« Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières » : différence entre les versions

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**Développement en séries entières**
Leçon : Fonctions d'une variable complexe

Chapitre n^o 6
Chap. préc. :	Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
Chap. suiv. :	Sommaire

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions d'une variable complexe : Développement en séries entières
Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Fonctions analytiques

Fonction analytique en un point

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Wikipédia possède un article à propos de « Fonction analytique ».

Une fonction $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ est dite analytique en un point $z_{0}\in \mathbb {C}$ si elle admet un développement en série entière autour de ce point : $f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}(z-z_{0})^{m}$ .

Fonction analytique

Une fonction $f:\Omega \subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ est dite analytique sur son domaine $\Omega$ , si elle est analytique en tous les points de son domaine.

Théorème de Taylor

Nous allons généraliser la formule de Taylor aux fonctions de variable complexe.

Théorème de Taylor

Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$ . Alors, sur tout disque $D(z_{0},R)\subset \Omega$ , on a

f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}(z-z_{0})^{m}

.

Fonctions d'une variable complexe

Théorèmes de Liouville et de Weierstrass

Sommaire

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 {{Chapitre
   | idfaculté = mathématiques
-  | numéro    = 7
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-== Fonctions analytiques  ==
+== Fonctions analytiques ==
 {{Définition
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+  | contenu ={{Wikipédia|Fonction analytique}}
-Une fonction <math>f :\C \rightarrow \C</math> est dite analytique en un point <math>z_{0}\in \C</math> si elle admet un développement en série entière autour de ce point : <math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}(z-z_0)^m</math>.
+Une fonction <math>f :\C\to\C</math> est dite analytique en un point <math>z_0\in \C</math> si elle admet un développement en série entière autour de ce point : <math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_m(z-z_0)^m</math>.
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 Nous allons généraliser la formule de Taylor aux fonctions de variable complexe.
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