Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Méthode des trois ampèremètres

Montage utilisant trois ampèremètres $\;{\big (}$parfaits${\big )}\;$ et un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R\;$ pour déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L. ainsi que la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.

     On veut déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L. alimenté en r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ et d'impédance complexe non connue $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )$, en utilisant trois ampèremètres supposés parfaits $\;{\big (}$c'est-à-dire d'impédance quasi-nulle${\big )}\;$ et un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R$.

     Pour cela on réalise le montage ci-contre où les ampèremètres mesurent les intensités efficaces

• «$\;I_{1}\;$ du courant traversant l'association parallèle du D.P.L. et du conducteur ohmique étalon »,
• «$\;I_{2}\;$ du courant traversant le D.P.L. » et
• «$\;I_{3}\;$ du courant traversant le conducteur ohmique étalon ».

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.

     Déterminer le facteur de puissance du D.P.L. d'impédance non connue $\;Z(\omega )\;$ en fonction de $\;I_{1}$, $\;I_{2}\;$ et $\;I_{3}$ ;

     en déduire la puissance électrique moyenne consommée par ce dipôle en fonction de $\;R$, $\;I_{1}$, $\;I_{2}\;$ et $\;I_{3}$.

Solution

     Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;Z(\omega )$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;{\underline {I_{1}}}(j\,\omega )={\underline {I_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {I_{3}}}(j\,\omega )\;$» avec
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : $\succ \;$«$\;{\underline {I_{2}}}(j\,\omega )=I_{2}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{2}})\;$» l'intensité efficace complexe du courant traversant le D.P.L.,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : $\succ \;$«$\;{\underline {I_{1}}}(j\,\omega )=I_{1}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{1}})\;$» celle du courant traversant l'association parallèle du D.P.L. et du conducteur ohmique étalon et
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : $\succ \;$«$\;{\underline {I_{3}}}(j\,\omega )=I_{3}(\omega )\;$» celle du courant traversant le conducteur ohmique étalon d'où
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;I_{1}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{1}})=I_{2}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{2}})+I_{3}(\omega )\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$»,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : expression dans laquelle nous avons deux inconnues $\;\varphi _{i_{2}}\;$ ${\big (}$qui nous intéresse${\big )}\;$ et $\;\varphi _{i_{1}}\;$ ${\big (}$que l'on souhaite éliminer${\big )}$ ;

         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : pour se débarrasser de $\;\varphi _{i_{1}}\;$ on prend le module de l'expression $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ ce qui donne
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;I_{1}(\omega )=\vert I_{2}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{2}})+I_{3}(\omega )\vert \;$» soit,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : pour se débarrasser de $\;\color {transparent}{\varphi _{i_{1}}}\;$ le module d'un complexe étant la racine carrée du produit du complexe et de son conjugué,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;I_{1}(\omega )={\sqrt {\left[I_{2}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{2}})+I_{3}(\omega )\right]\,\left[I_{2}\,\exp(j\,\varphi _{i_{2}})+I_{3}(\omega )\right]^{*}}}\;$» ou encore,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : pour se débarrasser de $\;\color {transparent}{\varphi _{i_{1}}}\;$ le conjugué d'une somme étant la somme des conjugués,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;I_{1}(\omega )={\sqrt {\left[I_{2}(\omega )\,\exp(j\,\varphi _{i_{2}})+I_{3}(\omega )\right]\,\left[I_{2}(\omega )\,\exp(-j\,\varphi _{i_{2}})+I_{3}(\omega )\right]}}\;$» soit,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : pour se débarrasser de $\;\color {transparent}{\varphi _{i_{1}}}\;$ en développant l'expression sous le radical,
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;I_{1}(\omega )={\sqrt {\left[I_{2}(\omega )\right]^{2}+\left[I_{3}(\omega )\right]^{2}+I_{2}(\omega )\,I_{3}(\omega )\,\left[\exp(j\,\varphi _{i_{2}})+\exp(-j\,\varphi _{i_{2}})\right]}}$
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;\color {transparent}{I_{1}(\omega )}\;$$={\sqrt {\left[I_{2}(\omega )\right]^{2}+\left[I_{3}(\omega )\right]^{2}+2\,I_{2}(\omega )\,I_{3}(\omega )\,\cos(\varphi _{i_{2}})}}\;$» d'où
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : le facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;Z(\omega )$ en fonction des trois intensités efficaces mesurées par les trois ampèremètres
         Détermination du facteur de puissance du D.P.L. d'impédance $\;\color {transparent}{Z(\omega )}$ : On écrit la loi de nœuds en valeurs efficaces complexes «$\;\cos(-\varphi _{i_{2}})=\cos(\varphi _{i_{2}})={\dfrac {\left[I_{1}(\omega )\right]^{2}-\left[I_{2}(\omega )\right]^{2}-\left[I_{3}(\omega )\right]^{2}}{2\,I_{2}(\omega )\,I_{3}(\omega )}}\;$».

     Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. d'impédance $\;Z(\omega )$ : soit $\;P_{e,\,r,\,Z(\omega )}\;$ cette puissance électrique moyenne, elle s'exprime selon «$\;P_{e,\,r,\,Z(\omega )}=U(\omega )\,I_{2}(\omega )\,\cos(-\varphi _{i_{2}})\;$» dans laquelle on reporte l'expression de $\;\cos(-\varphi _{i_{2}})\;$ trouvée précédemment ainsi que «$\;U(\omega )=R\,I_{3}(\omega )\;$» d'où $\;P_{e,\,r,\,Z(\omega )}=$ $R\,I_{3}(\omega )\,I_{2}(\omega )\,{\dfrac {\left[I_{1}(\omega )\right]^{2}-\left[I_{2}(\omega )\right]^{2}-\left[I_{3}(\omega )\right]^{2}}{2\,I_{2}(\omega )\,I_{3}(\omega )}}\;$ soit finalement «$\;P_{e,\,r,\,Z(\omega )}=R\,{\dfrac {\left[I_{1}(\omega )\right]^{2}-\left[I_{2}(\omega )\right]^{2}-\left[I_{3}(\omega )\right]^{2}}{2}}\;$».

 

Application à une installation E.D.F.

