Calcul différentiel/Limites et continuité

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Limites

Introduction

Une façon pour calculer l'aire d'un cercle est de dessiner un polygone régulier ayant le plus grand nombre de côtés dans le cercle. Donc, plus le nombre de côté du polygone est grand, plus l'aire du polygone se rapproche de l'aire du cercle. Ainsi, l'aire d'un octogone est plus proche de l'aire du cercle que l'aire d'un carré, mais l'aire d'un polygone régulier à seize côtés serait encore plus proche de celle du cercle ...

Un autre problème évident, celui de la recherche de la pente d'une droite tangente à une courbe. Nous pourrions estimer la pente de cette tangente en calculant la pente d'une sécante de la courbe. Mais si nous rapprochons la sécante un peu plus près de la tangente, nous aurions une pente encore plus précise, mais moins qu'une sécante encore plus près...

Dans ces deux problèmes, le concept de limite nous permettra de résoudre ces problèmes en nous rapprochant le plus possible du point intéressant.

Exemple intuitif

Soit la fonction $f(x)={\tfrac {x^{3}-2x^{2}}{x-2}}$

En calculant le domaine de la fonction, nous arrivons à $domf=\ ]-\infty ,2[\ \bigcup \ ]2,+\infty [$

Qu'arrive-t-il si x est égal à 2 ? Une division par zéro.

Dessinons les deux tables de valeurs quand x se rapproche de 2 par la gauche (1.9, 1.99, 1.999, ...) et par la droite (2.1, 2.01, 2.001, ...).

x	1.9	1.99	1.999	1.9999	...	$x\to 2$
f(x)	3.61	3.9601	3.996	3.9996	...	4

x	2.1	2.01	2.001	2.0001	...	$x\to 2$
f(x)	4.41	4.0401	4.004	4.0004	...	4

Attention, f(2) != 4.

Notations et définitions

Valeur limite d'une variable

$x\to c$ se lit « x tend vers c ».

Ça signifie que « x » se rapproche de plus en plus de la constante « c » tout en demeurant différent de « c ».

Valeur limite d'une variable

$\lim _{x\to c}f(x)=L$ se lit « la limite de la fonction f lorsque x tend vers c est L ».

Ça signifie que si « x » s'approche très près de « c » alors f(x) s'approche très près de « L ».

Continuité

Introduction

La continuité est une propriété « sympathique » des fonctions d'une variable. La plupart des fonctions « usuelles » sont continues (même si la plupart des fonctions tout court ne l'est pas) et l'extension de cette notion à des fonctions de plusieurs variables est intéressante.

Notations et définitions

Notations

Notations

On note E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, sur le corps des réels ou des complexes.

Définition

Pour étendre la notion de continuité, il faut repartir de sa définition. Si f est une fonction numérique, elle est continue si et seulement si : $\forall \varepsilon >0,\forall x\in \mathbb {R} ,\exists \eta >0,\forall y\in \mathbb {R} ,\quad |x-y|\leq \eta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$.

On peut directement adapter cette définition aux cas qui nous intéressent :

Continuité d'une fonction

Soit $f:E\to F$ une application. On dit que ƒ est continue sur $E$ si et seulement si :

$\forall \varepsilon >0,\forall \mathbf {x} \in E,\exists \eta >0,\forall \mathbf {y} \in E,\quad \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|_{E}\leq \eta \Longrightarrow \|f(\mathbf {x} )-f(\mathbf {y} )\|_{F}\leq \varepsilon$.

Cas particuliers

F est un espace réel

Dans le cas ou $\scriptstyle F=\mathbb {R} ^{n}$, on peut utiliser le théorème suivant :

Début d’un théorème

Continuité d'une fonction

Une fonction ƒ est continue si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont continues.

Fin du théorème

Ce résultat n'est valable que si l’espace d'arrivée est de la forme $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$. En aucun cas cela ne s'applique si l’espace de départ l'est.

Rappelons de quoi il s'agit :

Applications coordonnées

Soit ƒ une application de E dans F. Soit $B=\left(\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\right)$ une base de F. Les applications coordonnées de ƒ sont les fonctions $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ telles que : $\forall \mathbf {x} \in E,\quad f\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{n}\phi _{i}\left(\mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {e} _{i}$

Il s'agit bien d’applications coordonnées, et non pas d’applications partielles.

Un exemple aidera à s'en convaincre :

Début de l'exemple

Contre-exemple

Étudier la fonction définie par : $f\left(x,y\right)={\frac {x}{y}}$ si y est non-nul, et ƒ = 0 sinon.

Les applications partielles de ƒ en 0 sont :

• $f_{1}:t\mapsto f\left(t,0\right)=0$
• $f_{2}:t\mapsto f\left(0,t\right)=0$

Elles sont continues...

Pourtant, l’application de la définition de la continuité ci-dessus montre que ƒ n’est pas continue : pour tout x non nul, ƒ(x, x) = 1, alors que ƒ(0, 0) = 0...

Fin de l'exemple

E est un espace réel

Continuité

Ce cas est généralement trivial : il s'agit uniquement des théorèmes usuels de continuité des applications linéaires, des polynômes...

Début de l'exemple

Exemple

Étudier la continuité de l’application suivante en dehors du point (0,0) : $f:\left(x,y\right)\mapsto {\frac {x^{2}\cdot y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}$ Il s'agit du quotient de deux fonctions continues, dont le dénominateur ne s'annule pas. Conclusion : ƒ est continue.

Fin de l'exemple

Non-continuité

Début d'un lemme

Lemme

Si ƒ est une application continue, si φ est une fonction qui tend vers 0 en 0, alors : $f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)$ tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

Fin du lemme

Contraposons ce résultat élémentaire. Sa négation est alors :

Début d’un théorème

Non-continuité d'une application

Si ƒ est une application, s'il existe une application φ tendant vers 0 en 0 telle que : $f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)$ ne tend pas vers 0 lorsque x tend vers 0, alors ƒ n’est pas une application continue.

Fin du théorème

On peut ainsi montrer, en trouvant astucieusement une fonction φ, qu'une fonction n’est pas continue.

Exemple : Soit la fonction $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ définie par :

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&{\text{si }}(x,y)\neq (0,0)\\0,&{\text{si }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$.
Si l’on choisit $\varphi (x)=x$ , alors $\forall x\neq 0\;,f(x,\varphi (x))={\frac {x^{2}}{2x^{2}}}={\frac {1}{2}}\neq 0$ , donc $f$ n’est pas continue en $(0,0)$ .