Leçons de niveau 15

Statistique inférentielle/Test d'hypothèse

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Test d'hypothèse
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Chapitre no 5
Leçon : Statistique inférentielle
Chap. préc. :Intervalle de confiance d'une fréquence
Chap. suiv. :Sommaire
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Statistique inférentielle/Test d'hypothèse
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Il s'agit, à partir de l'étude d'un ou plusieurs échantillons, de prendre des décisions concernant la population-mère.

Test bilatéral[modifier | modifier le wikicode]


Hypothèse d'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixé[modifier | modifier le wikicode]

  • Un paramètre d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse  : "le paramètre réel est égal au paramètre annoncé ".
L'hypothèse alternative  : "le paramètre réel est différent du paramètre annoncé ".
  • On prélève un échantillon de taille de paramètre  :
  • En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation de au seuil de risque .
si alors l'hypothèse est acceptée.
sinon elle est refusée.

Hypothèse d'égalité d'une moyenne avec un nombre fixé[modifier | modifier le wikicode]

  • La moyenne d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est égale à un nombre annoncée à l'avance.

On a donc l'hypothèse  : "la moyenne réelle est égale à la moyenne annoncée ".
  • On prélève un échantillon de taille de moyenne  :
  • D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse ,
la moyenne des échantillons de taille suit une loi normale .

Ceci donne un intervalle d'acceptation de au seuil de risque .

est le nombre tel que et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si , cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

  • si alors l'hypothèse est acceptée.
  • sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette , cela signifie que :

  • Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
  • Soit l'hypothèse est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

  • Accepter alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.

Test unilatéral[modifier | modifier le wikicode]


Comparaison d'un paramètre statistique avec un nombre fixé[modifier | modifier le wikicode]

  • Un paramètre d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse  : "le paramètre réel est égal au paramètre annoncé ".
L'hypothèse alternative  : "le paramètre réel a est strictement supérieur au paramètre annoncé ".
  • On prélève un échantillon de taille de paramètre  :
  • En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation de au seuil de risque .
si alors l'hypothèse est acceptée.
sinon elle est refusée.

Comparaison d'une moyenne avec un nombre fixé[modifier | modifier le wikicode]

  • La moyenne d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est supérieure à un nombre annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse  : "la moyenne réelle est égale à la moyenne annoncée ".
L'hypothèse alternative  : "la moyenne réelle est strictement supérieure à la moyenne annoncée ".
  • On prélève un échantillon de taille n de moyenne  :
  • D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse , la moyenne des échantillons de taille suit une loi normale .

Ceci donne un intervalle d'acceptation de au seuil de risque .

est le nombre tel que et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si , cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

  • si alors l'hypothèse est acceptée.
  • sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette , cela signifie que :

  • Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
  • Soit l'hypothèse est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

  • Accepter alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.