Leçons de niveau 13

Similitude/Exercices/Lieux géométriques

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Lieux géométriques
Image logo représentative de la faculté
Exercices no6
Leçon : Similitude

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Avec des complexes
Exo suiv. :Problèmes de constructions
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Lieux géométriques
Similitude/Exercices/Lieux géométriques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan, on considère deux cercles et de centres respectifs et , de même rayon , tangents extérieurement en un point .

À tout point de , on associe le point de tel que .

  1. Montrez qu'il existe une rotation d'angle , dont vous construirez géométriquement le centre , qui envoie sur . Quelle est l'image de par  ?
  2. Montrez que le milieu de , est l'image de par une similitude directe de centre . Déterminez le rapport et l'angle de .
  3. Déduisez-en , une mesure de l'angle , et le lieu de quand décrit .

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, on considère un carré de centre et direct (c'est-à-dire tel que ).

Soit un point de . On note l'intersection de avec .

La perpendiculaire à passant par coupe en et en .

 Faites une figure (prenez = 3 cm, = 1 cm et placez horizontale sur la feuille).

 Soit la rotation de centre et d'angle .

a)  Précisez l'image par de la droite .
b)  Déterminez les images par de et .
c)  Quelle est la nature des triangles et  ?

 On note le milieu du segment et celui du segment . Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .

a)  Précisez les images par de et .
b)  Quel est le lieu géométrique du point quand décrit  ?
c)  Déduisez de ce qui précède que les points , , et sont alignés.

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

et le triangle est isocèle.

Les cercles et passant par et de centres respectifs et se recoupent en .

À tout point de , on associe le point de tel que .

 Montrez qu'il existe une rotation , que vous caractériserez, transformant en et en .

  étant distinct de , les droites et recoupent respectivement en et en .

Montrez que .

 On construit les carrés et .

Montrez que les points et sont respectivement les images des points et par une similitude directe dont vous préciserez le centre, le rapport et l'angle.
Déduisez-en les ensembles décrits par les points et lorsque décrit .

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, on considère un carré direct . On note son centre et les milieux respectifs de .

Soit un point quelconque de .

  • La perpendiculaire en à coupe en .
  • On note le symétrique de par rapport à .

On se propose de déterminer et de tracer l'ensemble des points obtenus lorsque décrit le segment .

1°  a)  Précisez les positions de lorsque est en , puis en .

b)  La droite coupe en . Quelle est la nature du quadrilatère  ?
c)  Déduisez-en que et que est le projeté orthogonal de sur .
d)  Déduisez-en que tout point est centre d'un cercle passant par et tangent à .
Recherchez alors expérimentalement plusieurs positions de . Placez-les sur une figure.

 On munit le plan du repère orthonormé .

a)  Montrez que pour tout point de , de coordonnées , .
b)  Précisez l'ensemble des valeurs de quand décrit , puis tracez .

Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

est un carré du plan euclidien. est un point de , la perpendiculaire en à coupe en et est le milieu de .

  1. Montrez que le triangle rectangle est isocèle.
  2. Montrez que est l'image de par une similitude fixe.
  3. Quel est l'ensemble décrit par le point lorsque décrit  ?