Similitude/Exercices/Lieux géométriques

Exercice 6-1

Dans le plan, on considère deux cercles ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ de centres respectifs $O$ et $O'$, de même rayon $R$, tangents extérieurement en un point $A$.

À tout point $M$ de ${\mathcal {C}}$, on associe le point $M'$ de ${\mathcal {C}}'$ tel que $({\vec {OM}},\;{\vec {O'M'}})={\frac {\pi }{2}}$.

1. Montrez qu'il existe une rotation $r$ d'angle ${\frac {\pi }{2}}$, dont vous construirez géométriquement le centre $\Omega$, qui envoie ${\mathcal {C}}$ sur ${\mathcal {C}}'$. Quelle est l'image de $M$ par $r$ ?
2. Montrez que le milieu $I$ de $[MM']$, est l'image de $M$ par une similitude directe $f$ de centre $\Omega$. Déterminez le rapport et l'angle de $f$.
3. Déduisez-en $f(O)$, une mesure de l'angle $({\vec {OM}},\,{\vec {AI}})$, et le lieu de $I$ quand $M$ décrit ${\mathcal {C}}$.

Solution

1. $\Omega$ est sur la médiatrice de $[OO']$ et $({\vec {\Omega O}},\;{\vec {\Omega O'}})={\frac {\pi }{2}}$. $r(M)=M'$.
2. $f={\frac {\mathrm {id} +r}{2}}$ est la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ et d'angle ${\frac {\pi }{4}}$.
3. Par conséquent, $f(O)=A$, $({\vec {OM}},\,{\vec {AI}})={\frac {\pi }{4}}$, et $f({\mathcal {C}})$ est le cercle de centre $A$ et de rayon ${\frac {R}{\sqrt {2}}}$.

 

Exercice 6-2

Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ de centre $O$ et direct (c'est-à-dire tel que $({\vec {OA}},\,{\vec {OB}})={\frac {\pi }{2}}$).

Soit $P$ un point de $]BC]$. On note $Q$ l'intersection de $(AP)$ avec $(CD)$.

La perpendiculaire $\Delta$ à $(AP)$ passant par $A$ coupe $(BC)$ en $R$ et $(CD)$ en $S$.

1°  Faites une figure (prenez $BC$ = 3 cm, $BP$ = 1 cm et placez $(BC)$ horizontale sur la feuille).

2°  Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

a)  Précisez l'image par $r$ de la droite $(BC)$.

b)  Déterminez les images par $r$ de $R$ et $P$.

c)  Quelle est la nature des triangles $RAQ$ et $PAS$ ?

3°  On note $N$ le milieu du segment $[PS]$ et $M$ celui du segment $[QR]$. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$, d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

a)  Précisez les images par $s$ de $R$ et $P$.

b)  Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit $]BC]$ ?

c)  Déduisez de ce qui précède que les points $M$, $B$, $N$ et $D$ sont alignés.

Figure

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Solution

2°  a)  L'image par $r$ de $(BC)$ est $(DC)$ (la droite passant par $r(B)=D$ et perpendiculaire à $(BC)$).

b)  Par conséquent, $r(R)=Q$ et $r(P)=S$.

c)  Tout triangle $MAr(M)$ est rectangle (direct) en $A$ et isocèle.

3°  a)  $s(R)=M$ et $s(P)=N$.

b)  Quand $P$ décrit $]BC]$, $N=s(P)$ décrit $]s(B)s(C)]=\left]OD\right]$

c)  $N\in (OD)=(BD)$ et $\left({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {MN}}\right)=\left({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {RP}}\right)+{\frac {\pi }{4}}=\left({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {BC}}\right)+{\frac {\pi }{4}}=0$.

 

Exercice 6-3

$({\vec {AO}},\,{\vec {AO'}})={\frac {\pi }{2}}$ et le triangle $OAO'$ est isocèle.

Les cercles ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ passant par $A$ et de centres respectifs $O$ et $O'$ se recoupent en $B$.

À tout point $M$ de ${\mathcal {C}}$, on associe le point $M'$ de ${\mathcal {C}}'$ tel que $({\vec {OM}},\,{\vec {O'M'}})=-{\frac {\pi }{2}}$.

1°  Montrez qu'il existe une rotation $r$, que vous caractériserez, transformant $O$ en $O'$ et $M$ en $M'$.

2°  $M$ étant distinct de $B$, les droites $(BM)$ et $(BM')$ recoupent respectivement ${\mathcal {C}}'$ en $N'$ et ${\mathcal {C}}$ en $N$.

Montrez que $r(N)=N'$.

3°  On construit les carrés $MBM'P$ et $NBN'Q$.

