Statistique inférentielle/Estimation d'un paramètre
Le problème de l'estimation
[modifier | modifier le wikicode]On désire connaître la valeur d'un paramètre (moyenne m, écart-type ou fréquence d'une modalité p) d'une variable statistique liée à une population de taille N.
Mais on ne dispose pour cela que d'un échantillon de taille n (typiquement supérieur à 30).
On a une correspondance entre les paramètres sur la population et les paramètres sur l'échantillon.
On notera les paramètres calculés à partir de l'échantillon avec une barre :
| Population mère | Échantillon | |
|---|---|---|
| Effectif | N | n |
| Moyenne | m | |
| Écart-type | ||
| Fréquence | f |
La question posée est :
Les paramètres de l'échantillon constituent-ils de bonnes estimations des paramètres inconnus de la population ?
Sinon, y en a-t-il de meilleurs ?
Estimation d'une moyenne
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La meilleure estimation de m est
Estimation de l'écart-type
[modifier | modifier le wikicode]La meilleure estimation de l'écart-type de la population n’est pas l'écart-type de l'échantillon.
La meilleure estimation de est
Exemple
[modifier | modifier le wikicode]Une usine fabrique des pièces cylindriques dont on mesure le diamètre.
On obtient sur un échantillon :
| Diamètre | [23,59;23,61[ | [23,61;23,63[ | [23,63;23,65[ | [23,65;23,67[ | [23,67;23,68[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 8 | 51 | 30 | 5 |
1) Calculer la moyenne et l'écart-type de cet échantillon.
2) Donner une estimation de la moyenne et de l'écart-type de la production totale.
Estimation d'une fréquence
[modifier | modifier le wikicode]La meilleure estimation d'une fréquence est
Exemple
[modifier | modifier le wikicode]Dans un échantillon de 150 pièces, on a relevé 3 pièces défectueuses.
Donner une estimation du pourcentage de pièces défectueuses dans la production.
Incertitude
[modifier | modifier le wikicode]Malgré la certitude que nous donne ces théorèmes quant au fait d’avoir les meilleures estimations possibles, il n'y a aucune raison que les paramètres de l'échantillon correspondent exactement à ceux de la population.
On peut quantifier l'incertitude relative à ces estimations grâce à la théorie des intervalles de confiance.
