Leçons de niveau 13

Similitude/Exercices/Avec des complexes

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Avec des complexes
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Exercices no5
Leçon : Similitude

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Utilisation dans les démonstrations
Exo suiv. :Lieux géométriques
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Similitude/Exercices/Avec des complexes
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine .

  1. Déterminez l'ensemble des points du plan dont l'affixe vérifie :
    .
  2. Étudiez la transformation de qui, au point d'affixe , fait correspondre le point d'affixe :
    .
  3. En utilisant la transformation précédente, retrouvez le résultat de la question 1.

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct , soient et les points d'affixes respectives et .

On note la similitude directe dont l'écriture complexe est :

.
  1. Déterminez le centre , l’angle et le rapport de .
  2. Quelles sont les images par des points et  ?
  3. Montrez que .
  4. Montrez que que est le pied de la hauteur issue de dans le triangle et qu'il appartient aux cercles et de diamètres respectifs et .
  5. Faites une figure comportant les points , et , ainsi que les cercles et (unité graphique : 1 cm).

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un complexe de module et d'argument . Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

Parmi les similitudes directes de rapport et d'angle  :

  • celle de centre transforme en  ;
  • celle de centre transforme en  ;
  • celle de centre transforme en  ;
  • celle de centre transforme en .
  1. On note , et les affixes respectives de , et . Déterminez en fonction de , et .
  2. Montrez que «  est un parallélogramme » équivaut à «  ou est un parallélogramme »
  3. On suppose que est un parallélogramme et que . Déduisez-en que est un carré.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , soit un triangle direct dont le point est le centre de son cercle circonscrit. On désigne par le milieu de , celui de et celui de  ; les affixes respectives des points , , , , et sont notées , , , , et .

 Dans cette question . L'unité de longueur est le centimètre.

Construisez les triangles et .

 Soit la transformation du plan qui à chaque point d'affixe associe le point d'affixe :

.
Quelle est la nature de  ? Donnez ses éléments caractéristiques.

 a)  Montrez que .

b)  Exprimez et en fonction de , et .

 On pose , et .

On désigne par , et les affixes respectives des points , et .
a)  Démontrez que , et .
b)  Déduisez-en que et sont orthogonaux et que appartient à la droite .
c)  Montrez de même que appartient à la droite et que appartient à la droite .

 Montrez qu'il existe une similitude directe transformant le triangle en le triangle .

Précisez les éléments de cette similitude.

 Complétez par les points , et la figure du .

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on considère un parallélogramme tel que : .

On note le point d'affixe et l'image de par la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .

 Vérifier que et montrez que le triangle est rectangle en . Faites une figure soignée.

 On note la similitude directe de centre qui transforme en .

Donnez les éléments caractéristiques de .

 On note la translation de vecteur . Montrez que .

 Montrez que transforme en .

Déduisez-en la nature et les angles du triangle .

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, est un carré direct, de côté .

Soit la longueur du segment du rectangle (, ).

Croquis pour exercice 01.png

 On suppose, uniquement dans cette question et la suivante, qu'il existe une similitude directe transformant respectivement , , et en , , et .

Montrez que est égal à (le nombre d'or).

 a)  Quel est l'angle de la similitude  ?

b)  Montrez que est une homothétie.
c)  Déduisez des questions précédentes que les segments et se coupent au centre de .

 On suppose maintenant que . On choisit comme repère .

À tout point d'affixe on associe le point d'affixe :
.
Déterminez la nature de et précisez ses éléments. Quelles sont les images par des points , , et  ?

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle tel que , où est un réel fixé strictement positif, et .

On note le symétrique de par rapport à et le milieu de . Placez sur une figure les points .

On désigne par la similitude directe qui transforme en et en et l'on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caractéristiques de , notamment son centre .

 Méthode géométrique :

a)  Déterminez le rapport et l’angle de la similitude .
b)  Montrez que et .
c)  En déduire la nature du quadrilatère et la position du point .

 Utilisation de nombres complexes :

On pose et l'on considère le repère orthonormal du plan complexe.
a)  Déterminez les affixes des points , et .
b)  Déterminez l'écriture complexe de la similitude . En déduire son rapport, son angle, et l'affixe de .

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

est un repère orthonormal direct. On note la droite et la droite .

et sont des vecteurs non nuls tels que :

.

Pour chaque point , on note et les droites qui passent par et de vecteurs directeurs respectifs et .

coupe en , coupe en .

On note le point dont les projections orthogonales sur et sont respectivement et .

Enfin, on note l'application .

Le but de l'exercice est de démontrer que est une similitude.

  1. Démontrez que les coordonnées de sont :
    sont les coordonnées de .
  2. Exprimez l'affixe de en fonction de l’affixe de , et déduisez-en que est une similitude, en précisant ses éléments caractéristiques.