« Espace préhilbertien réel/Exercices/Produit scalaire » : différence entre les versions
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:<math>\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\le n\sum_{i=1}^n x_i^2</math>. |
:<math>\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\le n\sum_{i=1}^n x_i^2</math>. |
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C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs <math>(x_1,\dots,x_n)</math> et <math>(1,\dots,1)</math> |
C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs <math>(x_1,\dots,x_n)</math> et <math>(1,\dots,1)</math>, dans <math>\R^n</math> muni de son produit scalaire usuel. |
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Par exemple, pour <math>n=3</math>, on obtient : |
Par exemple, pour <math>n=3</math>, on obtient : |
Version du 3 janvier 2017 à 12:21
Exercice 1
Soit un entier supérieur ou égal à . Démontrer que pour tous réels , on a :
.
Solution
En multipliant les deux membres par puis en leur ajoutant , l'inégalité à démontrer est :
- ,
ou encore :
- .
C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs et , dans muni de son produit scalaire usuel.
Par exemple, pour , on obtient :
- .