En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Fonction de transfert d'un filtre R C série avec sortie aux bornes de C, diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un circuit série en r.s.f[1]. alimenté sous avec sortie ouverte aux bornes de
Le circuit ci-contre « série avec sortie aux bornes de »[2] est alimenté par une tension sinusoïdale .
Pour la suite on notera et les représentations complexes associées aux grandeurs sinusoïdales et .
Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre ainsi que de son gain en dB et de sa phase[modifier | modifier le wikicode]
Exprimer l'amplification complexe en tension du filtre en fonction des paramètres du circuit et de la pulsation imposée par le générateur.
En déduire le gain en dB du filtre et
En déduire sa phase .
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées et par les tensions instantanées complexes et et en représentant le condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe .
L'amplification complexe en tension du filtre «» s'obtient par P.D.T[3]. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «»[4]ou, en valeurs efficaces complexes «»[4] d'où finalement
«» dont on tire :
en en prenant le module, « le gain » puis « le gain en dB » et
en en prenant l'argument, « la phase ».
Tracé des courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, principales propriétés du filtre[modifier | modifier le wikicode]
la valeur de la phase à la fréquence de coupure à «» ;
le comportement B.F[6]. supposant «» «» on en déduit «» ;
le comportement H.F[7]. supposant «» «» on en déduit «», soit une « pente de la courbe de gain du diagramme de Bode[5] asymptotique de » et un « comportement intégrateur à H.F[7]. »[10] ;
Calculer le gain statique en dB et la fréquence de coupure à «» pour les filtres suivants :
filtre construit avec et ,
filtre construit avec et .
Solution
Calcul du gain statique en dBet de la fréquence de coupure à“” pour les filtres suivants :
filtre , «» et «»,
filtre , «» et «»,
les deux filtres ont donc mêmes caractéristiques dès lors que leur sortie reste ouverte, les tracés communs de leurs courbes de gain et de phase sont donnés ci-dessous :
Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[5],[11] d'un 1er ordre fondamental de gain statique en dB nul et de fréquence de coupure à «»Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[5],[11] d'un 1er ordre fondamental de transfert statique égal à et de fréquence de coupure à «»
Schéma d'un circuit série en r.s.f[1]. alimenté sous avec sortie [12] aux bornes de fermée sur un oscilloscope modélisé par en parallèle sur
Dans l'étude expérimentale de ces filtres, on mesure les valeurs de crête de et [12] en envoyant simultanément sur des voies différentes la tension correspondante à l'entrée d'un oscilloscope cathodique, par l'intermédiaire d'un câble coaxial.
Si le tracé expérimental de la courbe de gain du diagramme de Bode[5] donne une courbe tout à fait voisine de la courbe théorique pour le filtre pour lequel «», il n'en est pas de même pour le filtre pour lequel «» et on cherche à justifier les écarts observés en modélisant l'oscilloscope fonctionnant en r.s.f[1]. par son impédance complexe d'entrée, le D.P[13]. d'entrée de l'oscilloscope étant un condensateur parfait de capacité [14] en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance [15]voir schéma ci-contre.
Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fermé sur l'oscilloscope utilisé et ses principales propriétés[modifier | modifier le wikicode]
Calculer la nouvelle amplification complexe en tension [12] du filtre fermé sur l'oscilloscope et vérifier qu'il s'agit d'un filtre de même nature que le filtre en sortie ouverte.
En déduire le nouveau[16] gain statique en dB du filtre et
En déduire sa nouvelle[16] fréquence de coupure à «».
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées et [12] par les tensions instantanées complexes et et en représentant chaque condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe pour le condensateur de capacité ou pour le condensateur de capacité .
, et étant montées en , l'association est d'« impédance complexe équivalente telle que »[17] d'où «» et on reconnaît un P.D.T[3]. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «»[4]ou «»[4] en valeurs efficaces complexes ou, en normalisant mettre sous la forme d'un 1er ordre,
«».
