« Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions » : différence entre les versions

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→‎Propriétés des séries de fonctions : CVS suffit, pas besoin de cvu
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{{Théorème
{{Théorème
| titre = Théorème : Dérivation terme à terme|contenu =
| titre = Théorème : Dérivation terme à terme|contenu =
Soit <math>\sum f_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f</math> sur <math>\mathcal D \subset \R</math> et soit <math>\sum f^'_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f^'</math> (bien sûr, les fonctions <math>f_n</math> sont supposées dérivables sur <math>\mathcal D</math> ) .<br />
Soit <math>\sum f_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVS} f</math> sur <math>\mathcal D \subset \R</math> et soit <math>\sum f^'_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f^'</math> (bien sûr, les fonctions <math>f_n</math> sont supposées dérivables sur <math>\mathcal D</math> ) .<br />
Alors on a :<br />
Alors on a :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>f'(x) = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\right)^'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f^'_n(x)</math>}}</center>}}
<center>{{Encadre|contenu=<math>f'(x) = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\right)^'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f^'_n(x)</math>}}</center>}}

Version du 1 février 2017 à 17:57

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Séries de fonctions
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Suites et séries de fonctions
Chap. préc. :Suites de fonctions
Chap. suiv. :Approximation de fonctions

Exercices :

Séries de fonctions
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Suites et séries de fonctions : Séries de fonctions
Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère là encore des fonctions d'une variable réelle.

(exemple à faire)

Convergence simple


On remarquera qu'une série de fonctions est une suite de fonctions particulière au même titre qu'une série numérique est une suite numérique particulière. De plus, la convergence simple d'une série de fonctions n'est en fait rien d’autre que la convergence simple de la suite de ses sommes partielles. (exemple à faire)

Convergence uniforme


Convergence normale


Propriétés des séries de fonctions

Ces théorèmes se démontrent en utilisant les théorèmes correspondants sur les suites de fonctions.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Dans chaque cas, la réciproque est fausse.

Début d’un théorème
Fin du théorème

On parle aussi de passage à la limite terme à terme.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème