Statistique inférentielle/Test d'hypothèse

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Introduction

Il s'agit, à partir de l'étude d'un ou plusieurs échantillons, de prendre des décisions concernant la population-mère.

Test bilatéral

Définition

Dans un test bilatéral, il s'agit de tester l'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixé à l'avance.

Hypothèse d'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixé

• Un paramètre $a$ d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre $a_{0}$ annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "le paramètre réel $a$ est égal au paramètre annoncé $a_{0}$".

L'hypothèse alternative $H_{1}$ : "le paramètre réel $a$ est différent du paramètre annoncé $a_{0}$".

• On prélève un échantillon de taille $n$ de paramètre $a_{n}$ :
• En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.

si $a_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.

sinon elle est refusée.

Hypothèse d'égalité d'une moyenne avec un nombre fixé

• La moyenne $m$ d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est égale à un nombre $m_{0}$ annoncée à l'avance.

On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "la moyenne réelle $m$ est égale à la moyenne annoncée $m_{0}$".

• On prélève un échantillon de taille $n$ de moyenne $m_{n}$ :
• D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse $H_{0}$,

la moyenne $m_{n}/,$ des échantillons de taille $n$ suit une loi normale $N(m_{0},{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})$.

Ceci donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.

$[m_{0}-t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};m_{0}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$

où $t$ est le nombre tel que $\Pi (t)=1-{\frac {\alpha }{2}}$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si $\alpha =0,1$, cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

• si $m_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.
• sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette $H_{0}$, cela signifie que :

• Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
• Soit l'hypothèse $H_{0}$ est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter $H_{0}$ alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

Remarque

• Accepter $H_{0}$ alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.

Test unilatéral

Définition

Dans un test unilatéral, il s'agit de comparer un paramètre statistique avec un nombre fixé à l'avance.

Comparaison d'un paramètre statistique avec un nombre fixé

• Un paramètre $a$ d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre $a_{0}$ annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "le paramètre réel $a$ est égal au paramètre annoncé $a_{0}$".

L'hypothèse alternative $H_{1}$ : "le paramètre réel a est strictement supérieur au paramètre annoncé $a_{0}$".

• On prélève un échantillon de taille $n$ de paramètre $a_{n}$ :
• En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.

si $a_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.

sinon elle est refusée.

Comparaison d'une moyenne avec un nombre fixé

• La moyenne $m$ d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est supérieure à un nombre $m_{0}$ annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "la moyenne réelle $m$ est égale à la moyenne annoncée $m_{0}$".

L'hypothèse alternative $H_{1}$ : "la moyenne réelle $m$ est strictement supérieure à la moyenne annoncée $m_{0}$".

• On prélève un échantillon de taille n de moyenne $m_{n}$ :
• D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse $H_{0}$, la moyenne $m_{n}/,$ des échantillons de taille $n$ suit une loi normale $N(m_{0},{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$.

Ceci donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.

$[-\infty ;m_{0}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$

où $t$ est le nombre tel que $\Pi (t)=1-\alpha$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si $\alpha =0,1$, cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

• si $m_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.
• sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette $H_{0}$, cela signifie que :

• Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
• Soit l'hypothèse $H_{0}$ est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter $H_{0}$ alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

Remarque

• Accepter $H_{0}$ alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.