« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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*La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ. |
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ. |
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*Soit <math>f\in E</math> |
* Soit <math>f\in E</math> |
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:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math> |
:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math> |
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:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_{-1}^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math> |
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_{-1}^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math> |
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On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<sub>n</sub> de E définie par : |
On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<sub>n</sub> de E définie par : |
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*qui vaut -1 sur <math>\left[-1;-\frac1n\right]</math> |
* qui vaut -1 sur <math>\left[-1;-\frac1n\right]</math> |
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*qui vaut 1 sur <math>\left[\frac1n;1\right]</math> |
* qui vaut 1 sur <math>\left[\frac1n;1\right]</math> |
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*affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math> |
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math> |
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On montre que <math>|\varphi(f_n)|\to\ln(2)</math> |
On montre que <math>|\varphi(f_n)|\to\ln(2)</math> |
Version du 30 novembre 2009 à 20:49
Exercice
Montrer que et calculer |||φ|||.
Solution
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
- Soit
- Donc
- Donc
et
On pose pour tout la fonction fn de E définie par :
- qui vaut -1 sur
- qui vaut 1 sur
- affine sur
On montre que
Finalement