« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions
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→Compacité : Premières définitions |
→Définitions : Ajout d'une proposition+démonstration |
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Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>. |
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>. |
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{{Proposition |
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Si <math>A</math> est une partie compacte de <math>E</math>, alors <math>A</math> est fermée. |
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{{Démonstration déroulante |
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:On peut supposer <math>A\neq E</math>, car <math>E</math> est toujours fermée. |
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:Soit <math>x\in E\backslash A</math>. |
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:Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver une boule ouverte <math>B_y</math> contenant <math>y</math>, et ne contenant pas <math>x</math>, et une boule ouverte <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>, et ne contenant pas <math>y</math>. |
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:Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math> où <math>J</math> est une partie finie de <math>A</math>. |
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:On a alors <math>O'=\cup_{y\in J} B_y'</math> qui est un voisinage ouvert de <math>x</math> car <math>J</math> est finie. Et donc, pour <math>O=\cap_{y\in J} B_y</math>, on a <math>O\cap O' = \emptyset</math>. |
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:On en déduit que <math>O' \subset E \backslash A</math> car <math>A\subset O</math>. Par l'arbitraire sur <math>x</math>, <math> E \backslash A</math> est voisinage de chacun de ses points, et est donc ouvert. |
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:Ceci termine de montrer que <math>A</math> est fermée. |
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Version du 12 août 2019 à 10:02
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Compacité
Définitions
Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
Soit une partie de . On dit que est un recouvrement de si . Il est dit ouvert si est ouvert. Un sous-recouvrement de est une sous famille de qui est encore un recouvrement de
- Remarque
- On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc...
Définition : Partie compacte.
Soit une partie de . On dit que est compacte si pour tout recouvrement ouvert , il existe un sous-recouvrement fini avec une partie finie de .
Démonstration
- On peut supposer , car est toujours fermée.
- Soit .
- Pour tout , on peut trouver une boule ouverte contenant , et ne contenant pas , et une boule ouverte contenant , et ne contenant pas .
- Ainsi, est un recouvrement ouvert de , dont on peut extraire un sous-recouvrement fini où est une partie finie de .
- On a alors qui est un voisinage ouvert de car est finie. Et donc, pour , on a .
- On en déduit que car . Par l'arbitraire sur , est voisinage de chacun de ses points, et est donc ouvert.
- Ceci termine de montrer que est fermée.