Montrez que les points $P$ et $Q$ sont respectivement les images des points $M$ et $N$ par une similitude directe $s$ dont vous préciserez le centre, le rapport et l'angle.

Déduisez-en les ensembles décrits par les points $P$ et $Q$ lorsque $M$ décrit ${\mathcal {C}}$.

Solution

1°  $r$ a pour angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et pour centre $B$.

2°  $r$ échange $(BM)$ et $(BM')$ et envoie ${\mathcal {C}}$ sur ${\mathcal {C}}'$ donc envoie $(BM')\cap {\mathcal {C}}$ sur $(BM)\cap {\mathcal {C}}'$.

3°  Puisque $r(M)=M'$, $P$ est l'image de $M$ par la similitude directe $s$ de centre $B$, d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$. De même, $Q=s(N)$.

Quand $M$ décrit ${\mathcal {C}}$, $N$ aussi (en étant diamétralement opposé), donc $P$ et $Q$ décrivent (en étant diamétralement opposés) le cercle $s({\mathcal {C}})$, de centre $s(O)=A$ et passant par $B$.

 

Exercice 6-4

Dans le plan orienté, on considère un carré direct $ABFE$. On note $J$ son centre et $D,C,G$ les milieux respectifs de $[AE],[BF],[AB]$.

Soit $I$ un point quelconque de $[DC]$.

• La perpendiculaire en $I$ à $(AI)$ coupe $(AE)$ en $N$.
• On note $M$ le symétrique de $N$ par rapport à $I$.

On se propose de déterminer et de tracer l'ensemble ${\mathcal {S}}$ des points $M$ obtenus lorsque $I$ décrit le segment $[DC]$.

1°  a)  Précisez les positions de $M$ lorsque $I$ est en $D$, puis en $J$.

b)  La droite $(AI)$ coupe $(EF)$ en $K$. Quelle est la nature du quadrilatère $AMKN$ ?

c)  Déduisez-en que $MA=MK$ et que $K$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(EF)$.

d)  Déduisez-en que tout point $M$ est centre d'un cercle passant par $A$ et tangent à $(EF)$.

Recherchez alors expérimentalement plusieurs positions de $M$. Placez-les sur une figure.

2°  On munit le plan du repère orthonormé $(A;{\vec {AG}},\,{\vec {AD}})$.

a)  Montrez que pour tout point $M$ de ${\mathcal {S}}$, de coordonnées $(x,y)$, $x^{2}+4y-4=0$.

b)  Précisez l'ensemble des valeurs de $x$ quand $I$ décrit $[DC]$, puis tracez ${\mathcal {S}}$.

Solution

1°  a)  Si $I=D$ alors $N=D$ donc $M=D$. Si $I=J$ alors $N=E$ donc $M=B$.

b)  $AMKN$ est un losange, puisque ses diagonales sont perpendiculaires et ont même milieu ($I$).

c)  Par conséquent, $MA=MK$ (on pouvait d'ailleurs le prouver plus directement : $(IM)$ est la médiatrice de $[AK]$).
Par ailleurs, $(MK)\perp (EF)$ par symétrie par rapport à $I$, car $(NA)\perp (AB)$.

d)  Le cercle de centre $M$ et passant par $K$ est donc tangent à $(EF)$ en $K$ et passe par $A$.

2°  a)  Les coordonnées de $I,N,M$ sont $(t,1),(0,1+t^{2}),(x,y)=(2t,1-t^{2})$ (avec $t\in [0,2]$) donc $4(1-y)=x^{2}$.

b)  ${\mathcal {S}}$ est donc le segment de parabole $\{(x,1-x^{2}/4)\mid x\in [0,4]\}$.

 

Exercice 6-5

$ABCD$ est un carré du plan euclidien. $M$ est un point de $(CD)$, la perpendiculaire en $A$ à $(AM)$ coupe $(BC)$ en $N$ et $I$ est le milieu de $[MN]$.

1. Montrez que le triangle rectangle $MAN$ est isocèle.
2. Montrez que $I$ est l'image de $M$ par une similitude fixe.
3. Quel est l'ensemble décrit par le point $I$ lorsque $M$ décrit $(CD)$ ?

Solution

Dans le repère $\left(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}}\right)$ (orthonormé sans perte de généralité), $M,N,I$ ont pour coordonnées $(x,1),(1,-x),\left({\frac {x+1}{2}},{\frac {1-x}{2}}\right)$.

1. $AM={\sqrt {1+x^{2}}}=AN$.
2. ${\frac {x+1+\mathrm {i} \left(1-x\right)}{2}}={\frac {1-\mathrm {i} }{2}}\left(x+\mathrm {i} \right)$.
3. Quand $M$ décrit $(CD)$, $I$ décrit $(BD)$.