un risque d'erreur décidé à l'avance.

p et ${\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$ étant inconnus,

on les remplace par leurs estimations ponctuelles :

f et

{\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}}

En posant $T_{n}={\frac {Y_{n}-f}{\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}}}$ ,

le théorème précédent implique que $T_{n}$ suit une loi normale centrée réduite.

Soit $\alpha$ la probabilité, fixée à l'avance,

que $T_{n}$ n'appartiennent pas à l'intervalle $[-t,t]$ , alors :

$P(-t\leq T_{n}\leq t)=1-\alpha$

donc

$P(Y_{n}-t{\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}}\leq p\leq Y_{n}+t{\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}})=1-\alpha$

on obtient donc le :

Théorème

Un intervalle de confiance de la moyenne m au seuil de risque $\alpha$ est :

$[f-t{\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}};f+t{\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}}]$

où t est le nombre tel que

\Pi (t)=1-{\frac {\alpha }{2}}

et se lit dans la table de la loi normale N(0;1).

Définition

$\alpha$ est le risque d'erreur ou seuil de risque.
$1-\alpha$ est le coefficient de confiance.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Un sondage dans une commune révèle que sur les 500 personnes interrogées,

42% sont mécontentes du réseau de transports en commun.

Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage p de personne mécontentes dans la commune,

au seuil de risque de 1%.

Statistique inférentielle

Intervalle de confiance d'une moyenne

Test d'hypothèse