Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une moyenne

Leçons de niveau 15
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Intervalle de confiance d'une moyenne
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Statistique inférentielle
Chap. préc. :Estimation d'un paramètre
Chap. suiv. :Intervalle de confiance d'une fréquence
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Statistique inférentielle : Intervalle de confiance d'une moyenne
Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une moyenne
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Loi d'échantillonnage de la moyenne[modifier | modifier le wikicode]

La théorie de l'échantillonnage[modifier | modifier le wikicode]

En statistique, il est en général impossible d'étudier un caractère sur toute une population de taille N élevée. La théorie de l'échantillonnage se pose la question suivante. En supposant connus les paramètres statistiques de la population, que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ? On suppose que ces échantillons sont prélevés au hasard et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise.

L'ensemble de ces échantillons de taille n est appelé échantillonnage de taille n.

Étudions dans ces conditions la loi d'échantillonnage des moyennes.

Loi d'échantillonnage des moyennes[modifier | modifier le wikicode]

On suppose donc sur une population de taille N une variable aléatoire X de moyenne m

et d'écart-type .

Pour prélever un échantillon de taille n,

on a procédé à n épreuves indépendantes auxquelles correspondent n variables aléatoires

de même loi que X.

La variable aléatoire représentant la moyenne de l'échantillon est :


  • Elle dépend bien sûr de la taille n des échantillons.

D'après le théorème central limite, on déduit :

Intervalle de confiance de la moyenne[modifier | modifier le wikicode]

L'estimation ponctuelle de la moyenne de la population à partir de celle de l'échantillon n'indique pas le risque d'erreur.

Il s'agit de déterminer un intervalle contenant la valeur de la moyenne de la population avec un risque d'erreur décidé à l'avance.


En posant , le théorème précédent implique que suit une loi normale centrée réduite.

Soit la probabilité, fixée à l'avance, que n'appartiennent pas à l'intervalle , alors :

donc

on obtient donc le :

Début d’un théorème
Fin du théorème



Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que la durée de vie d'un composant électrique, exprimée en heures,

suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart-type

Une étude sur un échantillon de 16 composants donne une durée de vie moyenne de 3 000 h.

Déterminer un intervalle de confiance pour m au seuil de risque de 10%.