Suites et récurrence/Exercices/Limites

Cas assez simples

Trouver les limites des suites suivantes :

1. $a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$

2. $b_{n}={\frac {n-\left(-1\right)^{n}}{n+\left(-1\right)^{n}}}$ avec $n\geq 2$

3. $c_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

4. $d_{n}={\sqrt[{n}]{n^{2}}}$

5. $e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$

6. $f_{n}=2\,\left(2-{\frac {1}{n}}\right)\,\left(2-{\frac {2}{n}}\right)\,...\,\left(2-{\frac {n-1}{n}}\right)\,\,$

Solution pour les cinq premières suites

1. $a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$

$a_{n}={\frac {n+1-n}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}$

Ainsi écrit, on voit clairement que :

$\lim a_{n}=0$

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2. $b_{n}={\frac {n-\left(-1\right)^{n}}{n+\left(-1\right)^{n}}}$ avec $n\geq 2$

$b_{n}={\frac {n\,\left(1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}{n\,\left(1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}}={\frac {1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}{1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}}$

Ainsi écrit, on voit clairement que :

$\lim b_{n}=1$

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3. $c_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

$c_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\,{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Ainsi écrit, on voit clairement que :

$\lim c_{n}={\frac {1}{3}}$

(Coefficient devant le terme de plus haut degré...)

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4. $d_{n}={\sqrt[{n}]{n^{2}}}$

$d_{n}=n^{2/n}=e^{2/n\,\ln(n)}$

Ainsi écrit, on voit clairement que :

$\lim d_{n}=1$

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5. $e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$

On se rappelle la formule : $(1+x)^{n}\geq 1+nx,$ et on remarque que $e_{n}$ est une suite de termes positifs.

On a : ${\frac {e_{n}}{e_{n+1}}}={\frac {n!}{n^{n}}}\times {\frac {(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $\geq 1+n\times {\frac {1}{n}}=2$

Donc ${\frac {e_{n+1}}{e_{n}}}\leq {\frac {1}{2}}$ pour tout n.

On utilise la relation ${\frac {e_{n}}{e_{1}}}={\frac {e_{2}}{e_{1}}}\times {\frac {e_{3}}{e_{2}}}\times ....\times {\frac {e_{n}}{u_{n-1}}}\leq {\frac {1}{2^{n-1}}}$.

Or $e_{1}=1$ , on obtient alors : $0\leq e_{n}\leq {\frac {1}{2^{n-1}}}$.

Finalement, on obtient :

$\lim e_{n}=0$

 

Moyenne de Cesàro

Soit $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ une suite de nombres réels (ou même complexes) convergeant vers $\ell$. Démontrer que la suite $c$ définie par

$c_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}$

converge aussi vers $\ell$.

Solution

Comme $a_{n}\to \ell$, on a

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n>N\quad \left|a_{n}-\ell \right|\leq \varepsilon$.

Pour $n\geq N$, on a donc

${\begin{aligned}\left|c_{n}-\ell \right|&\leq {\frac {1}{n}}\left|\sum _{k=1}^{N}\left(a_{k}-\ell \right)\right|+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}-\ell |\\&\leq {\frac {1}{n}}S_{N}+{\frac {n-N}{n}}\varepsilon \\&\leq {\frac {1}{n}}S_{N}+\varepsilon \end{aligned}}$

avec

$S_{N}:=\left|\sum _{k=1}^{N}\left(a_{k}-\ell \right)\right|$.

Puisque $S_{N}$ ne dépend pas de $n$, il existe $N'\in \mathbb {N}$ tel que

$\forall n>N'\quad {\frac {1}{n}}S_{N}\leq \varepsilon$.

Alors,

$\forall n>\max(N,N')\quad \left|c_{n}-\ell \right|\leq 2\varepsilon$,

ce qui prouve que la suite $c$ converge bien vers $\ell$.