Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une moyenne

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Loi d'échantillonnage de la moyenne

La théorie de l'échantillonnage

En statistique, il est en général impossible d'étudier un caractère sur toute une population de taille N élevée. La théorie de l'échantillonnage se pose la question suivante. En supposant connus les paramètres statistiques de la population, que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ? On suppose que ces échantillons sont prélevés au hasard et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise.

L'ensemble de ces échantillons de taille n est appelé échantillonnage de taille n.

Étudions dans ces conditions la loi d'échantillonnage des moyennes.

Loi d'échantillonnage des moyennes

On suppose donc sur une population de taille N une variable aléatoire X de moyenne m

et d'écart-type $\sigma$.

Pour prélever un échantillon de taille n,

on a procédé à n épreuves indépendantes auxquelles correspondent n variables aléatoires

$X_{1},X_{2},...,X_{n}$ de même loi que X.

La variable aléatoire représentant la moyenne de l'échantillon est :

$Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$

Définition

La loi d'échantillonnage de la moyenne est la loi de probabilité de $Y_{n}$

• Elle dépend bien sûr de la taille n des échantillons.

D'après le théorème central limite, on déduit :

Propriété

La loi d'échantillonnage de $Y_{n}$ suit une loi normale d'espérance m et d'écart-type ${\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

Intervalle de confiance de la moyenne

L'estimation ponctuelle de la moyenne de la population à partir de celle de l'échantillon n'indique pas le risque d'erreur.

Il s'agit de déterminer un intervalle contenant la valeur de la moyenne de la population avec un risque d'erreur décidé à l'avance.

En posant $T_{n}={\frac {Y_{n}-m}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$, le théorème précédent implique que $T_{n}$ suit une loi normale centrée réduite.

Soit $\alpha$ la probabilité, fixée à l'avance, que $T_{n}$ n'appartiennent pas à l'intervalle $[-t,t]$, alors :

$P(-t\leq T_{n}\leq t)=1-\alpha$

donc

$P(Y_{n}-t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq m\leq Y_{n}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})=1-\alpha$

on obtient donc le :

Début d’un théorème

Théorème

• Un intervalle de confiance de la moyenne m au seuil de risque $\alpha$ est :

$[Y_{n}-t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};Y_{n}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$

où t est le nombre tel que $\Pi (t)=1-{\frac {\alpha }{2}}$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1).

Fin du théorème

​

Définition

• $\alpha$ est le risque d'erreur ou seuil de risque.
• $1-\alpha$ est le coefficient de confiance.

Exemple

On suppose que la durée de vie d'un composant électrique, exprimée en heures,

suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart-type $\sigma =20h$

Une étude sur un échantillon de 16 composants donne une durée de vie moyenne de 3 000 h.

Déterminer un intervalle de confiance pour m au seuil de risque de 10%.