« Intégration en mathématiques/Exercices/Intégrales 2 » : différence entre les versions

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**Intégrales 2**
Leçon : Intégration en mathématiques

Exercices n^o10
Chapitre du cours :	Intégrale et primitives
Exercices de niveau 13.
Exo préc. :	Intégrales 1
Exo suiv. :	Intégrales 3

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Intégrales 2
Intégration en mathématiques/Exercices/Intégrales 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Calculer les intégrales suivantes.

Exercice 10-1

$\int _{-2}^{2}{\sqrt {x+2}}\,\mathrm {d} x$

Solution

$\int _{-2}^{2}{\sqrt {x+2}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\left[(x+2)^{3/2}\right]_{-2}^{2}={\frac {16}{3}}$ .

Exercice 10-2

$\int _{-4}^{0}x{\sqrt {x+4}}\,\mathrm {d} x$

Solution

$\int _{-4}^{0}x{\sqrt {x+4}}\,\mathrm {d} x=2\int _{0}^{2}\left(y^{2}-4\right)y^{2}\,\mathrm {d} y=2\left[{\frac {y^{5}}{5}}-{\frac {4y^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=-{\frac {128}{15}}$ .

Exercice 10-3

$\int _{2}^{4}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}-1}}$

Solution

$\int _{2}^{4}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\int _{2}^{4}\left({\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left[\ln \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\right]_{2}^{4}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {9}{5}}\right)=\ln 3-{\frac {\ln 5}{2}}$ .

Exercice 10-4

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{4-t^{2}}}$

Solution

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{4-t^{2}}}={\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{t+2}}-{\frac {1}{t-2}}\right)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{4}}\left[\ln \left({\frac {t+2}{|t-2|}}\right)\right]_{0}^{1}={\frac {\ln 3}{4}}$ .

Exercice 10-5

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}+2x-1}{x+1}}\,\mathrm {d} x$

Solution

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}+2x-1}{x+1}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(x+1-{\frac {2}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}+x-2\ln(x+1)\right]_{0}^{1}={\frac {3}{2}}-2\ln 2$ .

Exercice 10-6

$\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}-4t^{2}+2t+1}{t+1}}\,\mathrm {d} t$

Solution

$\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}-4t^{2}+2t+1}{t+1}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\left(t^{2}-5t+7-{\frac {6}{t+1}}\right)\,\mathrm {d} t=\left[{\frac {t^{3}}{3}}-{\frac {5t^{2}}{2}}+7t-6\ln(t+1)\right]_{0}^{1}={\frac {29}{6}}-6\ln 2$ .

Exercice 10-7

$\int _{0}^{2}{\frac {x\,\mathrm {d} x}{{\sqrt {2-x}}+{\sqrt {2+x}}}}$

Solution

$\int _{0}^{2}{\frac {x\,\mathrm {d} x}{{\sqrt {2-x}}+{\sqrt {2+x}}}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}\left({\sqrt {2+x}}-{\sqrt {2-x}}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}\left[(2+x)^{3/2}+(2-x)^{3/2}\right]_{0}^{2}={\frac {4}{3}}(2-sqrt2)$ .

