Similitude/Exercices/Avec des complexes

Exercice 5-1

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

1. Déterminez l'ensemble des points du plan $P$ dont l'affixe $z$ vérifie :

   $\left|\left(1-\mathrm {i} \right)z+2\mathrm {i} \right|=2$.

2. Étudiez la transformation de $P$ qui, au point d'affixe $z$, fait correspondre le point d'affixe :

   $z'=\left(1-\mathrm {i} \right)z+2\mathrm {i}$.

3. En utilisant la transformation précédente, retrouvez le résultat de la question 1.

Solution

1. $\left|\left(1-\mathrm {i} \right)z+2\mathrm {i} \right|=2\Leftrightarrow \left|z+{\frac {2\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\right|={\frac {2}{\left|1-\mathrm {i} \right|}}\Leftrightarrow \left|z-\left(1-\mathrm {i} \right)\right|={\sqrt {2}}$ donc l'ensemble est le cercle de rayon ${\sqrt {2}}$ dont le centre $\Omega$ a pour coordonnées $\left(1,-1\right)$.
2. Cette transformation $S$ est une similitude directe de rapport $k=\left|1-\mathrm {i} \right|={\sqrt {2}}$ et d'angle $\arg \left(1-\mathrm {i} \right)=-{\frac {\pi }{4}}$. L'affixe de son centre est $2$.
3. L'ensemble de la question 1 est l'image réciproque par $S$ du cercle de centre $O$ et de rayon $R=2$. On retrouve le cercle de centre $S^{-1}(O)=\Omega$ et de rayon $R/k={\sqrt {2}}$.

 

Exercice 5-2

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $\left(O;{\vec {u}},{\vec {v}}\right)$, soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $12$ et $9\mathrm {i}$.

On note $f$ la similitude directe dont l'écriture complexe est :

$Z=-{\frac {3}{4}}\mathrm {i} z+9\mathrm {i}$.

1. Déterminez le centre $\Omega$, l’angle et le rapport de $f$.
2. Quelles sont les images par $f$ des points $A$ et $O$ ?
3. Montrez que $\Omega A\times \Omega B=\Omega O^{2}$.
4. Montrez que que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de $O$ dans le triangle $AOB$ et qu'il appartient aux cercles ${\mathcal {C}}_{1}$ et ${\mathcal {C}}_{2}$ de diamètres respectifs $[OA]$ et $[OB]$.
5. Faites une figure comportant les points $A$, $B$ et $\Omega$, ainsi que les cercles ${\mathcal {C}}_{1}$ et ${\mathcal {C}}_{2}$ (unité graphique : 1 cm).

Solution des questions 1 à 4

1. Le rapport est ${\frac {3}{4}}$, l'angle est $-{\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$ et $\Omega$ a pour affixe ${\frac {9\mathrm {i} }{1+{\frac {3}{4}}\mathrm {i} }}={\frac {36}{25}}\left(3+4\mathrm {i} \right)$.
2. $f(A)=O$ et $f(O)=B$.
3. ${\frac {\Omega O}{\Omega A}}={\frac {3}{4}}={\frac {\Omega B}{\Omega O}}$.
4. $\left({\vec {\Omega A}},{\vec {\Omega O}}\right)=\left({\vec {\Omega O}},{\vec {\Omega B}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}$ + réciproque du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.

 

Figure

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 5-3

Soit $\alpha$ un complexe de module $r$ et d'argument $\theta$. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

Parmi les similitudes directes de rapport $r$ et d'angle $\theta$ :

• celle de centre $A$ transforme $B$ en $Q$ ;
• celle de centre $B$ transforme $C$ en $M$ ;
• celle de centre $C$ transforme $D$ en $N$ ;
• celle de centre $D$ transforme $A$ en $P$.

1. On note $a$, $b$ et $q$ les affixes respectives de $A$, $B$ et $Q$. Déterminez $q$ en fonction de $\alpha$, $a$ et $b$.
2. Montrez que « $MNPQ$ est un parallélogramme » équivaut à « $\alpha ={\frac {1}{2}}$ ou $ABCD$ est un parallélogramme »
3. On suppose que $ABCD$ est un parallélogramme et que $\alpha ={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}$. Déduisez-en que $MNPQ$ est un carré.

Solution

1. En notant de même $c$, $d$, $m$, $n$ et $p$ les affixes respectives de $C$, $D$, $M$, $N$ et $P$, on a :

   $q-a=\alpha \left(b-a\right),\quad m-b=\alpha \left(c-b\right),\quad n-c=\alpha \left(d-c\right)\quad {\text{et}}\quad p-d=\alpha \left(a-d\right)$.

   En particulier, $q=a+\alpha \left(b-a\right)$.

2. $q-p=m-n\Leftrightarrow a+\alpha \left(b-a\right)-d-\alpha \left(a-d\right)=b+\alpha \left(c-b\right)-c-\alpha \left(d-c\right)$

   $\Leftrightarrow \left(1-2\alpha \right)\left(a-b+c-d\right)=0\Leftrightarrow \alpha ={\frac {1}{2}}{\text{ ou }}d-c=a-b$.

3. D'après la question 2, $MNPQ$ est un parallélogramme. C'est même un carré car de plus, $n-m=\mathrm {i} \left(p-n\right)$. En effet :
   • $p-n=d+\alpha \left(a-d\right)-c-\alpha \left(d-c\right)=d+\alpha \left(b-c\right)-c-\alpha \left(d-c\right)=\alpha \left(b-c\right)+\left(1-\alpha \right)\left(d-c\right)$ ;
   • $n-m=c+\alpha \left(d-c\right)-b-\alpha \left(c-b\right)=\left(\alpha -1\right)\left(b-c\right)+\alpha \left(d-c\right)$ ;
   • ${\frac {\alpha -1}{\alpha }}={\frac {\alpha }{1-\alpha }}=\mathrm {i}$.

 

Exercice 5-4

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O;{\vec {u}},{\vec {v}}\right)$, soit $ABC$ un triangle direct dont le point $O$ est le centre de son cercle circonscrit. On désigne par $M$ le milieu de $[BC]$, $N$ celui de $[CA]$ et $P$ celui de $[AB]$ ; les affixes respectives des points $A$, $B$, $C$, $M$, $N$ et $P$ sont notées $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ et $p$.

1°  Dans cette question $m=-1-3\mathrm {i} ,\,n=2$. L'unité de longueur est le centimètre.

Construisez les triangles $MNP$ et $ABC$.

2°  Soit $f$ la transformation du plan qui à chaque point d'affixe $z=x+\mathrm {i} y$ associe le point d'affixe :

$z'={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}}{\sqrt {2}}}\left(-z+m+n+p\right)$.

Quelle est la nature de $f$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.

3°  a)  Montrez que $a=n+p-m$.

b)  Exprimez $b$ et $c$ en fonction de $m$, $n$ et $p$.

4°  On pose $f(A)=A'$, $f(B)=B'$ et $f(C)=C'$.

On désigne par $a'$, $b'$ et $c'$ les affixes respectives des points $A'$, $B'$ et $C'$.

a)  Démontrez que $a'=\left(1+\mathrm {i} \right)m$, $b'=\left(1+\mathrm {i} \right)n$ et $c'=\left(1+\mathrm {i} \right)p$.

b)  Déduisez-en que ${\vec {MA'}}$ et ${\vec {OM}}$ sont orthogonaux et que $A'$ appartient à la droite $(BC)$.

c)  Montrez de même que $B'$ appartient à la droite $(CA)$ et que $C'$ appartient à la droite $(AB)$.

5°  Montrez qu'il existe une similitude directe transformant le triangle $MNP$ en le triangle $A'B'C'$.

Précisez les éléments de cette similitude.

6°  Complétez par les points $A'$, $B'$ et $C'$ la figure du 1°.

Solution des questions 2 à 5

2°  $f$ est la similitude directe de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$, d'angle $-{\frac {3\pi }{4}}{\pmod {2\pi }}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {2+\mathrm {i} }{5}}\left(m+n+p\right)$.

3°  a)  $n+p-m={\frac {a+c}{2}}+{\frac {a+b}{2}}-{\frac {b+c}{2}}=a$.

b)  $b=p+m-n$ et $c=m+n-p$ s'en déduisent par permutation circulaire, ou se démontrent de même.

4°  a)  $a'={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}\left(-a+m+n+p\right)={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}\left(-n-p+m+m+n+p\right)=\left(1+\mathrm {i} \right)m$. Les deux autres égalités s'en déduisent par permutation circulaire, ou se démontrent de même.

b)  $a'-m=\mathrm {i} m$ donc ${\vec {MA'}}\perp {\vec {OM}}$. Par conséquent, $A'$ appartient à la perpendiculaire à $OM$ issue de $M$, qui n'est autre que $(BC)$ puisque $(OM)$ est la médiatrice de $[BC]$.

c)  S'en déduit par permutation circulaire, ou se démontre de même.

5°  D'après 4° a), la similitude directe de centre $O$, d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$ envoie $MNP$ sur $A'B'C'$.

 

Figure

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Exercice 5-5

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(A;{\vec {u}},{\vec {v}}\right)$, on considère un parallélogramme tel que : ${\vec {AB}}={\vec {DC}}={\vec {u}}$.

On note $E$ le point d'affixe $1+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\mathrm {i}$ et $F$ l'image de $C$ par la similitude directe $f$ de centre $B$, de rapport ${\frac {1}{2}}$ et d'angle ${\frac {\pi }{3}}$.

