Leçons de niveau 13

Similitude/Exercices/Utilisation dans les démonstrations

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Utilisation dans les démonstrations
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Exercices no4
Leçon : Similitude

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Images d'ensembles
Exo suiv. :Avec des complexes
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Similitude/Exercices/Utilisation dans les démonstrations
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, on considère un triangle , rectangle et isocèle en  ; on suppose que .

On note le symétrique de par rapport au point .

 Déterminez le rapport et l'angle de la similitude directe qui transforme en et en .

 Quelle est la transformée par de la droite  ?

 Soit le centre de la similitude.

Démontrez que le triangle est rectangle isocèle.
Déduisez-en une construction de .

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

est un point du plan orienté. À chaque point du plan, on associe le point défini de la manière suivante :

  • Si est en , alors est en  ;
  • Si est distinct de , on construit le triangle , rectangle en , tel que . est alors le centre de gravité du triangle .
  1. Montrer que si est distinct de  :
    , et .
  2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation qui à chaque point associe .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, est un triangle rectangle en , direct (c'est-à-dire que ), non isocèle.

est le pied de la hauteur issue de .

Le point est tel que est un triangle rectangle en , isocèle et direct.

est le pied de la hauteur issue de dans le triangle .

est le pied de la hauteur issue de dans le triangle .

  1. Faites une figure.
  2. Montrez que la rotation de centre et d'angle transforme la droite en , puis le triangle en . Déduisez-en que est un carré.
  3. Montrez que et déduisez-en que les droites et sont sécantes.
  4. Déduisez-en qu'il existe une homothétie qui transforme le triangle en .
  5. On considère la transformation composée . Déterminez l'image par des points , et , puis identifiez et donnez ses éléments caractéristiques.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Dans un plan orienté, on considère un triangle rectangle tel que .

La hauteur issue de coupe en et coupe la parallèle à menée par en .

On pose et .

 Soit la similitude directe qui transforme en et en .

a)  Déterminez son rapport en fonction de et et calculez son angle.
b)  En utilisant cet angle, démontrez que le centre de est le point .
c)  Quelle est l'image de par  ?

 En utilisant , démontrez l'égalité : .

 Soit le milieu de , le milieu de et le milieu de . Démontrez que le triangle est rectangle en et que dans ce triangle, est le pied de la hauteur issue de .

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un triangle équilatéral du plan orienté tel que .

On note le milieu de et la similitude directe de centre transformant le point en .

désigne un point quelconque du plan et son image par .

1°  a)  Déterminez l'angle et le rapport de .

b)  Construisez le point du plan tel que . Justifiez soigneusement cette construction.
c)  Exprimez en fonction de .

 On note l'image du point par la réflexion d'axe , la médiatrice de .

On se propose de déterminer l'ensemble des points du plan tels que soit équidistant de et .
a)  Montrez que .
b)  Montrez que appartient à si, et seulement si, .

 Notez le barycentre de .

En écrivant que et une égalité analogue avec , prouvez que :
.

 Déterminez alors l'ensemble , puis construisez-le.

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, on donne un triangle isocèle tel que .

Les cercles et passant par et de centre respectifs et se recoupent au point . On note le centre du carré .

  et étant les points diamétralement opposés à sur les cercles et respectivement, démontrez à l'aide d'une homothétie de centre que les points , et sont alignés.

 Soit , différent de et , un point du cercle et le point d'intersection de la droite avec le cercle .

On note la rotation de centre qui transforme en .
Quelle est l'image par de la droite  ? Déduisez-en que .

 Soit le point d'intersection de la droite avec le cercle et le point d'intersection de la droite avec le cercle .

Démontrez que .

 On suppose que est distinct de .

a)  Prouvez que est distinct de . On construit alors le carré .
b)  Montrez que les points et sont les images respectives des points et par une similitude directe dont vous préciserez les éléments caractéristiques.
c)  Construisez .