Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle

Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).

Exercice 1

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=-x+{\frac {5}{2}}-e^{-x}$.

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

Solution

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

$f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1$

Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\leq 0$

On en déduit que ƒ est décroissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

• $\lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : $x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$
• une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$

Donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $y=-x+{\frac {5}{2}}$

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=-e^{-x}$, grandeur négative.

Donc ${\mathcal {C}}$ est en-dessous de son asymptote ${\mathcal {D}}$

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}$

Donc la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}$

 

Exercice 2

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=2x-{\frac {5}{2}}+2e^{-x}$.

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

'Solution'

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

$f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})$

Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\geq 0$

On en déduit que ƒ est croissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

• $\lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : $x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$
• une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto 2e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$

Donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $y=2x-{\frac {5}{2}}$

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=2e^{-x}$, grandeur positive.

Donc ${\mathcal {C}}$ est au-dessus de son asymptote ${\mathcal {D}}$

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}$

Donc la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=2(1-e^{-2})x-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}$

 

Exercice 3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}$

2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}$

3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}$

'Solution'

Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb {R}$.

1. $f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}$

• Cette fonction se dérive comme un produit.
  • On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto (3x-2)$ et $v:x\mapsto e^{x}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto e^{x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^{x}$

2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}$

• Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
  • On remarque que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}=x^{2}e^{x}$
  • On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x^{2}$ et $v:x\mapsto e^{x}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^{x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}$

3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}$

• On va utiliser ce théorème de niveau 11
  • On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-3x}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -3e^{-3x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times (-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}$

 

Exercice 4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}$

2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}$

3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}$

4. $f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}$

5. $f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}$

6. $f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}$

7. $f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}$

Solution

1. $f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}$

• On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 5x-2$ et $v:x\mapsto e^{-x}$
• Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 5$ et $v':x\mapsto -e^{-x}$
• Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}$

2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}$

• On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x^{2}$ et $v:x\mapsto e^{x}$
• Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^{x}$
• Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}$

3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}$

• On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-4x}$
• Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -4e^{-4x}$
• Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}$

4. $f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}$

• On pose sur $\mathbb {R}$ la fonction $u:x\mapsto 2x+3$
• Sa dérivée est définie par $u':x\mapsto 2$
• Comme $f_{4}=e^{u}\,$, on a pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}$

5. $f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}$

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{5}'(x)=-12e^{-4x}$

6. $f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}$

• On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x$ et $v:x\mapsto e^{2x-1}$
• Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 1$ et $v':x\mapsto 2e^{2x-1}$
• Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{6}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}$

7. $f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}$

• On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{\frac {x}{2}}$
• Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{\frac {x}{2}}$
• Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{7}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left({\frac {3}{2}}x+3\right)e^{\frac {x}{2}}$

 

Exercice 5

Pour tout réel λ > 0, on note ƒ_λ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}$

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)$.

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+\infty$.

Solution

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)$.

Soit $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}f_{\lambda }(-x)&={\frac {e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda }}\\&={\frac {e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda }}\end{aligned}}$

Donc ƒ_λ est paire.

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+\infty$.

ƒ_λ est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R}$ :

${\begin{aligned}f_{\lambda }'(x)&={\frac {\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda )e^{-\lambda x}}{2\lambda }}\\&={\frac {e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}{2}}\\&={\frac {e^{\lambda x}\left(1-e^{-2\lambda x}\right)}{2}}\\\end{aligned}}$

On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ_λ', donc les variations de ƒ_λ.

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~e^{\lambda x}&&+&&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~1-e^{-2\lambda x}&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{\lambda }&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {1}{2\lambda }}&&\\\hline \end{array}}$

• Comme $\lim _{x\to +\infty }e^{-\lambda x}=0$ et $\lim _{x\to +\infty }e^{\lambda x}=+\infty$, on a $\lim _{x\to +\infty }f_{\lambda }=+\infty$
• Comme $\lim _{x\to -\infty }e^{-\lambda x}=+\infty$ et $\lim _{x\to -\infty }e^{\lambda x}=0$, on a $\lim _{x\to -\infty }f_{\lambda }=+\infty$