On en déduit que la nature du filtre reste la même puisque le 1er ordre est fondamental[8] mais avec des caractéristiques modifiées selon ce qui suit :
un nouveau gain statique en dB «» et
une nouvelle fréquence de coupure à «», soit encore «» laquelle peut être « ou à ».
Calculer le gain statique en dB «» et la fréquence de coupure à «» pour les filtres et .
L'expérience donne pour le filtre le gain statique en dB «». Commenter les résultats.
Solution
Calcul du nouveau gain statique en dBet de la nouvelle fréquence de coupure à“” pour les filtres suivants :
pour le filtre : «» et «»,
pour le filtre : «» et «».
Pour que le gain statique ne soit pas perturbé, il faut «» ainsi, « avec , ne pas dépasser » et pour que la bande passante à reste la même, il faut «» ainsi, « avec ne pas aller au-dessous de »[18].
Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale ou en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]
Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre et d'un conducteur ohmique de résistance en série[19], de tension d'entrée et de tension de sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique
Soit le quadripôle « série avec sortie aux bornes de »[19], représenté sur le schéma ci-contre[20], de tension d'entrée et de sortie ouverte .
Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du filtre[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension étant la tension permanente imposée en entrée et la tension permanente de sortie ouverte.
Solution
En statique régime permanent établi il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre est équivalente à un court-circuit, on a donc et par suite .
Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fonctionnant en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension [21] en r.s.f[1]. en fonction de et « la constante de temps du série »
et retrouver la valeur de trouvée à la question précédente.
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées , et les intensités instantanées des courants et par leurs expressions instantanées complexes associées , , et en représentant la bobine parfaite d'inductance propre par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe .
On reconnaît alors un P.D.T[3]. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «»[4]ou «»[4] en valeurs efficaces complexes soit, en divisant haut et bas par pour normaliser la fonction de transfert,
«» en posant « constante de temps du série » ;
Il s'agit donc d'un 1er ordre fondamental[22] de transfert statique «» en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.
Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du filtre construit[modifier | modifier le wikicode]
Donner l'allure du diagramme de Bode[5] associé à cette fonction de transfert en
en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.
Solution
Le gain associé est «» correspondant à un passe-bas de pulsation de coupure à «»[8] ;
le gain en décibels se définissant par se réécrit , ou encore «» et
sa phase «» ;
le comportement asymptotique B.F[6]. correspondant à «» conduit à une amplification complexe en tension «» d'où les asymptotes B.F[6]. de la courbe de gain «» et de la courbe de phase «» du diagramme de Bode[5] alors que
le comportement asymptotique H.F[7]. correspondant à «» conduit à une amplification complexe en tension «» entraînant l'équivalence à un « circuit intégrateur à H.F[7]. »[10] avec les asymptotes H.F[7]. de la courbe de gain «»[23] et de la courbe de phase «»[24] du diagramme de Bode[5], enfin
la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à est «».
Après permutation du conducteur ohmique et de la bobine parfaite on reprend les mêmes questions.
Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du nouveau filtre[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension étant la tension permanente imposée en entrée et la tension permanente de sortie ouverte.
Solution
En statique (régime permanent établi) il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre est équivalente à un court-circuit, on a donc et par suite .
Détermination de l'amplification complexe en tension du nouveau filtre fonctionnant en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension [21] en r.s.f[1]. en fonction de et « la constante de temps du série »
et retrouver la valeur de trouvée à la question précédente.
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées , et les intensités instantanées des courants et par leurs expressions instantanées complexes associées , , et en représentant la bobine parfaite d'inductance propre aux bornes de laquelle se trouve la sortie par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe .
On reconnaît alors un P.D.T[3]. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «»[4]ou «»[4] en valeurs efficaces complexes soit, en divisant haut et bas par pour normaliser la fonction de transfert,
«» en posant « constante de temps du série » ;
Il s'agit donc d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[25] de transfert statique «» en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.
Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du nouveau filtre construit[modifier | modifier le wikicode]
Donner l'allure du diagramme de Bode[5] associé à cette fonction de transfert en
en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.