1°  Vérifier que $({\vec {AB}},\,{\vec {AE}})={\frac {\pi }{6}}$ et montrez que le triangle $BCF$ est rectangle en $F$. Faites une figure soignée.

2°  On note $g$ la similitude directe de centre $E$ qui transforme $A$ en $B$.

Donnez les éléments caractéristiques de $g$.

3°  On note $t$ la translation de vecteur ${\vec {u}}$. Montrez que $g=f\circ t$.

4°  Montrez que $g$ transforme $D$ en $F$.

Déduisez-en la nature et les angles du triangle $DEF$.

Solution

Notons les affixes des points par les minuscules correspondantes.

1°  $e=1+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\mathrm {i} ={\frac {2}{\sqrt {3}}}{\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}$ donc $({\vec {AB}},\,{\vec {AE}})=\arg {\frac {e-a}{b-a}}=\arg e={\frac {\pi }{6}}$.

$f-b={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}\left(c-b\right)$ donc ${\frac {c-f}{b-f}}=1+{\frac {b-c}{f-b}}=1-{\frac {4}{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {-3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}=\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ donc $({\vec {FB}},\,{\vec {FC}})=\arg(\mathrm {i} {\sqrt {3}})={\frac {\pi }{2}}$.

2°  ${\frac {b-e}{a-e}}={\frac {1-e}{-e}}=1-{\frac {1}{e}}=1-{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}$ donc $g$ a pour rapport ${\frac {1}{2}}$ et pour angle ${\frac {\pi }{3}}$.

3°  $f\circ t$ est une similitude directe de mêmes rapport et angle que $g$, et $(f\circ t)(A)=f(B)=B=g(A)$.

4°  $g(D)=f(t(D))=f(C)=F$ donc $EDF$ est semblable à $BCF$ et à $EAB$ : rectangle en $F$ avec $({\vec {ED}},\,{\vec {EF}})={\frac {\pi }{3}}$, $({\vec {DF}},\,{\vec {DE}})=({\vec {AB}},\,{\vec {AE}})={\frac {\pi }{6}}$ et $({\vec {FE}},\,{\vec {FD}})=({\vec {FB}},\,{\vec {FC}})={\frac {\pi }{2}}$.

 

Figure

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Exercice 5-6

Dans le plan orienté, $AFED$ est un carré direct, de côté $1$.

Soit $l$ la longueur du segment $[AB]$ du rectangle $ABCD$ ($F\in [AB]$, $E\in [CD]$).

1°  On suppose, uniquement dans cette question et la suivante, qu'il existe une similitude directe $S$ transformant respectivement $A$, $B$, $C$ et $D$ en $B$, $C$, $E$ et $F$.

Montrez que $l$ est égal à ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ (le nombre d'or).

2°  a)  Quel est l'angle de la similitude $S$ ?

b)  Montrez que $S\circ S$ est une homothétie.

c)  Déduisez des questions précédentes que les segments $[AC]$ et $[BE]$ se coupent au centre $\Omega$ de $S$.

3°  On suppose maintenant que $l={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. On choisit comme repère $\left(A,{\vec {AF}},{\vec {AD}}\right)$.

À tout point $M$ d'affixe $z$ on associe le point $g(M)$ d'affixe :

$z'={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\mathrm {i} z+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$.

Déterminez la nature de $g$ et précisez ses éléments. Quelles sont les images par $g$ des points $A$, $B$, $C$ et $D$ ?

Solution

1°  Le rapport de similitude est à la fois égal à ${\frac {BC}{AB}}={\frac {1}{l}}$ et à ${\frac {BF}{AD}}={\frac {l-1}{1}}$, donc $l^{2}-l-1=0$ donc $l={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ (l'autre racine étant négative).

2°  a)  L'angle de $S$ est $\left({\vec {AB}},{\vec {BC}}\right)={\frac {\pi }{2}}$.

b)  $S\circ S$ est une similitude directe d'angle $2\times {\frac {\pi }{2}}=\pi$ donc une homothétie (de rapport négatif).

c)  $S\circ S$ est une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport négatif qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $E$.

3°  $g$ est une similitude directe de rapport $l-1$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et son centre a pour affixe ${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{10}}+\mathrm {i} {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}$.

Elle transforme respectivement $A$, $B$, $C$ et $D$ en $B$, $C$, $E$ et $F$. C'est donc la similitude $S$ dont on avait supposé l'existence dans les questions précédentes.

 

Exercice 5-7

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle $ABC$ tel que $AB=AC=l$, où $l$ est un réel fixé strictement positif, et $({\vec {AB}},\,{\vec {AC}})={\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$.

On note $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $O$ le milieu de $[CD]$. Placez sur une figure les points $A,B,C,D,O$.

