Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable très facile

Les changements de variable présentés dans cette page ne présente pas de difficulté ou sont des applications immédiates du cours.

Exercice 1-1

Calculer :

$a)\quad \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\cos {x}}{1+\sin x}}\,\mathrm {d} x$

Solution

Posons :

$y=\sin {x}\Rightarrow \mathrm {d} y=\cos {x}\mathrm {d} x\qquad \qquad 0\rightarrow x\rightarrow {\frac {\pi }{2}}\Rightarrow 0\rightarrow y\rightarrow 1$

On a donc :

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\cos {x}}{1+\sin x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{1+y}}=\left[\ln(y+1)\right]_{0}^{1}=\ln {2}-\ln 1$

Nous pouvons conclure que :

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\cos {x}}{1+\sin x}}\,\mathrm {d} x=\ln {2}$

 

Exercice 1-2

Calculer :

$a)\quad \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{x+1}}\,\mathrm {d} x$

Solution

Posons :

$y=x+1\Leftrightarrow x=y-1\Rightarrow \mathrm {d} x=\mathrm {d} y\qquad \qquad 0\rightarrow x\rightarrow 1\Rightarrow 1\rightarrow y\rightarrow 2$

On a donc :

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{x+1}}\,\mathrm {d} x&=\int _{1}^{2}{\frac {(y-1)^{2}}{y}}\,\mathrm {d} y=\int _{1}^{2}{\frac {y^{2}-2y+1}{y}}\,\mathrm {d} y\\&=\int _{1}^{2}\left({\frac {y^{2}}{y}}-{\frac {2y}{y}}+{\frac {1}{y}}\right)\,\mathrm {d} y=\int _{1}^{2}\left(y-2+{\frac {1}{y}}\right)\,\mathrm {d} y\\&=\left[{\frac {y^{2}}{2}}-2y+ln(y)\right]_{1}^{2}={\frac {2^{2}}{2}}-2\times 2+ln(2)-{\frac {1^{2}}{2}}+2\times 1-ln(1)\\&=2-4+ln(2)-{\frac {1}{2}}+2-ln(1)=ln(2)-{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Nous pouvons conclure que :

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{x+1}}\,\mathrm {d} x=ln(2)-{\frac {1}{2}}$

 

Exercice 1-3

Calculer :

$a)\quad \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+{\sqrt {x}}}}\,\mathrm {d} x$

Solution

Posons :

$y={\sqrt {x}}\Leftrightarrow x=y^{2}\Rightarrow \mathrm {d} x=2y\mathrm {d} y\qquad \qquad 0\rightarrow x\rightarrow 1\Rightarrow 0\rightarrow y\rightarrow 1$

On a donc :

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+{\sqrt {x}}}}\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}{\frac {2y}{1+y}}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {2+2y-2}{1+y}}\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {2(1+y)}{1+y}}-{\frac {2}{1+y}}\right)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\left(2-2{\frac {1}{1+y}}\right)\,\mathrm {d} y\\&=\left[2y-2\ln(1+y)\right]_{0}^{1}=2\times 1-2\ln(1+1)-2\times 0+2\ln(1+0)\\&=2-2\ln(2)=2\left(1-\ln(2)\right)\end{aligned}}$

Nous pouvons conclure que :

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+{\sqrt {x}}}}\,\mathrm {d} x=2\left(1-\ln(2)\right)$

 

Exercice 1-4

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 1-5

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Solution

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Exercice 1-6

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Solution

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Exercice 1-7

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Solution

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Exercice 1-8

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Solution

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