Solution
Le gain associé est «» correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à «»[26] ;
le gain en décibels se définissant par se réécrit ou encore «» et
sa phase «» ;
le comportement asymptotique B.F[6]. correspondant à «» conduit à une amplification complexe en tension «» entraînant l'équivalence à un « circuit dérivateur à B.F[6]. »[27] avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain «»[28] et de la courbe de phase «»[29] du diagramme de Bode[5] alors que
le comportement asymptotique H.F[7]. correspondant à «» conduit à une amplification complexe en tension «» d'où les asymptotes H.F[7]. de la courbe de gain «» et de la courbe de phase «» du diagramme de Bode[5], enfin
la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à est «».
Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre et d'un conducteur ohmique de résistance en parallèle, d'intensité de courant d'entrée et de tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble
Soit le circuit linéaire « parallèle », représenté sur le schéma ci-contre, commandé par un générateur de courant parfait de c.e.m. .
Détermination de l'expression de la transimpédance complexe du filtre commandé en courant et fonctionnant en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer l'expression de la transimpédance complexe [30], en r.s.f[1]. en fonction de , et la constante de temps du montées en parallèle[31].
En déduire l'expression de la transrésistance de ce filtre étant la tension permanente mesurée en sortie et le c.e.m. permanent imposé à l'entrée..
Solution
Il convient bien sûr refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant le c.e.m. instantané et la tension instantanée par leurs expressions instantanées complexes et en représentant la bobine parfaite d'inductance propre par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe ;
la transimpédance complexe du filtre n'est rien d'autre que l'impédance complexe équivalente vue des bornes d'entrée soit [32] et finalement, en mettant en facteur dans le numérateur pour faire apparaître la grandeur canonique « constante de temps du parallèle »[31],
«».
La transrésistance [33] étant la limite de la transimpédance complexe quand la pulsation tend vers , on en déduit «» en accord avec le fait qu'en statique les phénomènes d'induction disparaissant, une bobine parfaite en régime permanent est équivalente à un court-circuit d'où .
Définition et allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre commandé en courant fonctionnant en r.s.f. avec précision de ses principales propriétés[modifier | modifier le wikicode]
Pour pouvoir définir un diagramme de Bode[5] associé à une transimpédance complexe, on introduit le gain associé à cette impédance complexe de transfert par «» de façon à ce que ce gain soit une grandeur sans unité.
Définir et donner l'allure du diagramme de Bode[5] associé à la transimpédance complexe du filtre ainsi construit
en précisant les principales propriétés de ce dernier.
Solution
Le gain associé est «» correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à «» en accord avec le fait que la transimpédance complexe du filtre est un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[25] donc un passe-haut[34] ;
le gain en décibels se définissant par se réécrit ou «» et
sa phase «» ;
le comportement asymptotique B.F[6]. correspondant à «» conduit à une transimpédance complexe «» entraînant l'équivalence à un « circuit dérivateur à B.F[6]. »[27] avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain «»[28] et de la courbe de phase «»[29] du diagramme de Bode[5] alors que
le comportement asymptotique H.F[7]. correspondant à «» conduit à une transimpédance complexe «» d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain «» et de la courbe de phase «» du diagramme de Bode[5], enfin
la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à est «».
↑ 5,005,015,025,035,045,055,065,075,085,095,105,115,125,13 et 5,14Hendrik Wade Bode (1905 - 1982) est un ingénieur, chercheur et inventeur américain d'origine néerlandaise qui a été un pionnier de la régulation moderne et des télécommunications ; il a révolutionné ces domaines dans leurs contenus mais aussi dans leurs méthodes d'application plus particulièrement connu pour avoir mis au point le diagramme de Bode qui constitue une méthode de représentation de l'amplitude et de la phase d'un système.
↑ 11,0 et 11,1 Les graduations de l'axe des abscisses ne correspondent pas aux valeurs de en échelle logarithmique comme c'est le cas sur du papier semi-logarithmique mais à d'où correspondant se trouve entre les graduations et sur l'échelle des abscisses du papier semi-logarithmique, les graduations et ne figurent pas, seule l'indication est présente à la position .