     Un abonné de l'E.D.F. $\;{\big (}$qui impose des tensions de valeur efficace $\;U=220\,V\;$ et de fréquence $\;f=50\,Hz{\big )}\;$ branche

• soit une lampe traversée par un courant d'intensité efficace $\;12\,A$,
• soit un moteur à caractère inductif traversé par un courant d'intensité efficace $\;30\,A$,
• soit les deux en parallèle, l'ensemble étant traversé par un courant d'intensité efficace $\;40\,A$ ;

     en utilisant ce qui précède $\;{\big (}$la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon${\big )}\;$ calculer le facteur de puissance du moteur, puis
     en utilisant ce qui précède $\;\color {transparent}{\big (}$la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon$\color {transparent}{\big )}\;$ calculer les puissances électriques moyennes consommées respectivement par la lampe et le moteur ;

     quel est le facteur de puissance de l'installation en pleine charge ?

Solution

     D'après les équivalences qui sont faites dans l'énoncé on a «$\;I_{1}=40\,A\;$», «$\;I_{2}=30\,A\;$» et «$\;I_{3}=12\,A\;$», on en déduit donc le facteur de puissance du moteur «$\;\cos(-\varphi _{i_{2}})=$ ${\dfrac {\left[40\right]^{2}-\left[30\right]^{2}-\left[12\right]^{2}}{2\times 30\times 12}}\;$» soit « le facteur de puissance du moteur égal à $\;\cos(-\varphi _{i_{2}})\simeq 0,772\;$» ;

     la puissance électrique moyenne consommée par la lampe est «$\;P_{e,\,r,\,{\text{lampe}}\,3}=U\,I_{3}=220\times 12\;$ soit finalement $\;P_{e,\,r,\,{\text{lampe}}\,3}=2,640\,kW\;$» et

la puissance électrique moyen celle consommée par le moteur est «$\;P_{e,\,r,\,{\text{moteur}}\,2}=U\,I_{2}\,\cos(-\varphi _{2})\simeq 220\times 30\times 0,722\;$ soit finalement $\;P_{e,\,r,\,{\text{moteur}}\,2}\simeq 5,095\,kW\;$» ;

     on détermine la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge par «$\;P_{e,\,r,\,{\text{installation complète}}\,1}=P_{e,\,r,\,{\text{moteur}}\,2}+P_{e,\,r,\,{\text{lampe}}\,3}\;$» soit $\;P_{e,\,r,\,{\text{installation complète}}\,1}\simeq 5,095+2,640\;$ en $\;kW\;$ soit finalement «$\;P_{e,\,r,\,{\text{installation complète}}\,1}\simeq 7,735\,kW\;$» et

     on détermine le facteur de puissance de l'installation en pleine charge est «$\;\cos(-\varphi _{i_{1}})={\dfrac {P_{e,\,r,\,{\text{installation complète}}\,1}}{U\,I_{1}}}\simeq {\dfrac {7735}{220\times 40}}\;$ soit $\;\cos(-\varphi _{i_{1}})\simeq 0,879\;$».

 

Adaptation d'impédances

     Soit un générateur de tension sinusoïdale de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ représenté par le modèle générateur de tension $\;{\big [}$f.e.m. efficace complexe $\;{\underline {E_{g}}}$, impédance interne complexe $\;{\underline {z_{g}}}=r_{g}+j\,x_{g}\;$${\big ]}$ alimentant un D.P.L. caractérisé par son impédance complexe $\;{\underline {Z_{u}}}=R_{u}+j\,X_{u}\;$, $\;R_{u}\;$ et $\;X_{u}\;$ étant réglables.

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.

     Faire un schéma de situation et

     évaluer l'intensité efficace $\;I\;$ du courant traversant le D.P.L. en fonction de $\;E_{g}$, $\;r_{g}$, $\;x_{g}\;$, $\;R_{u}\;$ et $\;X_{u}\;$.

Solution

     Bien sûr il convient de faire le schéma de situation demandé c'est-à-dire un circuit en électricité complexe associée au r.s.f. comprenant

• une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)={\underline {E_{g}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$ où $\;{\underline {E_{g}}}=E_{g}\;\exp(j\,\varphi _{g})\;$ est la f.e.m. efficace complexe, en série avec le D.P.L. interne du générateur d'impédance complexe $\;{\underline {z_{g}}}=r_{g}+j\,x_{g}\;$ fermé sur
• le D.P.L. d'utilisation d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{u}}}=R_{u}+j\,X_{u}\;$,

     le circuit étant traversé par un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$ où $\;{\underline {I}}=I\;\exp(j\,\varphi _{i})\;$ est l'intensité efficace complexe associée.

     Par application de la loi de Pouillet en complexe on détermine l'intensité efficace complexe $\;{\underline {I}}\;$ du courant circulant dans le circuit soit «$\;{\underline {I}}={\dfrac {\underline {E_{g}}}{{\underline {Z_{u}}}+{\underline {z_{g}}}}}={\dfrac {\underline {E_{g}}}{\left(R_{u}+j\,X_{u}\right)+\left(r_{g}+j\,x_{g}\right)}}=$ ${\dfrac {\underline {E_{g}}}{\left(R_{u}+r_{g}\right)+j\left(X_{u}+x_{g}\right)}}\;$» dont on tire l'intensité efficace en en prenant le module «$\;I=\vert {\underline {I}}\vert ={\dfrac {E_{g}}{\sqrt {\left(R_{u}+r_{g}\right)^{2}+\left(X_{u}+x_{g}\right)^{2}}}}\;$».

 

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.

     En déduire la puissance électrique moyenne $\;P_{e,\,r,\,u}\;$ absorbée par le D.P.L. d'utilisation en fonction des mêmes grandeurs que précédemment.

Solution

     La puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. d'utilisation $\;P_{e,\,r,\,u}\;$ pouvant s'obtenir par «$\;P_{e,\,r,\,u}=\Re \!\left[{\underline {Z_{u}}}\right]\;I^{2}=R_{u}\;I^{2}\;$» s'écrit finalement «$\;P_{e,\,r,\,u}={\dfrac {R_{u}}{\left(R_{u}+r_{g}\right)^{2}+\left(X_{u}+x_{g}\right)^{2}}}\;E_{g}^{2}\;$».

 

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur

     On dit qu'il y a adaptation d'impédance du D.P.L. sur le générateur si l'impédance complexe du D.P.L. est liée à l'impédance complexe interne du générateur telle que la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. est maximale ;

     quelles doivent être les valeurs à donner à $\;R_{u}\;$ et $\;X_{u}\;$ pour que la puissance électrique moyenne $\;P_{e,\,r,\,u}\;$ absorbée par le dipôle soit maximale $\;{\big (}$on précisera le lien entre $\;{\underline {Z_{u}}}\;$ et $\;{\underline {z_{g}}}\;$${\big )}$.

Solution

     Pour que $\;P_{e,\,r,\,u}\;$ soit maximale il faut qu'elle le soit par rapport aux variations de $\;X_{u}\;$ à $\;R_{u}\;$ fixée, mais aussi par rapport aux variations de $\;R_{u}\;$ à $\;X_{u}\;$ fixée, soit :

• $\;R_{u}\;$ étant fixée, «$\;P_{e,\,r,\,u}={\dfrac {R_{u}}{\left(R_{u}+r_{g}\right)^{2}+\left(X_{u}+x_{g}\right)^{2}}}\;E_{g}^{2}\;$ sera maximale par rapport aux variations de $\;X_{u}\;$» si « le dénominateur $\;D=(R_{u}+r_{g})^{2}+(X_{u}+x_{g})^{2}\;$ est minimal », ce qui donne, $\;D\;$ étant la somme d'un terme constant et d'un autre variable $\;\geqslant 0$, $\;D\;$ minimal si $\;(X_{u}+x_{g})^{2}\;$ l'est, ce qui sera réalisé s'il s'annule soit «$\;X_{u}=-x_{g}\;$» ;
• fixant maintenant $\;X_{u}=-x_{g}\;$ « la puissance électrique moyenne se réécrivant $\;P_{e,\,r,\,u}(X_{u}=-x_{g})={\dfrac {R_{u}}{\left(R_{u}+r_{g}\right)^{2}}}\;E_{g}^{2}\;$ sera maximale » si «$\;g(R_{u})=$ ${\dfrac {R_{u}}{\left(R_{u}+r_{g}\right)^{2}}}\;$ l'est par rapport aux variations de $\;R_{u}\;$» ce qui nécessite $\;{\dfrac {dg}{dR_{u}}}(R_{u})=0\;$ avec $\;{\dfrac {dg}{dR_{u}}}(R_{u})={\dfrac {1}{(R_{u}+r_{g})^{2}}}-{\dfrac {2\,R_{u}}{(R_{u}+r_{g})^{3}}}={\dfrac {R_{u}+r_{g}-2\,R_{u}}{(R_{u}+r_{g})^{3}}}\;$ soit finalement $\;{\dfrac {dg}{dR_{u}}}(R_{u})={\dfrac {r_{g}-R_{u}}{(R_{u}+r_{g})^{3}}}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;R_{u}=r_{g}\;$» ;
  on vérifie qu'il s'agit bien d'un maximum car
       $\;\succ \;$«$\;{\dfrac {dg}{dR_{u}}}(R_{u})\;$ est $\;>0\;$ pour $\;R_{u}=0\;$ donc $\;>0\;$ sur l'intervalle $\;\left[0\,;\,r_{g}\right[\;$» et par suite «$\;g(R_{u})\;$ est $\;\nearrow \;$ sur cet intervalle » puis
       $\;\succ \;$«$\;{\dfrac {dg}{dR_{u}}}(R_{u})\rightarrow 0^{-}\;<0\;$ pour $\;R_{u}\rightarrow +\infty \;$ donc $\;<0\;$ sur l'intervalle $\;\left]r_{g}\,;\,+\infty \right[\;$» et par suite «$\;g(R_{u})\;$ est $\;\searrow \;$ sur cet intervalle ».

     En conclusion il y aura adaptation d'impédances « si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}R_{u}=r_{g}\\X_{u}=-x_{g}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire
     En conclusion il y aura adaptation d'impédances « si l'impédance complexe du D.P.L. d'utilisation est le conjugué de l'impédance complexe du D.P.L. interne du générateur » c'est-à-dire «$\;{\underline {Z_{u}}}=\left[{\underline {z_{g}}}\right]^{*}\;$».

 

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance

     Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace $\;U=220\,V\;$ et de fréquence $\;f=$ $50\,Hz$ :

• $\;20\;$lampes de puissance électrique moyenne $\;P_{l}=100\,W\;$ chacune et
• un moteur électrique de rendement $\;\eta =0,80\;$, de puissance mécanique récupérable $\;P_{\text{méca}}=4,0\,kW\;$ et de facteur de puissance $\;\cos(\varphi _{\text{mot}})=$ $0,75\;$.

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance

     Déterminer la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que

     Déterminer son facteur de puissance.

Solution

     Bien sûr, il convient d'ajouter un schéma de situation en électricité complexe associée au r.s.f. avec

• « la tension instantanée complexe aux bornes de tous les éléments en parallèle $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {U}}=U\;$ la tension efficace complexe associée »,
• « l'intensité instantanée complexe du courant traversant chaque lampe $\;{\underline {i_{l}}}(t)={\underline {I_{l}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {I_{l}}}=I_{l}\;$ l'intensité efficace complexe associée » et
• « l'intensité instantanée complexe du courant traversant le moteur $\;{\underline {i_{\text{mot}}}}(t)={\underline {I_{\text{mot}}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {I_{\text{mot}}}}=I_{\text{mot}}\;\exp(-j\,\varphi _{\text{mot}})\;$ l'intensité efficace complexe associée ».

     Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge : Les dipôles étant tous montés en parallèle, la puissance électrique moyenne consommée par l'installation est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque dipôle soit «$\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}=20\,P_{l}+P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}\;$» ;

          Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge : or ce qu'on connaît du moteur c'est la puissance mécanique récupérable $\;P_{\text{méca}}\;$ et non la puissance électrique moyenne consommée par le moteur $\;P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}\;$ mais $\;\ldots \;$ avec le rendement du moteur défini selon $\;\eta ={\dfrac {P_{\text{méca}}}{P_{e,\,r\,{\text{mot}}}}}\;$ ${\big (}$toujours $\;<1{\big )}$, on en déduit «$\;P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}={\dfrac {P_{\text{méca}}}{\eta }}\;$» ce qui donne numériquement $\;P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}=$ ${\dfrac {4,0}{0,8}}\;$ en $\;kW\;$ soit «$\;P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}=5,0\,kW\;$» ;

          Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge : finalement $\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}=20\times 0,1+5,0\;$ en $\;kW\;$ soit «$\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}=7,0\,kW\;$».