On désigne par $s$ la similitude directe qui transforme $D$ en $B$ et $B$ en $C$ et l'on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caractéristiques de $s$, notamment son centre $I$.

1°  Méthode géométrique :

a)  Déterminez le rapport $k$ et l’angle $\alpha$ de la similitude $s$.

b)  Montrez que $({\vec {ID}},\,{\vec {IC}})=-{\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$ et $IC=2ID$.

c)  En déduire la nature du quadrilatère $CADI$ et la position du point $I$.

2°  Utilisation de nombres complexes :

On pose ${\vec {u}}={\frac {1}{l}}{\vec {AB}},\,{\vec {v}}={\frac {1}{l}}{\vec {AC}}$ et l'on considère le repère orthonormal $(A;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ du plan complexe.

a)  Déterminez les affixes des points $B$, $C$ et $D$.

b)  Déterminez l'écriture complexe de la similitude $s$. En déduire son rapport, son angle, et l'affixe de $I$.

Solution

1°  a)  $k={\frac {BC}{DB}}={\sqrt {2}}$ et $\alpha =\left({\vec {DB}},{\vec {BC}}\right)=-{\frac {\pi }{4}}{\pmod {2\pi }}$.

b)  $s\circ s(D)=C$ donc $\left({\vec {ID}},{\vec {IC}}\right)=2\alpha =-{\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$ et ${\frac {IC}{ID}}=k^{2}=2$.

c)  Puisque $\left({\vec {ID}},{\vec {IC}}\right)=\left({\vec {AC}},{\vec {AD}}\right)$ et ${\frac {IC}{ID}}={\frac {AD}{AC}}$, les deux triangles $CAD$ et $DIC$ sont symétriques par rapport au milieu $O$ de leur côté commun $[CD]$. Le quadrilatère $CADI$ est donc un parallélogramme (et même un rectangle, puisqu'il est rectangle en $A$) et $I$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$.

2°  a)  Les affixes de $B$, $C$ et $D$ sont respectivement $l$, $\mathrm {i} l$ et $2l$

b)  $z'=\alpha z+\beta$ avec $\alpha 2l+\beta =l$ et $\alpha l+\beta =\mathrm {i} l$, donc $\alpha =1-\mathrm {i}$ et $\beta =\left(2\mathrm {i} -1\right)l$. Le rapport et l'angle sont $|\alpha |={\sqrt {2}}$ et $\arg \alpha =-{\frac {\pi }{4}}{\pmod {2\pi }}$, et $I$ a pour affixe ${\frac {\beta }{1-\alpha }}=\left(2+\mathrm {i} \right)l$

 

Exercice 5-8

$\left(O;{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$ est un repère orthonormal direct. On note $D$ la droite $\left(O;{\vec {i}}\right)$ et $\Delta$ la droite $\left(O;{\vec {j}}\right)$.

${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont des vecteurs non nuls tels que :

$\left({\vec {i}},{\vec {u}}\right)=\left({\vec {j}},{\vec {v}}\right)={\frac {\pi }{6}}$.

Pour chaque point $M$, on note $D_{M}$ et $\Delta _{M}$ les droites qui passent par $M$ et de vecteurs directeurs respectifs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$.

$D_{M}$ coupe $D$ en $m$, $\Delta _{M}$ coupe $\Delta$ en $p$.

On note $M'$ le point dont les projections orthogonales sur $D$ et $\Delta$ sont respectivement $m$ et $p$.

Enfin, on note $f$ l'application $M\mapsto M'$.

Le but de l'exercice est de démontrer que $f$ est une similitude.

1. Démontrez que les coordonnées de $M'$ sont :

   ${\begin{cases}x'=x-y{\sqrt {3}}\\y'=x{\sqrt {3}}+y\end{cases}}$

   où $\left(x,y\right)$ sont les coordonnées de $M$.

2. Exprimez l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de l’affixe $z$ de $M$, et déduisez-en que $f$ est une similitude, en précisant ses éléments caractéristiques.

Solution

1. Un point $N$ de coordonnées $\left(s,t\right)$ appartient à $D_{M}$ si et seulement si $s-x={\sqrt {3}}\left(t-y\right)$, donc $m=x-{\sqrt {3}}y$.
   De même, $N$ appartient à $\Delta _{M}$ si et seulement si $t-y=-{\sqrt {3}}\left(s-x\right)$, donc $p=y+{\sqrt {3}}x$.
   Enfin, $x'=m$ et $y'=p$.
2. $z'=x-{\sqrt {3}}y+\mathrm {i} \left(y+{\sqrt {3}}x\right)=\left(x+\mathrm {i} y\right)\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$ donc $f$ est la similitude directe de centre $O$, de rapport $2$ et d'angle ${\frac {\pi }{3}}$.