↑ 12,012,112,2 et 12,3 La sortie étant maintenant fermée sera notée par la suite ou est notée dès maintenant.
↑ Ne pas aller au-dessous de serait même plus sûr.
↑ 19,0 et 19,1 En fait et ne sont en série que si la sortie aux bornes de est ouverte.
↑ Á refaire en complexe lors du fonctionnement en r.s.f..
↑ 21,0 et 21,1 et étant respectivement les tensions efficaces de sortie et d'entrée, celle d'entrée étant fixée mais celle de sortie dépendant a priori de la pulsation par l'intermédiaire des impédances complexes utilisées.
![{\displaystyle \;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]=-10\,\log \!\left[1+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b985fe9f38098d910124727dd0a8fd6c1ccc05c7)
![{\displaystyle \;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left(R\,C\,\omega \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170db8e424f07e179aed291dddd90c820609780a)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{dB,\,{\text{asymptotique}}\,H.F.}=-20\,\log \!\left[R\,C\,\omega \right]\\\varphi _{{\text{asymptotique}}\,H.F.}=-{\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bebf188e1b068c42b2b162ca2bf2ee4a526e880)
![{\displaystyle {\dfrac {\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}{R+{\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}}}={\dfrac {R_{0}}{R_{0}+R\left[1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega \right]}}={\dfrac {R_{0}}{R_{0}+R+j\,R\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fd5c2bce36113de8ff539942172bd1f59e09a3)
![{\displaystyle \;{G'}_{0,\,dB,\,({\mathfrak {1}})}=20\,\log \!\left[{\dfrac {10^{6}}{{\cancel {4,7\,10^{3}+}}10^{6}}}\right]\simeq 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb28fd0fa6fc627424db5c6bbcd01e1f0624984a)
![{\displaystyle \;{G'}_{0,\,dB,\,({\mathfrak {2}})}=20\,\log \!\left[{\dfrac {10^{6}}{680\,10^{3}+10^{6}}}\right]\simeq -4,5\,dB\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4c40fcdc56dbd0df1ae20417086f4af4b16ee)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd8ab155e13ca92c6a5898288c00750b5bf5af8)
![{\displaystyle \;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5816b6872fa33587d67981f5e4ce0d8d58dc3ac4)
![{\displaystyle \;G_{dB}(\omega )=-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a587b3956d47a82f519d38ddd9ef23dcb19b440a)
![{\displaystyle \;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{u_{e}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3b02c2f1c47098065dbabe4c03a55cfaef8d7d)
![{\displaystyle \;A_{0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63db278b8b7cebc8a6226634ba2e087e5e7ffb5f)
![{\displaystyle \;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ad774680cbbf24a1ba9769b68dbd13371565c8)
![{\displaystyle \;G_{dB}(\omega )=20\,\log(\tau \,\omega )-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a63003225c86ff43f7eecb2dc52027a2bdf314)
![{\displaystyle \;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{u_{e}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f665e4ca6a513d53fdbc6a980c8c9b5ea5599927)
![{\displaystyle \;R_{t,\,0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0580dbbebeec72f08e449e848f77be89ebab559d)
![{\displaystyle \;G_{z,\,dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G_{z}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a17f58532ab84ba54338fc29e67291f7ab5320)
![{\displaystyle \;G_{z,\,dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log \!\left[{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0296c528870c2b2267f829a5a24fd971ed44f511)
![{\displaystyle 20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log(\tau \,\omega )-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06d1ab08184fe2e48fb06a99c4fa78f9ca0b8cb)
![{\displaystyle \;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{i_{g}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a618b2a529b1506b2fcf049c2a05b14e7442ff6e)
![{\displaystyle \;G_{z,\,dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log(\tau \,\omega )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c238bac60b953116029e0005f2f8860c6d580c58)
![{\displaystyle 20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75f58f83dc12b0e11deaa00d7f7fe34982d35d2)