     Détermination du facteur de puissance de l'installation en pleine charge : le facteur de puissance de l'installation $\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\;$ sera connu si on détermine l'avance de phase $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la tension sur l'intensité du courant traversant l'installation ou, compte-tenu du choix des origines des phases,
          Détermination du facteur de puissance de l'installation en pleine charge : le facteur de puissance de l'installation $\;\color {transparent}{\cos(\varphi _{\text{tot}})}\;$ sera connu si on détermine la phase à l'origine $\;\varphi _{i_{\,{\text{tot}}}}\;$ de l'intensité du courant traversant l'installation égale à $\;-\varphi _{\text{tot}}\;$, « la phase à l'origine $\;\varphi _{i_{\,{\text{tot}}}}\;$ étant l'argument de l'intensité efficace complexe $\;{\underline {I_{\text{tot}}}}=I_{\text{tot}}\;\exp(j\,\varphi _{i_{\,{\text{tot}}}})\;$ du courant traversant l'installation » ;

          Détermination du facteur de puissance de l'installation en pleine charge : les dipôles étant montés en parallèle on peut penser à utiliser la loi des nœuds en valeurs instantanées complexes ou en valeurs efficaces complexes, soit «$\;{\underline {I_{\text{tot}}}}=20\,{\underline {I_{l}}}+{\underline {I_{\text{mot}}}}\;$» ou «$\;I_{\text{tot}}\;\exp(j\,\varphi _{i_{\,{\text{tot}}}})=20\,I_{l}+I_{\text{mot}}\,\exp(-j\,\varphi _{\text{mot}})\;$» soit encore, en notant $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant traversant l'installation $\;{\big \{}$on rappelle que $\;\varphi _{\text{tot}}=\varphi _{u}-\varphi _{i_{\,{\text{tot}}}}=-\varphi _{i_{\,{\text{tot}}}}{\big \}}$, l'expression de l'intensité efficace complexe du courant traversant l'installation «$\;I_{\text{tot}}\;\exp(-j\,\varphi _{\text{tot}})=20\,I_{l}+I_{\text{mot}}\,\exp(-j\,\varphi _{\text{mot}})\;$» ;

          Détermination du facteur de puissance de l'installation en pleine charge : il reste à déterminer les caractéristiques de chaque dipôle en utilisant la puissance électrique moyenne consommée par chacun d'eux soit :

• pour chaque lampe $\;{\big (}$purement résistive donc de facteur de puissance égal à $\;1{\big )}\;$ la puissance électrique moyenne consommée suit $\;P_{l}=U\,I_{l}\;$ $\Rightarrow$ «$\;I_{l}={\dfrac {P_{l}}{U}}={\dfrac {100}{220}}\;$ en $\;A\;$» soit encore «$\;I_{l}\simeq 0,4545\,A\;$»,
• pour le moteur globalement inductif, cela signifie que son impédance complexe a une « réactance inductive $\;X_{\text{mot}}>0\;$» et comme «$\;{\underline {Z_{\text{mot}}}}=Z_{\text{mot}}\,\exp(j\,\varphi _{\text{mot}})\;$» $\Rightarrow$ $\;X_{\text{mot}}=Z_{\text{mot}}\,\sin(\varphi _{\text{mot}})\;$ laquelle, étant $\;>0$, $\Rightarrow$ la positivité de l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant traversant le moteur c'est-à-dire «$\;\varphi _{\text{mot}}>0\;$» que l'on calcule à partir du facteur de puissance selon «$\;\varphi _{\text{mot}}=$ $\arccos \!\left[\cos(\varphi _{\text{mot}})\right]\;$» soit «$\;\varphi _{\text{mot}}=\arccos(0,75)\simeq 41,4\,{\text{°}}\;$» d'une part et
       pour le moteur globalement inductif, d'autre part $\;P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}=U\,I_{\text{mot}}\,\cos(\varphi _{\text{mot}})\;$ $\Rightarrow \;$ «$\;I_{\text{mot}}=$ ${\dfrac {P_{e,\,r,\,{\text{mot}}}}{U\,\cos(\varphi _{\text{mot}})}}={\dfrac {5000}{220\times 0,75}}\;$ en $\;A\;$» soit encore «$\;I_{\text{mot}}\simeq 30,30\,A\;$» et
       pour le moteur globalement inductif, finalement «$\;{\underline {I_{\text{mot}}}}\simeq 30,30\;\exp(-j\;41,4\,{\text{°}})\;$ en $\;A\;$» d'où

          Détermination du facteur de puissance de l'installation en pleine charge : l'intensité efficace complexe du courant traversant l'installation «$\;{\underline {I_{\text{tot}}}}=20\,I_{l}+{\underline {I_{\text{mot}}}}\simeq 20\times 0,4545+30,30\;\exp(-j\;41,4\,{\text{°}})=$ $9,09+\left[30,30\times \cos(-41,4\,{\text{°}})+j\;30,30\times \sin(-41,4\,{\text{°}})\right]$ $\simeq 9,05+\left[22,73-20,04\;j\right]\;$ en $\;A\;$» soit finalement «$\;{\underline {I_{\text{tot}}}}=I_{\text{tot}}\;\exp(-j\,\varphi _{\text{tot}})\simeq 31,78-20,04\;j\;$ en $\;A\;$» ;

          Détermination du facteur de puissance de l'installation en pleine charge : à ce stade nous avons deux façons de déterminer le facteur de puissance de l'installation :

• déterminer l'argument de l'intensité efficace complexe de l'installation selon «$\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{\text{tot}}}}\right]=-\varphi _{\text{tot}}\simeq -\arctan \!\left[{\dfrac {20,04}{31,78}}\right]\simeq -32,23\,{\text{°}}\;$» établissant que la tension est en avance sur l'intensité du courant traversant l'installation de $\;32,23\,{\text{°}}\;$ conduisant à un facteur de puissance $\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\simeq \cos(32,23\,{\text{°}})\;$ soit «$\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\simeq 0,846\;$» ou
• déterminer le module de l'intensité efficace complexe de l'installation selon «$\;\vert {\underline {I_{\text{tot}}}}\vert =I_{\text{tot}}\simeq {\sqrt {\left(31,78\right)^{2}+\left(20,04\right)^{2}}}\simeq 37,57\,A\;$» puis déterminer le facteur de puissance de l'installation à partir de la puissance électrique moyenne consommée par cette dernière selon «$\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}=U\;I_{\text{tot}}\;\cos(\varphi _{\text{tot}})=7000\;W\;$» d'où «$\;\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}}{U\;I_{\text{tot}}}}$ $\simeq {\dfrac {7000}{220\times 37,57}}\;$» et finalement «$\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\simeq 0,847\;$».

 

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance

     Pour que l'installateur ne soit pas en infraction vis à vis du distributeur qui exige que le facteur de puissance de toute installation soit $\;\geqslant 0,90\;$, l'installateur met, en parallèle sur l'installation, un condensateur de capacité $\;C\;$ adaptée.

