Leçons de niveau 15

Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une moyenne

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Intervalle de confiance d'une moyenne
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Chapitre no 3
Leçon : Statistique inférentielle
Chap. préc. :Estimation d'un paramètre
Chap. suiv. :Intervalle de confiance d'une fréquence
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Loi d'échantillonnage de la moyenne[modifier | modifier le wikicode]

La théorie de l'échantillonnage[modifier | modifier le wikicode]

En statistique, il est en général impossible d'étudier un caractère sur toute une population de taille N élevée. La théorie de l'échantillonnage se pose la question suivante. En supposant connus les paramètres statistiques de la population, que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ? On suppose que ces échantillons sont prélevés au hasard et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise.

L'ensemble de ces échantillons de taille n est appelé échantillonnage de taille n.

Étudions dans ces conditions la loi d'échantillonnage des moyennes.

Loi d'échantillonnage des moyennes[modifier | modifier le wikicode]

On suppose donc sur une population de taille N une variable aléatoire X de moyenne m

et d'écart-type .

Pour prélever un échantillon de taille n,

on a procédé à n épreuves indépendantes auxquelles correspondent n variables aléatoires

de même loi que X.

La variable aléatoire représentant la moyenne de l'échantillon est :




  • Elle dépend bien sûr de la taille n des échantillons.

D'après le théorème central limite, on déduit :



Intervalle de confiance de la moyenne[modifier | modifier le wikicode]

L'estimation ponctuelle de la moyenne de la population à partir de celle de l'échantillon n'indique pas le risque d'erreur.

Il s'agit de déterminer un intervalle contenant la valeur de la moyenne de la population avec un risque d'erreur décidé à l'avance.


En posant , le théorème précédent implique que suit une loi normale centrée réduite.

Soit la probabilité, fixée à l'avance, que n'appartiennent pas à l'intervalle , alors :

donc

on obtient donc le :

Début d’un théorème


Fin du théorème




Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que la durée de vie d'un composant électrique, exprimée en heures,

suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart-type

Une étude sur un échantillon de 16 composants donne une durée de vie moyenne de 3 000 h.

Déterminer un intervalle de confiance pour m au seuil de risque de 10%.