Intégrales en physique/Découpages classiques

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Intégration sur un disque

Du fait de la symétrie du disque, les coordonnées polaires sont les plus adaptées. On considère une grandeur f(r,θ) dont on veut calculer l'influence F sur la totalité de la surface Σ du disque.

Secteur angulaire

La surface élémentaire d'ordre 2 d²S la plus simple à exprimer est celle située en un point de coordonnées (r,θ) :

• qui s'étend radialement sur une longueur dr
• qui balaie un angle dθ

Si, du fait des très petites dimensions de la surface, on peut assimiler d²S à un rectangle de dimensions dr et r dθ, on obtient $\mathrm {d} ^{2}S=\mathrm {d} r~r\mathrm {d} \theta$.

On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les surfaces élémentaires :

${\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} ^{2}S&=\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{r=0}^{r=R}r\,\mathrm {d} r\,\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} \theta \\&=\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\&=\pi R^{2}={\mathcal {A}}_{\Sigma }\end{aligned}}$

F vaut alors $F=\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }f(r,\theta )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta$

Couronne élémentaire

Si de plus, f ne dépend pas de θ : $F=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{r=R}f(r)\,r\,\mathrm {d} r=2\pi \int _{r=0}^{r=R}f(r)\,r\,\mathrm {d} r$

Cela revient à choisir une surface élémentaire en forme de couronne située à une distance r du centre, de largeur infinitésimale dr.

Si on « coupe » cette couronne et qu'on la « déroule » par la pensée, on peut supposer que son aire est assimilable à celle d'un rectangle de longueur 2πr (la circonférence d'un cercle de rayon r) et de largeur dr.

On obtient alors une couronne infinitésimale d'ordre 1 d'aire $\mathrm {d} S=2\pi r~\mathrm {d} r$.

On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les couronnes élémentaires :

${\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=R}\mathrm {d} S&=\int _{r=0}^{r=R}2\pi r\,\mathrm {d} r\\&=\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\&=\pi R^{2}={\mathcal {A}}_{\Sigma }\end{aligned}}$

F vaut alors $F=2\pi \int _{r=0}^{r=R}r\,f(r)\mathrm {d} r$

Intégration sur un cylindre

• 
  $\mathrm {d} S=2\pi R\,\mathrm {d} z$
• 
  $\mathrm {d} V=2\pi rh\,\mathrm {d} r$

Intégration sur une sphère

Élément infinitésimal d'ordre 2

$\mathrm {d} ^{2}S=R^{2}\sin(\varphi )\,{\rm {d\theta {\rm {d\varphi }}}}$

Intégration sur des couronnes

$\mathrm {d} S=2\pi R^{2}\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta$

Intégration sur une boule

• $\mathrm {d} V=4\pi r^{2}\,\mathrm {d} r$