Leçons de niveau 14

Intégrales en physique/Découpages classiques

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Découpages classiques
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Chapitre no 3
Leçon : Intégrales en physique
Chap. préc. : Intégrales multiples
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Intégration sur un disque[modifier | modifier le wikicode]

Du fait de la symétrie du disque, les coordonnées polaires sont les plus adaptées. On considère une grandeur f(r,θ) dont on veut calculer l'influence F sur la totalité de la surface Σ du disque.

Secteur angulaire[modifier | modifier le wikicode]

IntegraleDouble-SecteurCirculaire.svg

La surface élémentaire d'ordre 2 d²S la plus simple à exprimer est celle située en un point de coordonnées (r,θ) :

  • qui s'étend radialement sur une longueur dr
  • qui balaie un angle dθ

Si, du fait des très petites dimensions de la surface, on peut assimiler d²S à un rectangle de dimensions dr et r dθ, on obtient .

On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les surfaces élémentaires :

F vaut alors

Couronne élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

IntégraleDouble-Cercle.svg

Si de plus, f ne dépend pas de θ :

Cela revient à choisir une surface élémentaire en forme de couronne située à une distance r du centre, de largeur infinitésimale dr.

Si on « coupe » cette couronne et qu'on la « déroule » par la pensée, on peut supposer que son aire est assimilable à celle d'un rectangle de longueur 2πr (la circonférence d'un cercle de rayon r) et de largeur dr.

On obtient alors une couronne infinitésimale d'ordre 1 d'aire .

On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les couronnes élémentaires :

F vaut alors

Intégration dans le cas d'un cylindre[modifier | modifier le wikicode]

Intégration sur une sphère[modifier | modifier le wikicode]

Élément infinitésimal d'ordre 2[modifier | modifier le wikicode]

IntegraleSurfaceSphere Ordre2.png

Intégration sur des couronnes[modifier | modifier le wikicode]

IntegraleSurfaceSphere Couronne.png


Intégration sur une boule[modifier | modifier le wikicode]

IntegraleVolumeBoule.png