     Déterminer les valeurs possibles de capacité de condensateur à mettre en parallèle sur l'installation précédente pour que le critère imposé par le distributeur soit réalisé.

Solution

     Soit $\;C\;$ la capacité du condensateur monté en parallèle sur l'installation précédente, ce dernier est traversé par un courant d'intensité efficace complexe «$\;{\underline {I_{C}}}={\underline {Y_{C}}}\,U=$ $j\,C\,\omega \,U\;$» ;
     l'installation aux bornes de laquelle est branché le condensateur, étant composée des mêmes éléments et soumis à la même tension efficace, est traversée par un courant de même intensité efficace complexe que celle déterminée en absence de condensateur soit «$\;{\underline {I_{\text{tot}}}}\simeq 31,78-20,04\;j\;$ en $\;A\;$»
     appliquant la loi des nœuds en complexe, on en déduit la nouvelle intensité efficace complexe du courant traversant l'ensemble “ installation - condensateur ” «$\;{\underline {I_{{\text{tot}},\,C}}}={\underline {I_{\text{tot}}}}+{\underline {I_{C}}}\simeq 31,78-j\;20,04+j\,C\,\omega \,U\;$» soit finalement «$\;{\underline {I_{{\text{tot}},\,C}}}\simeq 31,78+j\,\left(C\,\omega \,U-20,04\right)\;$».

     Or on veut «$\;{\underline {I_{{\text{tot}},\,C}}}=I_{{\text{tot}},\,C}\,\exp(-j\,\varphi _{{\text{tot}},\,C})\;$» avec «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,C}\;$ nouvelle avance de phase de la tension sur l'intensité instantanée du courant traversant l'ensemble “ installation - condensateur ” telle que $\;\cos(\varphi _{{\text{tot}},\,C})\geqslant 0,90\;$» $\Leftarrow$ «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,C}\in \left[-25,84\,{\text{° ; }}+25,84\,{\text{°}}\right]\;$» ;

     de $\;{\underline {I_{{\text{tot}},\,C}}}=I_{{\text{tot}},\,C}\,\exp(-j\,\varphi _{{\text{tot}},\,C})\simeq 31,78+j\,\left(C\,\omega \,U-20,04\right)\;$ on tire «$\;-\varphi _{{\text{tot}},\,C}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{{\text{tot}},\,C}}}\right]\simeq \arctan \!\left({\dfrac {C\,\omega \,U-20,04}{31,78}}\right)\;$» soit encore «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,C}\simeq$ $\arctan \!\left({\dfrac {20,04-C\,\omega \,U}{31,78}}\right)\;$» et par suite
     la condition «$\;\cos(\varphi _{{\text{tot}},\,C})\geqslant 0,90\;$» est réalisée « si $\;-25,84\,{\text{°}}\leqslant \arctan \!\left({\dfrac {20,04-C\,\omega \,U}{31,78}}\right)\leqslant +25,84\,{\text{°}}\;$» ou, en prenant la tangente de cette double inégalité,
     la condition «$\;\color {transparent}{\cos(\varphi _{{\text{tot}},\,C})\geqslant 0,90}\;$» est réalisée « si $\;\tan(-25,84\,{\text{°}})\leqslant {\dfrac {20,04-C\,\omega \,U}{31,78}}\leqslant \tan(+25,84\,{\text{°}})\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;-0,484\leqslant {\dfrac {20,04-C\,\omega \,U}{31,78}}\leqslant +0,484\;$» ;

     de «$\;-0,484\leqslant {\dfrac {20,04}{31,78}}-{\dfrac {C\,\omega \,U}{31,78}}\;$» on tire «$\;{\dfrac {C\,\omega \,U}{31,78}}\leqslant {\dfrac {20,04}{31,78}}+0,484\;$» soit «$\;I_{C}=C\,\omega \,U\leqslant 20,04+0,484\times 31,78\simeq 35,42\;$ en $\;A\;$» $\;{\big (}$qui est l'intensité efficace maximale du courant traversant le condensateur${\big )}\;$ dont on tire la limite supérieure de sa capacité $\;C\leqslant {\dfrac {35,42}{U\;2\,\pi \,f}}\simeq {\dfrac {35,42}{220\times 2\,\pi \times 50}}\;$ en $\;F\;$ soit «$\;C\leqslant 512\;\mu F\;$» ;

     de «$\;{\dfrac {20,04}{31,78}}-{\dfrac {C\,\omega \,U}{31,78}}\leqslant +0,484\;$» on tire «$\;{\dfrac {C\,\omega \,U}{31,78}}\geqslant {\dfrac {20,04}{31,78}}-0,484\;$» soit «$\;I_{C}=C\,\omega \,U\leqslant 20,04-0,484\times 31,78\simeq 4,66\;$ en $\;A\;$» $\;{\big (}$qui est l'intensité efficace minimale du courant traversant le condensateur${\big )}\;$ dont on tire la limite inférieure de sa capacité $\;C\geqslant {\dfrac {4,66}{U\;2\,\pi \,f}}\simeq {\dfrac {4,66}{220\times 2\,\pi \times 50}}\;$ en $\;F\;$ soit «$\;C\geqslant 67\;\mu F\;$».

     Finalement pour « relever » le facteur de puissance de l'installation en pleine charge l'utilisateur doit placer en parallèle sur son installation un condensateur dont la capacité est «$\;67\;\mu F\leqslant C\leqslant 512\;\mu F\;$».

 

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne

     Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace $\;U=220\,V\;$ et de fréquence $\;f=$ $50\,Hz$ :

• $\;20\;$lampes de puissance électrique moyenne de $\;P_{l}=100\,W\;$ chacune et
• un moteur électrique de rendement $\;\eta =0,80\;$, de puissance mécanique récupérable $\;P_{\text{méca}}=4,0\,kW\;$ et de facteur de puissance $\;\cos(\varphi _{\text{mot}})=$ $0,75\;$.

     On peut établir que l'intensité efficace complexe traversant l'installation en pleine charge est $\;{\underline {I_{\text{tot}}}}\simeq 31,8-j\;20,0\;$ en $\;A\;$.

     L'installation précédente est reliée à l'usine productrice d'électricité par une ligne équivalente à la fréquence de $\;50\,Hz\;$ à un conducteur ohmique de résistance $\;r=0,15\,\Omega \;$ en série avec une bobine parfaite d'inductance propre $\;l\;$ de réactance $\;x=l\,\omega =0,10\,\Omega$.

