Similitude/Exercices/Utilisation dans les démonstrations

Exercice 4-1

Dans le plan orienté, on considère un triangle $ABC$, rectangle et isocèle en $A$ ; on suppose que $({\vec {AB}},\,{\vec {AC}})={\frac {\pi }{2}}$.

On note $A'$ le symétrique de $A$ par rapport au point $C$.

1°  Déterminez le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ qui transforme $A'$ en $C$ et $C$ en $B$.

2°  Quelle est la transformée par $s$ de la droite $(AC)$ ?

3°  Soit $\Omega$ le centre de la similitude.

Démontrez que le triangle $\Omega CB$ est rectangle isocèle.

Déduisez-en une construction de $\Omega$.

Solution

1°  $s$ transforme ${\vec {A'C}}$ en ${\vec {CB}}$ donc son rapport est ${\frac {CB}{A'C}}={\sqrt {2}}$ et son angle est $\left({\vec {A'C}},{\vec {CB}}\right)={\frac {\pi }{4}}$.

2°  La transformée par $s$ de $(AC)=(A'C)$ est $(CB)$.

3°  $\Omega CB$ est rectangle isocèle (et indirect) car semblable à $\Omega A'C$.

$\Omega$ est sur la perpendiculaire en $C$ à $(CB)$ et $C\Omega =CB$ (en fait, $A'AB\Omega$ est rectangle).

 

Exercice 4-2

$O$ est un point du plan orienté. À chaque point $M$ du plan, on associe le point $G$ défini de la manière suivante :

• Si $M$ est en $O$, alors $G$ est en $O$ ;
• Si $M$ est distinct de $O$, on construit le triangle $OMM'$, rectangle en $M$, tel que $({\vec {OM}},\,{\vec {OM'}})={\frac {\pi }{4}}$. $G$ est alors le centre de gravité du triangle $OMM'$.

1. Montrer que si $M$ est distinct de $O$ :

   $OG={\frac {\sqrt {5}}{3}}OM$, $\cos({\vec {OM}},\,{\vec {OG}})={\frac {2}{\sqrt {5}}}$ et $\sin({\vec {OM}},\,{\vec {OG}})={\frac {1}{\sqrt {5}}}$.

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $S$ qui à chaque point $M$ associe $G$.

Solution

1. Dans le repère orthogonal direct d'origine $O$, de premier vecteur ${\vec {OM}}$ et de second vecteur de même norme, $M$, $M'$ et $G$ ont pour coordonnées respectives $(1,0)$, $(1,1)$ et ${\frac {(0,0)+(1,0)+(1,1)}{3}}=\left({\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$ donc $OG={\frac {\sqrt {5}}{3}}OM$, $\cos({\vec {OM}},\,{\vec {OG}})={\frac {\frac {2}{3}}{\frac {\sqrt {5}}{3}}}={\frac {2}{\sqrt {5}}}$ et $\sin({\vec {OM}},\,{\vec {OG}})={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {5}}{3}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}$.
2. $S$ est la similitude directe de cente $O$, de rapport ${\frac {\sqrt {5}}{3}}$ et d'angle $\arccos {\frac {2}{\sqrt {5}}}=\arcsin {\frac {1}{\sqrt {5}}}$.

 

Exercice 4-3

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, direct (c'est-à-dire que $({\vec {AB}},\,{\vec {AC}})={\frac {\pi }{2}}$), non isocèle.

$H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

Le point $D$ est tel que $ACD$ est un triangle rectangle en $A$, isocèle et direct.

$O$ est le pied de la hauteur issue de $D$ dans le triangle $DBC$.

$K$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $DAO$.

1. Faites une figure.
2. Montrez que la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ transforme la droite $(BC)$ en $(DO)$, puis le triangle $AHC$ en $AKD$. Déduisez-en que $AHOK$ est un carré.
3. Montrez que $O\neq C$ et déduisez-en que les droites $(AB)$ et $(KH)$ sont sécantes.
4. Déduisez-en qu'il existe une homothétie $h$ qui transforme le triangle $AKD$ en $BHA$.
5. On considère la transformation composée $s=h\circ r$. Déterminez l'image par $s$ des points $H$, $C$ et $A$, puis identifiez $s$ et donnez ses éléments caractéristiques.

