Espaces vectoriels normés/Compacité

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, $E$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel normé.

Compacité

Définitions

Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$.

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$.

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ($J\subset I$) qui est encore un recouvrement de $A$. Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque

On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : Partie compacte.

Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $A$ est compacte si pour tout recouvrement ouvert $(O_{i})_{i\in I}$, il existe un sous-recouvrement fini.

Proposition

Toute partie compacte de $E$ est fermée.

Démonstration

Soit $A$ une partie compacte de $E$ ; montrons que $A$ est fermé, c.-à-d.que $E\setminus A$ est un voisinage de tout point $x\in E\setminus A$.

Pour tout $y\in A$, on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, $B_{y}$ contenant $y$ et $B_{y}'$ contenant $x$.

Ainsi, $(B_{y})_{y\in A}$ est un recouvrement ouvert de $A$, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(B_{y})_{y\in J}$.

On a alors $x\in O':=\cap _{y\in J}B_{y}'$ qui est un ouvert car $J$ est fini.

De plus, $O'$ est disjoint de l'ouvert $O:=\cup _{y\in J}B_{y}$. On en déduit que $O'\subset E\setminus A$ car $A\subset O$.

Ceci termine de montrer que $E\setminus A$ est un voisinage de $x$.

 

Proposition

Soit $A$ une partie compacte de $E$. Toute partie $B$ fermée de $A$ est compacte.

Démonstration

Soit $(O_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $B$. Par passage au complémentaire, dans $B$, on obtient une famille $(F_{i})_{i\in I}$ de fermés d'intersection vide.

Comme $B$ est fermé, les $F_{i}$ sont des fermés de $A$. Un nouveau passage au complémentaire, dans $A$ cette fois, nous donne un recouvrement ouvert $(O_{i}')_{i\in I}$ de $A$ dont on peut extraire un sous_recouvrement fini $(O_{j}')_{j\in J}$ par l'hypothèse de compacité.

Or, pour tout $i\in I,\ O_{i}\subset O_{i}'$. Donc, $(O_{j})_{j\in J}$ est un sous-recouvrement fini de $(O_{i})$, ce qui prouve la compacité de $B$.

 

Proposition

1. Une union finie de parties compactes de $E$ est compacte.
2. Une intersection non vide de parties compactes de $E$ est compacte.

Démonstration

Soit $A_{1},\cdots ,A_{N}$ des parties compactes de $E$.

1. Soit $(O_{i})_{i\in I}$ un recouvrement de $\cup _{k=1}^{N}A_{k}$. Alors, $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A_{k}$, pour tout $1\leq k\leq N$dont on peut extraire un sous-recouvrement fini.

   L'union de tous les sous-recouvrements finis ainsi extraits est alors finie, et forme un recouvrement de $\cup _{k=1}^{N}A_{k}$, ce qui termine la preuve.

2. On sait que, pour tout $1\leq k\leq N,\ A_{k}$ est un fermé, et donc $\cap _{k=1}^{N}A_{k}$ est fermée.

   Or, pour tout $1\leq k\leq N,\ \cap _{k=1}^{N}A_{k}\subset A_{k}$. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.