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée

     Déterminer la tension efficace $\;U_{\text{us}}\;$ délivrée par l'usine productrice d'électricité pour que celle aux bornes de l'installation en pleine charge soit $\;U=220\,V$.

Solution

     Bien sûr, il conviendrait d'ajouter un schéma de situation en électricité complexe associée au r.s.f. avec

• « la tension instantanée complexe aux bornes de tous les éléments en parallèle $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {U}}=U\;$ la tension efficace complexe associée »,
• « l'intensité instantanée complexe du courant traversant chaque lampe $\;{\underline {i_{l}}}(t)={\underline {I_{l}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {I_{l}}}=I_{l}\;$ l'intensité efficace complexe associée »,
• « l'intensité instantanée complexe du courant traversant le moteur $\;{\underline {i_{\text{mot}}}}(t)={\underline {I_{\text{mot}}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {I_{\text{mot}}}}=I_{\text{mot}}\;\exp(-j\,\varphi _{\text{mot}})\;$ l'intensité efficace complexe associée »,
• « l'intensité instantanée complexe du courant traversant l'installation en pleine charge et la ligne $\;{\underline {i_{\text{tot}}}}(t)={\underline {I_{\text{tot}}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {I_{\text{tot}}}}=I_{\text{tot}}\;\exp(-j\,\varphi _{\text{tot}})\;$ l'intensité efficace complexe associée »,
• « la tension instantanée complexe aux bornes de la ligne $\;{\underline {u_{\text{ligne}}}}(t)={\underline {U_{\text{ligne}}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {U_{\text{ligne}}}}=U_{\text{ligne}}\;\exp(j\,\varphi _{u_{\text{ligne}}})\;$ la tension efficace complexe associée » et
• « la tension instantanée complexe aux bornes de l'usine productrice d'électricité $\;{\underline {u_{\text{us}}}}(t)={\underline {U_{\text{us}}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {U_{\text{us}}}}=U_{\text{us}}\;\exp(j\,\varphi _{u_{\text{us}}})\;$ la tension efficace complexe associée ».

     Connaissant « l'intensité efficace complexe traversant l'installation $\;{\underline {I_{\text{tot}}}}\simeq 31,8-j\;20,0\;$ en $\;A\;$», on en déduit « la tension efficace complexe aux bornes de la ligne $\;{\underline {U_{\text{ligne}}}}=\left(r+j\,l\,\omega \right){\underline {I_{\text{tot}}}}\simeq$ $\left(0,15+j\;0,10\right)\times \left(31,8-j\;20,0\right)\;$ en $\;V\;$» soit finalement «$\;{\underline {U_{\text{ligne}}}}\simeq 6,77+j\;0,18\;$ en $\;V\;$» ;

     on applique alors la loi de maille en valeurs efficaces complexes soit «$\;{\underline {U_{\text{us}}}}={\underline {U_{\text{ligne}}}}+{\underline {U}}\;$» ou «$\;{\underline {U_{\text{us}}}}\simeq \left(6,77+j\;0,18\right)+220\simeq 226,8+j\;0,2\;$ en $\;V\;$» ;

     on en déduit la tension efficace aux bornes de l'usine en prenant le module de $\;{\underline {U_{\text{us}}}}\;$ soit «$\;U_{\text{us}}=\vert {\underline {U_{\text{us}}}}\vert \simeq {\sqrt {\left(226,8\right)^{2}+\left(0,2\right)^{2}}}\;$» c'est-à-dire « une tension efficace à la sortie de l'usine égale à $\;U_{\text{us}}\simeq 226,8\,V\;$»
correspondant à une « chute de tension efficace en ligne de $\;6,8\,V\;$».

 

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière

     Exprimer la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne $\;P_{\text{ligne}}\;$ en fonction de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge $\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}$, de la tension efficace aux bornes de l'installation $\;U$, du facteur de puissance de l'installation en pleine charge $\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\;$ et de la résistance de la ligne $\;r\;$ puis

     montrer l'intérêt de « relever » le facteur de puissance c'est-à-dire d'avoir un facteur de puissance plus grand à puissance électrique moyenne consommée égale et tension efficace inchangée ; quel facteur de puissance serait idéal pour que les pertes soient les plus faibles possibles.

Solution

     La puissance électrique moyenne perdue dans la ligne $\;P_{\text{ligne}}\;$ s'évalue selon «$\;P_{\text{ligne}}=r\,I_{\text{tot}}^{2}\;$» avec $\;I_{\text{tot}}\;$ pouvant être explicitée en fonction de la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge selon «$\;I_{\text{tot}}={\dfrac {P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}}{U\;\cos(\varphi _{\text{tot}})}}\;$» $\;{\big \{}$se déduisant de $\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}=U\;I_{\text{tot}}\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\;$${\big \}}\;$ soit finalement la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne se réécrivant selon «$\;P_{\text{ligne}}={\dfrac {r\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}^{2}}{U^{2}\;\cos ^{2}(\varphi _{\text{tot}})}}\;$» correspondant à la proportion perdue «$\;{\dfrac {P_{\text{ligne}}}{P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}}}={\dfrac {r\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}}{U^{2}\;\cos ^{2}(\varphi _{\text{tot}})}}\;$» ;

     ainsi « à puissance électrique moyenne consommée $\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}};$ égale et tension efficace $\;U;$ inchangée »,
     ainsi « plus le facteur de puissance $\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\;$ est grand, moins la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne $\;P_{\text{ligne}}\;$ l'est » ;
     ainsi l'idéal serait donc d'avoir un « facteur de puissance égal à $\;1\;$» mais à appareils fixés ce n'est pas a priori réalisé.

 

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne

     Comment le distributeur peut-il agir sur les autres facteurs $\;{\big (}U\;$ ou $\;r{\big )}\;$ pour diminuer au maximum les pertes en ligne ?

Solution

     Pour diminuer les pertes dans la ligne, une fois acquise la certitude que le facteur de puissance est le plus élevé possible, et compte tenu du fait que l'utilisation correcte de l'installation exige une certaine valeur de puissance électrique moyenne consommée $\;P_{e,\,r,\,{\text{tot}}}$, le distributeur joue sur $\;U\;$ et sur $\;r$ :

• le transport de l'énergie électrique se fait sous haute tension $\;\Rightarrow U\nearrow \;$ et par suite $\;{\mathcal {P}}_{\text{ligne}}\searrow \;$,
• choix de la plus faible résistance de la ligne possible en effet $\;r\;$ doit être la plus faible possible car $\;r\searrow \;$ $\Rightarrow P_{\text{ligne}}\searrow \;$.