Figure

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Solution

1. ?
2. $r$ transforme $(BC)$ en la perpendiculaire à $(BC)$ passant par $r(C)=D$, c'est-à-dire en la droite $(DO)$, et transforme $(AH)$ en la perpendiculaire à $(AH)$, donc à $(DO)$, passant par $A$, c'est-à-dire en la droite $(AK)$.
   Par conséquent, $r$ envoie $H$, point d'intersection de $(AH)$ et $(BC)$, sur $K$, point d'intersection de $(DO)$ et $(AK)$. Donc $r$ transforme $AHC$ en $AKD$.
   En particulier, $AH=AK$ donc le rectangle $AHOK$ est un carré.
3. $O\neq C$, sinon on aurait $(CD)\perp (BC)$, mais $DCB$ serait alors isocèle donc $BAC$ aussi, contrairement aux hypothèses.
   Par conséquent, la diagonale $(OA)$ du carré $AHOK$ n'est pas parallèle à $(AC)$, donc l'autre diagonale, $(HK)$ (qui lui est perpendiculaire), n'est pas parallèle à $(AB)$.
4. Soient $\Omega$ le point d'intersection de $(AB)$ et $(HK)$, et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ telle que $h(A)=B$.
   Alors, $h$ envoie $(AK)$ sur $(BH)$ (la parallèle passant par $h(A)=B$) donc $h(K)=H$ (le point d'intersection de $(BH)$ et $(\Omega K)$).
   Puis, $h$ envoie $(DK)$ sur $(AH)$ (la parallèle passant par $h(K)=H$) donc $h(D)=A$ (le point d'intersection de $(AH)$ et $(\Omega D)$).
5. $s$ est une similitude directe qui transforme $HCA$ en $HAB$. Son centre est donc $H$, son angle ${\frac {\pi }{2}}$ et son rapport $AB/AC$.

 

Exercice 4-4

Dans un plan orienté, on considère un triangle rectangle $ABC$ tel que $({\vec {CA}},\,{\vec {CB}})={\frac {\pi }{2}}$.

La hauteur issue de $C$ coupe $(BA)$ en $H$ et coupe la parallèle à $(BC)$ menée par $A$ en $D$.

On pose $CA=b$ et $BC=a$.

1°  Soit $s$ la similitude directe qui transforme $C$ en $A$ et $B$ en $C$.

a)  Déterminez son rapport en fonction de $a$ et $b$ et calculez son angle.

b)  En utilisant cet angle, démontrez que le centre de $s$ est le point $H$.

c)  Quelle est l'image de $A$ par $s$ ?

2°  En utilisant $s$, démontrez l'égalité : $HC^{2}=HA\times HB$.

3°  Soit $I$ le milieu de $[BC]$, $J$ le milieu de $[CA]$ et $K$ le milieu de $[AD]$. Démontrez que le triangle $IJK$ est rectangle en $J$ et que dans ce triangle, $H$ est le pied de la hauteur issue de $J$.

Solution

1°  a)  $s$ a pour rapport $CA/BC=b/A$ et pour angle $\left({\vec {BC}},{\vec {CA}}\right)={\frac {\pi }{2}}$.

b)  Soit $\Omega$ le centre de $s$. Puisque $\left({\vec {\Omega B}},{\vec {\Omega C}}\right)=\left({\vec {\Omega C}},{\vec {\Omega A}}\right){\frac {\pi }{2}}$, $\Omega =H$.

c)  $s\circ s$ est une homothétie qui envoie $B$ sur $A$ donc qui transforme $(BC)$ en la parallèle $(AD)$. Par conséquent, $s\circ s(C)\in (AD)\cap (HC)$, c'est-à-dire $s(A)=D$.

2°  $HC/HB$ et $HA/HC$ sont tous deux égaux au rapport de $s$.

3°  Soit $t$ la similitude directe de centre $H$ qui envoie $B$ sur $I$. Alors, $t\circ s=s\circ t$ donc $t(C)=s(I)=J$ et $t(A)=s(J)=K$. Par conséquent, $IJK$ est rectangle en $J$ (de même que $BCA$ en $C$) et $H$ est le pied de la hauteur de ce triangle issue de $J$ (de même qu'il est le pied de la hauteur de $BCA$ issue de $C$).

 

Exercice 4-5

Soit $ABO$ un triangle équilatéral du plan orienté tel que $({\vec {OA}},\,{\vec {OB}})={\frac {\pi }{3}}$.

On note $I$ le milieu de $[OB]$ et $s$ la similitude directe de centre $O$ transformant le point $A$ en $I$.

$M$ désigne un point quelconque du plan et $M'$ son image par $s$.

1°  a)  Déterminez l'angle et le rapport de $s$.

b)  Construisez le point $C$ du plan tel que $s(C)=A$. Justifiez soigneusement cette construction.

c)  Exprimez $AM'$ en fonction de $CM$.

2°  On note $M''$ l'image du point $M$ par la réflexion $r$ d'axe $\Delta$, la médiatrice de $[AB]$.

