Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre

On travaille dans $E=\mathbb {R} [X]$ muni du produit scalaire $\left(f,g\right)=\int _{-1}^{1}f(x)g(x)\mathrm {d} x$

On pose $\forall n\in \mathbb {N}$ le n-ième polynôme de Legendre : $\forall x\in \mathbb {R} ,~\lambda _{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}((x^{2}-1)^{n})$

1. Vérifier que $\left(\cdot ,\cdot \right)$ est bien un produit scalaire sur E.

2. Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃.

3. Montrer que $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une famille orthonormale de $\mathbb {R} [X]$ pour le produit scalaire $\left(\cdot ,\cdot \right)$.

4.Montrer que $\forall n\in \mathbb {N}$, λ_n vérifie l'équation différentielle $(E_{1})~:~{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} \lambda _{n}}{\mathrm {d} x}}\right]+n(n+1)\lambda _{n}=0$

5. Montrer que λ vérifie l'équation $(E_{2})~:~\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in \mathbb {R} ,~(n+1)\lambda _{n+1}(x)-(2n+1)x\lambda _{n}(x)+n\lambda _{n-1}(x)=0$

Solution

1. On reconnait dans $\left(\cdot ,\cdot \right)$ le produit scalaire usuel sur $L^{2}\left([-1;1]\right)$.

2. Les calculs donnent :

• $\lambda _{0}(x)={\frac {1}{2^{0}\times 0!}}((x^{2}-1)^{0})=1$,
• $\lambda _{1}(x)={\frac {1}{2^{1}\times 1!}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2}-1)={\frac {1}{2}}(2x)=x$,
• $\lambda _{2}(x)={\frac {1}{2^{2}\times 2!}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}((x^{2}-1)^{2})={\frac {1}{8}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x^{4}-2x^{2}+1)={\frac {1}{8}}(12x^{2}-4)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}$,
• $\lambda _{3}(x)={\frac {1}{2^{3}\times 3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}((x^{2}-1)^{3})={\frac {1}{48}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1)={\frac {1}{48}}(120x^{3}-72x)={\frac {5}{2}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x$.

3. Soient n et p deux entiers. On a :

$\left(\lambda _{n},\lambda _{p}\right)={\frac {1}{2^{n+p}n!p!}}\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}((x^{2}-1)^{n}){\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}((x^{2}-1)^{p})\mathrm {d} x$.

En faisant une intégration par parties, il vient :

$\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}((x^{2}-1)^{n}){\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}((x^{2}-1)^{p})\mathrm {d} x=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}((x^{2}-1)^{n}){\frac {\mathrm {d} ^{p-1}}{\mathrm {d} x^{p-1}}}((x^{2}-1)^{p})\right]_{-1}^{1}-\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} x^{n+1}}}((x^{2}-1)^{n}){\frac {\mathrm {d} ^{p-1}}{\mathrm {d} x^{p-1}}}((x^{2}-1)^{p})\mathrm {d} x$.

Là, on remarque que le polynôme $(x^{2}-1)^{p}$ admet -1 et 1 comme racines, d'ordre p, donc $\left.{\frac {\mathrm {d} ^{p-1}}{\mathrm {d} x^{p-1}}}((x^{2}-1)^{p})\right|_{-1}=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{p-1}}{\mathrm {d} x^{p-1}}}((x^{2}-1)^{p})\right|_{1}=0$, et donc le terme entre crochets est nul.

Par récurrence, il vient :

$\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}((x^{2}-1)^{n}){\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}((x^{2}-1)^{p})\mathrm {d} x=(-1)^{p}\int _{-1}^{1}(x^{2}-1)^{p}{\frac {\mathrm {d} ^{n+p}}{\mathrm {d} x^{n+p}}}((x^{2}-1)^{n})\mathrm {d} x$.

• Si $n=p$, il vient :

$(-1)^{n}\int _{-1}^{1}(x^{2}-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{2n}}{\mathrm {d} x^{2n}}}((x^{2}-1)^{n})\mathrm {d} x=(-1)^{n}(2n)!\int _{-1}^{1}(x^{2}-1)^{n}\mathrm {d} x=(-1)^{n}(2n)!\int _{-1}^{1}(x^{2}-1)^{n}\mathrm {d} x={\frac {(-1)^{2}4^{n+1}n!(n+1)!}{(2n+2)!}}$.