 

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances

Schéma d'un pont d'impédances en r.s.f. soumis à une tension instantanée d'entrée entre $\;A\;$ et $\;B\;$ et de sortie entre $\;F\;$ et $\;G\;$ fermée sur un conducteur ohmique de résistance $\;R$, les D.P.L. du pont étant respectivement à partir de $\;A\;$ et dans le sens horaire, un condensateur de capacité $\;C$, une bobine d'auto-inductance $\;L$, puis les deux mêmes dans le même ordre

     On considère le pont d'impédances ci-contre fonctionnant en r.s.f. sous une tension instantanée d'entrée entre $\;A\;$ et $\;B\;$ égale à la f.e.m. instantanée sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t)\;$ du générateur de fonction supposé parfait, la sortie du pont entre $\;F\;$ et $\;G\;$ étant fermée sur un conducteur ohmique de résistance $\;R$ ;

     le pont est constitué des D.P.L. $\;{\big [}$numérotés de $\;({\mathfrak {1}})\;$ à $\;({\mathfrak {4}})\;$ à partir de $\;B\;$ dans le sens trigonométrique direct $\;{\big (}$ou anti-horaire${\big )}{\big ]}\;$ suivants :

• une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$,
• un condensateur parfait de capacité $\;C$,
• une bobine parfaite de même inductance propre $\;L\;$ et
• un condensateur parfait de même capacité $\;C\;$.

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (réseau dipolaire linéaire passif) formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique

     Exprimer la puissance électrique moyenne $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$ consommée par le R.D.L.P. formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique et représenté ci-contre, en fonction de $\;R$, $\;L$, $\;C$, $\;\omega \;$ et $\;E\;$.

Solution

Schéma d'un pont d'impédances en complexe associée au r.s.f. soumis à une tension instantanée complexe d'entrée entre $\;A\;$ et $\;B\;$ et de sortie entre $\;F\;$ et $\;G\;$ fermée sur un conducteur ohmique de résistance $\;R$, les D.P.L. du pont étant respectivement à partir de $\;A\;$ et dans le sens horaire, un condensateur d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}$, une bobine d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}$, puis les deux mêmes dans le même ordre

     Ci-contre le même schéma en électricité complexe associée au r.s.f., « la f.e.m. instantanée complexe imposée par le générateur entre $\;A\;$ et $\;B\;$ étant $\;{\underline {e}}(t)=$ $E\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$», l'impédance complexe des bobines parfaites s'écrivant «$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \;$» et celles des condensateurs «$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$», « l'intensité instantanée complexe du courant traversant le conducteur ohmique de $\;F\;$ vers $\;G\;$ étant $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}(j\,\omega )\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec «$\;{\underline {I}}(j\,\omega )=I(\omega )\;\exp(j\,\varphi _{i})\;$ l'intensité efficace complexe associée ».

     Les bobines parfaites et les condensateurs parfaits ne consommant aucune puissance électrique en moyenne, « la puissance électrique moyenne $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$ consommée par le R.D.L.P. $\;{\big (}$représenté ci-contre${\big )}\;$ l'est dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$» d'où «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}=R\;\left[I(\omega )\right]^{2}\;$».

     On doit déterminer l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$ ${\big [}$ou efficace complexe $\;{\underline {I}}(j\,\omega ){\big ]}\;$ du courant dans une branche diagonale d'un pont d'impédances et pour cela
     On doit modéliser le R.D.L.A. alimentant le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ par son générateur de Thévenin en complexe équivalent d'« impédance complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )\;$» et de « f.e.m. instantanée complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)\;$» ${\big [}$ou efficace complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ $\;{\underline {E_{\text{Th}}}}(j\,\omega ){\big ]}\;$ déterminées par utilisation du théorème de Millman en complexe au R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$ ${\big [}$ou efficace complexe $\;{\underline {I}}(j\,\omega ){\big ]}\;$ ;

     l'utilisation du théorème de Millman en complexe au R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$ ${\big [}$ou efficace complexe $\;{\underline {I}}(j\,\omega ){\big ]}\;$ conduit, en travaillant en potentiels instantanés complexes, $\;{\big [}$on impose alors ${\underline {v_{B}}}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {v_{A}}}(t)=$ ${\underline {e}}(t){\big ]}$ ou, en travaillant en potentiels efficaces complexes, $\;{\big [}$c'est-à-dire en imposant ${\underline {V_{B}}}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )=E{\big ]}$, à la détermination du potentiel instantané complexe de $\;F\;$ ${\big [}$ou efficace complexe de $\;F{\big ]}\;$ par application au nœud $\;F\;$ et à celle du potentiel instantané complexe de $\;G\;$ ${\big [}$ou efficace complexe de $\;G{\big ]}\;$ par application au nœud $\;G$, la différence permettant d'en déduire les grandeurs caractéristiques complexes du générateur de Thévenin équivalent soit :

• théorème de Millman en complexe appliqué en $\;F\;$ en valeurs efficaces complexes «$\;{\underline {V_{F}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,C\,\omega \,E+{\cancel {\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}}-{\underline {I}}(j\,\omega )}{j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;j\,L\,\omega$, l'expression finale du potentiel efficace complexe «${\underline {V_{F}}}(j\,\omega )={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,E-j\,L\,\omega \,{\underline {I}}(j\,\omega )}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» et
• théorème de Millman en complexe appliqué en $\;G\;$ en valeurs efficaces complexes «$\;{\underline {V_{G}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {E}{j\,L\,\omega }}+{\cancel {j\,C\,\omega \;0}}+{\underline {I}}(j\,\omega )}{{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}+j\,C\,\omega }}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;j\,L\,\omega$, l'expression finale du potentiel efficace complexe «${\underline {V_{G}}}(j\,\omega )={\dfrac {E+j\,L\,\omega \,{\underline {I}}(j\,\omega )}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» ;

     on en déduit la tension efficace complexe que le R.D.L.A. impose au conducteur ohmique «$\;{\underline {V_{F}}}(j\,\omega )-{\underline {V_{G}}}(j\,\omega )={\dfrac {-\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)E-2\,j\,L\,\omega \,{\underline {I}}(j\,\omega )}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» d'où les caractéristiques des grandeurs efficaces complexes du générateur de Thévenin équivalent :