On se propose de déterminer l'ensemble $(\Gamma )$ des points $M$ du plan tels que $A$ soit équidistant de $M'$ et $M''$.

a)  Montrez que $AM''=BM$.

b)  Montrez que $M$ appartient à $(\Gamma )$ si, et seulement si, $MC^{2}-4MB^{2}=0$.

3°  Notez $G$ le barycentre de $(C,\,1),\,(B,\,-4)$.

En écrivant que $MC^{2}=({\vec {MG}}+{\vec {GC}})\cdot ({\vec {MG}}+{\vec {GC}})$ et une égalité analogue avec $MB^{2}$, prouvez que :

$MC^{2}-4MB^{2}=-3MG^{2}+GC^{2}-4GB^{2}$.

4°  Déterminez alors l'ensemble $(\Gamma )$, puis construisez-le.

Solution

1°  a)  $s$ a pour angle ${\frac {\pi }{3}}$ et pour rapport ${\frac {1}{2}}$.

b)  $C$ est le point tel que $CDO$ soit équilatéral direct, où $D$ est le symétrique de $O$ par rapport à $A$.

c)  $AM'=CM/2$.

2°  a)  $r(B)=A$.

b)  $AM'=AM''\Leftrightarrow CM/2=BM\Leftrightarrow CM^{2}/4=BM^{2}$.

3°  $MC^{2}-4MB^{2}=({\vec {MG}}+{\vec {GC}})^{2}-4({\vec {MG}}+{\vec {GB}})^{2}=-3MG^{2}+2{\vec {MG}}\cdot ({\vec {GC}}-4{\vec {GB}})+GC^{2}-4GB^{2}$ et ${\vec {GC}}-4{\vec {GB}}={\vec {0}}$.

4°  $(\Gamma )$ est donc un cercle de centre $G$ (et de rayon $R:={\sqrt {\frac {GC^{2}-4GB^{2}}{3}}}$, or $GC={\frac {4BC}{3}}$ et $GB={\frac {BC}{3}}$, donc $R={\frac {\sqrt {5}}{3}}BC$). Il passe par le point $B+{\frac {\vec {BC}}{3}}$.

 

Exercice 4-6

Dans le plan orienté, on donne un triangle isocèle $OAO'$ tel que $({\vec {AO}},\,{\vec {AO'}})={\frac {\pi }{2}}$.

Les cercles ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ passant par $A$ et de centre respectifs $O$ et $O'$ se recoupent au point $B$. On note $I$ le centre du carré $AOBO'$.

1°  $D$ et $D'$ étant les points diamétralement opposés à $A$ sur les cercles ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ respectivement, démontrez à l'aide d'une homothétie de centre $A$ que les points $D$, $B$ et $D'$ sont alignés.

2°  Soit $M$, différent de $A$ et $B$, un point du cercle ${\mathcal {C}}$ et $M'$ le point d'intersection de la droite $(MB)$ avec le cercle ${\mathcal {C}}'$.

On note $r$ la rotation de centre $A$ qui transforme $O$ en $O'$.

Quelle est l'image par $r$ de la droite $(BM)$ ? Déduisez-en que $r(M)=M'$.

3°  Soit $N$ le point d'intersection de la droite $(M'A)$ avec le cercle ${\mathcal {C}}$ et $N'$ le point d'intersection de la droite $(MA)$ avec le cercle ${\mathcal {C}}'$.

Démontrez que $r(N)=N'$.

4°  On suppose que $M$ est distinct de $D$.

a)  Prouvez que $N$ est distinct de $A$. On construit alors le carré $NAN'F$.

b)  Montrez que les points $B$ et $F$ sont les images respectives des points $O$ et $N$ par une similitude directe $s$ dont vous préciserez les éléments caractéristiques.

c)  Construisez $s({\mathcal {C}})$.

Solution

1°  L'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ envoie $OIO'$ sur $DBD'$.

2°  Soit $B'$, le point diamétralement opposé à $B$ sur ${\mathcal {C}}'$. Alors, $(MB')\perp (MB)$ et $r(B)=B'$ donc l'image par $r$ de $(BM)$ est $(M'B')$ donc l'image par $r$ de $M$ (le point de $(MB)\cap C$ distinct de $B$) est $M'$ (le point de $(M'B')\cap C'$ distinct de $B'$).

3°  $r$ transforme $(AM')$ en $(AM)$ et ${\mathcal {C}}$ en ${\mathcal {C}}'$ donc $r(N)=N'$.

4°  a)  $M'\neq r(D)=D'$ donc $(M'A)\neq (D'A)$ donc $N\neq A$.

b)  $s$ est la similitude directe de centre $A$, d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$.

c)  $s({\mathcal {C}})$ est le cercle de centre $B$ passant par $A$.