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=== Exercice 1 |
=== Exercice 6-1 === |
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Soit <math>n</math> un entier supérieur ou égal à <math>2</math>. Démontrer que pour tous réels <math>x_1,\dots,x_n</math>, on a : |
Soit <math>n</math> un entier supérieur ou égal à <math>2</math>. Démontrer que pour tous réels <math>x_1,\dots,x_n</math>, on a : |
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Par exemple, pour <math>n=3</math>, on obtient : |
Par exemple, pour <math>n=3</math>, on obtient : |
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:<math>\forall(a,b,c)\in\R^3\qquad ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2</math>. |
:<math>\forall(a,b,c)\in\R^3\qquad ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2</math>. |
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== Exercice 6-2== |
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Soient <math>a,b,c</math> trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante : |
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:<math>\sqrt\frac{2a}{a+b}+\sqrt\frac{2b}{b+c}+\sqrt\frac{2c}{a+c}\le3</math>. |
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{{Solution|contenu= |
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D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tous réels strictement positifs <math>x,y,z</math>, on a |
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:<math>\sqrt\frac{2a}{a+b}+\sqrt\frac{2b}{b+c}+\sqrt\frac{2c}{a+c}\le\sqrt{\left(\frac{2ax}{a+b}+\frac{2by}{b+c}+\frac{2cz}{a+c}\right)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)}</math>. |
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Il suffit donc de démontrer que pour <math>x,y,z</math> bien choisis, on a |
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:<math>\left(\frac{2ax}{a+b}+\frac{2by}{b+c}+\frac{2cz}{a+c}\right)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\le9</math>. |
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En posant <math>x=\frac1{a+c},y=\frac1{b+a},z=\frac1{c+b}</math>, l'inégalité à démontrer devient |
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:<math>\left(\frac a{(a+b)(a+c)}+\frac b{(b+c)(b+a)}+\frac c{(c+a)(c+b)}\right)\left(a+b+c\right)\le\frac94</math>, |
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ou encore |
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:<math>a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)\ge6abc</math>, |
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ce qui équivaut à |
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:<math>a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\ge0</math>. |
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Cette inégalité est donc vraie. |
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Référence : {{p.|35}} de [https://cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/VasileCirtoaje.pdf ''{{Lang|en|Algebraic inequalities}}''] de Vasile Cirtoaje, reproduit par Daniel Collignon dans sa solution de {{Lien web|url=http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/arithmetique-et-algebre/a2-algebre-elementaire/5070-a2852-trois-reels-et-trois-racines-carrees-pour-une-inegalite|titre=A2852 — Trois réels et trois racines pour une inégalité|site=le site [http://www.diophante.fr/ Diophante.fr]}}, géré par Philippe Fondanaiche. |
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Version du 31 août 2021 à 20:18
Exercice 6-1
Soit un entier supérieur ou égal à . Démontrer que pour tous réels , on a :
.
En multipliant les deux membres par puis en leur ajoutant , l'inégalité à démontrer est :
- ,
ou encore :
- .
C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs et , dans muni de son produit scalaire usuel.
Par exemple, pour , on obtient :
- .
Exercice 6-2
Soient trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante :
- .
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tous réels strictement positifs , on a
- .
Il suffit donc de démontrer que pour bien choisis, on a
- .
En posant , l'inégalité à démontrer devient
- ,
ou encore
- ,
ce qui équivaut à
- .
Cette inégalité est donc vraie.
Référence : p. 35 de Algebraic inequalities de Vasile Cirtoaje, reproduit par Daniel Collignon dans sa solution de « A2852 — Trois réels et trois racines pour une inégalité », sur le site Diophante.fr, géré par Philippe Fondanaiche.