Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie

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Dans toute cette leçon, $E$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.

Norme et distance

Définition : Norme d’espace vectoriel

Une norme sur $E$ est une application $\|.\|:E\to \mathbb {R} ^{+}$ telle que $\forall x,y\in E,\;\forall \lambda \in \mathbb {R}$:

• $\|x\|=0\Rightarrow x=0$
• $\|\lambda x\|=|\lambda \|\|x\|$
• $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|{\text{ (inégalité triangulaire).}}$

$(E,\|\cdot \|)$ est alors appelé espace vectoriel normé (abrégé en e.v.n.).

Exemples :

• Dans $\mathbb {R}$ , l’application valeur absolue définit une norme.
• Sur $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$, les trois normes les plus classiques sont :
  • $\|\cdot \|_{1}:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$ ;
  • $\|\cdot \|_{2}:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$ : c’est la norme euclidienne ;
  • et plus généralement $\forall p\in \mathbb {N} ,\;\|\cdot \|_{p}:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}$ ;
  • $\|\cdot \|_{\infty }:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|.$
• Sur l’espace fonctionnel ${\mathcal {C}}^{0}([a;b];\mathbb {R} )$ des fonctions continues sur un compact non vide $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb {R}$, on définit aussi :
  • $\forall p\in \mathbb {N} ,\;\|\cdot \|_{p}:f\mapsto \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\mathrm {d} x}}$ ;
  • $\|\cdot \|_{\infty }:f\mapsto \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$ : on parle de norme "infini" ou norme "sup" ou norme de la convergence uniforme.

À partir d’une norme, on définit la distance entre deux vecteurs par :

Définition : Distance entre deux vecteurs

Soient $x,y\in (E,\|.\|)$. La distance entre $x$ et $y$ est définie par :

$d(x,y)=\|x-y\|.$

Il s’agit bien d’une distance, puisqu'elle vérifie les trois axiomes de distance.

On démontre, comme dans $\mathbb {R}$, la deuxième inégalité triangulaire :

Propriété

$\forall x,y\in (E,\|.\|)\quad \left|\|x\|-\|y\|\right|\leq \|x-y\|.$

Enfin, on définit la notion d'équivalence de deux normes :

Définition : Équivalence de normes

Soient $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ deux nomes sur un même e.v.n. $E$. On dit que $\|\cdot \|_{1}$ est équivalente à $\|\cdot \|_{2}$ s’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$\forall x\in E\quad \alpha \|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq \beta \|x\|_{1}.$

La relation « est équivalente à » est une relation d'équivalence sur l’ensemble des normes sur $E$, car deux normes sont équivalentes si et seulement si les distances associées sont équivalentes, c’est-à-dire engendrent la même topologie.

Exemple : sur $\mathbb {R} ^{n}$, toutes les normes sont équivalentes.

Glossaire topologique

Définitions : Boules d’un evn

Soient $x\in E$ et $r\in \mathbb {R} _{*}^{+}$.

• La boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ est l’ensemble :

${\mathcal {B_{O}}}(x,r)=\{y\in E|\|x-y\|<r\}$

• La boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$ est l’ensemble :

${\mathcal {B_{F}}}(x,r)=\{y\in E|\|x-y\|\leq r\}$

Exemples : On reprend les normes classiques de $\mathbb {R} ^{n}$ présentées ci-dessus (dessin pour $n=2$).

Le vocabulaire topologique est souvent très imagé (voisinage,ouvert,etc.) et finalement assez naturel.

Définition : Voisinage d’un point

Soit $x\in E$.
Une partie $A$ de $E$ est un voisinage de $x$ si, et seulement si, $A$ contient une boule ouverte de centre $x$.

Définitions : Ouverts et fermés d’un evn

Soit $A\subset E$.

• $A$ est un ouvert de $E$ si, et seulement si, $A$ est le voisinage de chacun de ses points.
• $A$ est un fermé de $E$ si, et seulement si, il existe un ouvert de $E$ dont $A$ soit le complémentaire.

Définitions : Adhérence, frontière et intérieur

Soit $A\subset E$.

• Un point $x\in A$ est dit intérieur à $A$ si, et seulement si, il existe un voisinage de $x$ distinct de $A$ entièrement contenu dans $A$.
  L’intérieur de $A$ est l’ensemble, noté ${\stackrel {\ \circ }{A}}$, des points intérieurs à $A$.
• Un point $x\in A$ est dit adhérent à $A$ si, et seulement si, tout voisinage de $x$ rencontre $A$.
  L’adhérence de $A$ est l’ensemble, noté ${\bar {A}}$, des points adhérents à $A$.
• La frontière de $A$ est l’ensemble, noté $\mathrm {Fr} (A)$, défini par :

$\mathrm {Fr} (A)={\bar {A}}-{\stackrel {\ \circ }{A}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Sur l’image ci-dessus, si on appelle $A$ l’ensemble "informe" en vert clair, alors :

• les points $W$ et $B$ sont adhérents à $A$, mais pas $Z$ ;
• seul le point $W$ est intérieur à $A$ ;
• seul le point $B$ appartient à la frontière de $A$.

Fin de l'exemple

On démontre alors la propriété suivante.

Propriété

• ${\stackrel {\ \circ }{A}}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
• ${\bar {A}}$ est le plus petit fermé contenant $A$.

Définition – Densité

Soit $A\subset B\subset E$. $A$ est dit "dense" dans $B$ si, et seulement si, ${\bar {A}}=B$.

Cela signifie donc que tout ouvert non vide de $B$ contient un point de $A$.

Intuitivement, les parties denses d’un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

Début de l'exemple

Exemple (à connaître)

$\mathbb {Q}$ est dense dans $\mathbb {R}$.

Fin de l'exemple

Définitions : Points isolés et d’accumulation

Soit $A\subset E$.

• $x\in A$ est un point d’accumulation de $A$ si, et seulement si, tout voisinage de $x$ contient un point de $A$ distinct de $x$.
• Un point de $A$ est isolé si, et seulement si, il ne s’agit pas d’un point d’accumulation de $A$.

Premières propriétés topologiques

Propriétés

• $E$ et $\varnothing$ sont les seules parties de $E$ à être à la fois ouvertes et fermées.
• Une boule ouverte (resp. fermée) est bien sûr un ouvert (resp. un fermé).
• La réunion et l’intersection finie de 2 ouverts est un ouvert.

Pour l’intersection infinie, le résultat est faux (sur $\mathbb {R}$ , on peut prendre $\bigcap _{n=1}^{+\infty }\left]-{\frac {1}{n}};{\frac {1}{n}}\right[=\{0\}$ qui est fermé...).

(à finir)