Intégration en mathématiques

Intégrales 1

Intégrales 3

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 }}
+__NOTOC__
+Calculer les intégrales suivantes.
+{{Clr}}
 == Exercice 10-1 ==
+<math>\int_{-2}^2\sqrt{x+2}\,\mathrm dx</math>
+{{Solution|contenu=
-Calculer l'intégrale suivante :
+<math>\int_{-2}^2\sqrt{x+2}\,\mathrm dx=\frac23\left[(x+2)^{3/2}\right]_{-2}^2=\frac{16}3</math>.
+}}
-<math>\int_{-2}^2 \sqrt{x+2}\, \mathrm dx</math>
-{{Solution}}
 == Exercice 10-2 ==
+<math>\int_{-4}^0x\sqrt{x+4}\,\mathrm dx</math>
+{{Solution|contenu=
-Calculer l'intégrale suivante :
+<math>\int_{-4}^0x\sqrt{x+4}\,\mathrm dx=2\int_0^2\left(y^2-4\right)y^2\,\mathrm dy=2\left[\frac{y^5}5-\frac{4y^3}3\right]_0^2=-\frac{128}{15}</math>.
+}}
-<math>\int_{-4}^0 x\sqrt{x+4}\, \mathrm dx</math>
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 == Exercice 10-3 ==
+<math>\int_2^4\frac{\mathrm dx}{x^2-1}</math>
+{{Solution|contenu=
-Calculer l'intégrale suivante :
+<math>\int_2^4\frac{\mathrm dx}{x^2-1}=\frac12\int_2^4\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)\,\mathrm dx=\frac12\left[\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]_2^4=\frac12\ln\left(\frac95\right)=\ln3-\frac{\ln5}2</math>.
+}}
-<math>\int_2^4 \frac{\mathrm dx}{x^2-1}</math>
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 == Exercice 10-4 ==
+<math>\int_0^1\frac{\mathrm dt}{4-t^2}</math>
+{{Solution|contenu=
-Calculer l'intégrale suivante :
+<math>\int_0^1\frac{\mathrm dt}{4-t^2}=\frac14\int_0^1\left(\frac1{t+2}-\frac1{t-2}\right)\,\mathrm dt=\frac14\left[\ln\left(\frac{t+2}{|t-2|}\right)\right]_0^1=\frac{\ln3}4</math>.
+}}
-<math>\int_0^1 \frac{\mathrm dt}{4-t^2}</math>
-{{Solution}}
 == Exercice 10-5 ==
+<math>\int_0^1\frac{x^2+2x-1}{x+1}\,\mathrm dx</math>
+{{Solution|contenu=
-Calculer l'intégrale suivante :
+<math>\int_0^1\frac{x^2+2x-1}{x+1}\,\mathrm dx=\int_0^1\left(x+1-\frac2{x+1}\right)\,\mathrm dx=\left[\frac{x^2}2+x-2\ln(x+1)\right]_0^1=\frac32-2\ln2</math>.
+}}
-<math>\int_0^1 \frac{x^2+2x-1}{x+1}\, \mathrm dx</math>
-{{Solution}}
 == Exercice 10-6 ==
+<math>\int_0^1\frac{t^3-4t^2+2t+1}{t+1}\,\mathrm dt</math>
+{{Solution|contenu=
-Calculer l'intégrale suivante :
+<math>\int_0^1\frac{t^3-4t^2+2t+1}{t+1}\,\mathrm dt=\int_0^1\left(t^2-5t+7-\frac6{t+1}\right)\,\mathrm dt=\left[\frac{t^3}3-\frac{5t^2}2+7t-6\ln(t+1)\right]_0^1=\frac{29}6-6\ln2</math>.
+}}
-<math>\int_0^1 \frac{t^3-4t^2+2t+1}{t+1}\, \mathrm dt</math>
-{{Solution}}
 == Exercice 10-7 ==
+<math>\int_0^2\frac{x\,\mathrm dx}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}</math>
+{{Solution|contenu=
+<math>\int_0^2\frac{x\,\mathrm dx}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}=\frac12\int_0^2\left(\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}\right)\,\mathrm dx=\frac13\left[(2+x)^{3/2}+(2-x)^{3/2}\right]_0^2=\frac43(2-sqrt2)</math>.
+}}
+<!--
-Calculer l'intégrale suivante :
+== Exercice 10-8 ==
 <math>\int_{-1}^1 \frac{\mathrm dt}{\sqrt{t-1}+\sqrt{t+1}}</math>
+{{Solution|contenu=
+<math>\sqrt{t-1}</math> n'est pas défini si <math>t<1</math>.
-{{Solution}}
+}}
+-->
-== Exercice 10-8 ==
-Calculer l'intégrale suivante :
-<math>\int_0^2 \frac{x\mathrm dx}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}</math>
-{{Solution}}
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