Discussion:Équation du quatrième degré

	Équation du quatrième degré fait partie de la faculté de Mathématiques et du projet Mathématiques. Si vous voulez participer, vous pouvez modifier cette leçon ou visiter la page du projet où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Vous pouvez aussi créer des exercices pour cette leçon.
Complet	Cette leçon a été classée comme d'avancement complet selon les critères d'évaluation de Wikiversité.

Proposition d'un problème solutionné par une équation du quatrième degré

Schéma explicatif

Calcul de la hauteur du sol au point de contact avec un mur d'une échelle positionnée de façon particulière :

1. Trouver l'équation,
2. Calculer la hauteur.

— Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par Dumontierc (d · c · b · s), le 7/5/2020.

Solution

D'après pythagore, nous avons :

$(h-1)^{2}+1^{2}=4^{2}$

soit :

$h=1+{\sqrt {15}}$

Ce n'est donc pas un problème du quatrième degré ! Lydie Noria (discussion) 10/5/2020

Lydie Noria : se trompe. Le problème de Dumontierc : est bien du quatrième degré :

En notant d la base du grand triangle,

$h^{2}+d^{2}=4^{2}$ et ${\frac {d}{h}}={\frac {1}{h-1}}$ donc en éliminant $d$ :

$h^{2}((h-1)^{2}+1)=16(h-1)^{2}$.

L'équation $h^{4}-2h^{3}-14h^{2}+32h-16=0$ a 2 solutions > 1 (environ 1,36 et 3,76) et 2 solutions < 1.

Anne, 9/8/2020 à 10 h 56 (heure de Toulouse)

p.s. : les 2 solutions > 1 se déduisent l'une de l'autre en intervertissant d et h (on le voit simplement physiquement, mais aussi sur les équations car ${\frac {d}{h}}={\frac {1}{h-1}}\Leftrightarrow dh=d+h$, donc les 2 solutions < 1 se déduisent de même l'une de l'autre).

Ceci permet de factoriser et résoudre :

$h^{4}-2h^{3}-14h^{2}+32h-16=(h^{2}-S_{+}h+S_{+})(h^{2}-S_{-}h+S_{-})$ avec $S_{\pm }=1\pm {\sqrt {17}}$

et les deux solutions > 1, associées à $S_{+}$, sont

$h_{\pm }={\frac {1+{\sqrt {17}}\pm {\sqrt {14-2{\sqrt {17}}}}}{2}}$.