• une f.e.m. efficace complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {E_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {-\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)E}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» et
• une impédance complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {2\,j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}$»,

     on en déduit l'intensité efficace complexe traversant le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ se déterminant par loi de Pouillet en complexe, le circuit équivalent en complexe comprenant la f.e.m. complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ en série sur l'impédance complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$, l'ensemble étant fermé sur l'impédance complexe du conducteur ohmique, d'où «$\;{\underline {I}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {E_{\text{Th}}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )+R}}={\dfrac {-{\dfrac {1+L\,C\,\omega ^{2}}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\,E}{{\dfrac {2\,j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R}}\;$» soit, en multipliant haut et bas par $\;1-L\,C\,\omega ^{2}\;$, l'expression finale de l'intensité efficace complexe du courant traversant le conducteur ohmique «$\;{\underline {I}}(j\,\omega )={\dfrac {-(1+L\,C\,\omega ^{2})\,E}{2\,j\,L\,\omega +R\,(1-L\,C\,\omega ^{2})}}\;$» dont on tire, en en prenant le module, la valeur de l'intensité efficace traversant le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ soit «$\;I(\omega )=\vert {\underline {I}}(j\,\omega )\vert ={\Bigg \vert }{\dfrac {-(1+L\,C\,\omega ^{2})\,E}{2\,j\,L\,\omega +R\,(1-L\,C\,\omega ^{2})}}{\Bigg \vert }\;$» soit finalement «$\;I(\omega )={\dfrac {(1+L\,C\,\omega ^{2})\,E}{\sqrt {R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$».      La puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. constitué du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique s'écrit donc «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}={\dfrac {R\;\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)^{\!2}\,E^{2}}{R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$».

     Cas particulier où la pulsation du régime est égale à la pulsation propre du$\;L\,C\;$série : Si $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ le théorème de Millman en complexe devient inapplicable aussi bien au nœud $\;F\;$ qu'au nœud $\;G\;$ compte-tenu du fait que $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )=0\;$ ce qui est équivalent à $\;{\dfrac {1}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}=0\;$ :

          Cas particulier où la pulsation du régime est égale à la pulsation propre du$\;\color {transparent}{L\,C}\;$série : comme «$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )=0\;$» c'est-à-dire $\;{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )=0$, le générateur de Norton en complexe modélisant la partie active du réseau dipolaire arrivant au nœud $\;F\;$ est une source de courant parfaite de c.e.m. efficace complexe $\;{\big (}$compté positivement dans le sens sortant de $\;F\;$ qui est aussi le sens $\;+\;$ du courant dans le conducteur ohmique${\big )}\;$ «$\;{\underline {I_{0}}}(j\,\omega )={\dfrac {E}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}=j\;C\;\omega \;E,\;\;\forall \;{\underline {V_{F}}}\;$» ;

          Cas particulier où la pulsation du régime est égale à la pulsation propre du$\;\color {transparent}{L\,C}\;$série : comme «$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )=0\;$» c'est-à-dire $\;{\underline {z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{4}}}(j\,\omega )=0$, le générateur de Norton en complexe modélisant la partie active du réseau dipolaire sortant de nœud $\;G\;$ est une source de courant parfaite de c.e.m. efficace complexe $\;{\big (}$compté positivement dans le sens sortant de $\;G\;$ qui est aussi le sens $\;-\;$ du courant dans le conducteur ohmique${\big )}\;$ «$\;{\underline {{I'}_{0}}}(j\,\omega )={\dfrac {E}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}$ $={\dfrac {E}{j\,L\,\omega }}\;\;\forall \;{\underline {V_{G}}}\;$» soit, en inversant le sens $\;+\;$ de c.e.m. efficace complexe, c'est-à-dire en le comptant positivement dans le sens entrant par $\;G\;$ ${\big (}$qui est aussi le sens $\;+\;$ du courant dans le conducteur ohmique${\big )}$, le c.e.m. efficace complexe «$\;-{\underline {{I'}_{0}}}(j\,\omega )=-{\dfrac {E}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}=-{\dfrac {E}{j\,L\,\omega }}\;\;\forall \;{\underline {V_{G}}}\;$» ;

          Cas particulier où la pulsation du régime est égale à la pulsation propre du$\;\color {transparent}{L\,C}\;$série : les deux c.e.m. efficaces complexes étant montés en série entre $\;F\;$ et $\;G\;$ en étant identiques sont équivalents à un seul c.e.m. efficace complexe «$\;{\underline {I_{0}}}(j\,\omega )=j\;C\;\omega \;E=-{\dfrac {E}{j\,L\,\omega }}=j\;{\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\;E\;$» dont on déduit l'intensité efficace complexe du courant traversant le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ pour $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ selon «$\;{\underline {I}}\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right)$ $=j\;C\;\omega \;E=-{\dfrac {E}{j\,L\,\omega }}=j\;{\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\;E\;$» et par suite,

          Cas particulier où la pulsation du régime est égale à la pulsation propre du$\;\color {transparent}{L\,C}\;$série : en en prenant le module, l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ pour $\;\omega =$ ${\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ selon «$\;I\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right)={\Bigg \vert }{\underline {I}}\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right){\Bigg \vert }=C\;\omega \;E={\dfrac {E}{L\,\omega }}={\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\;E\;$» dont on déduit

          Cas particulier où la pulsation du régime est égale à la pulsation propre du$\;\color {transparent}{L\,C}\;$série : la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. constitué du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique pour cette pulsation particulière «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right)=R\left[I\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right)\right]^{2}\;$» soit «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right)=R\;C^{2}\;\omega ^{2}\;E^{2}=R\;{\dfrac {E^{2}}{L^{2}\omega ^{2}}}={\dfrac {R\;C\;E^{2}}{L}}\;$».

 

Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)

     Pour quelle valeur de $\;\omega \;$ la puissance électrique moyenne $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$ consommée par le R.D.L.P. formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique est-elle extrémale ?

     Préciser alors sa valeur ;

     s'agit-il de résonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. $\;{\big (}$c'est-à-dire d'un maximum de $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}{\big )}\;$ ou

     s'agit-il d'antirésonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. $\;{\big (}$c'est-à-dire d'un minimum de $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}{\big )}\;$ ${\big [}$on discutera suivant les valeurs de $\;R{\big ]}$ ?

Solution

     Ayant déterminé l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}(\omega )={\dfrac {R\;\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)^{\!2}\,E^{2}}{R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$», nous en déduisons que « la recherche d'une éventuelle valeur de pulsation rendant la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}(\omega )\;$ extrémale » peut être résolue en « calculant la dérivée de $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$ par rapport à $\;\omega ^{2}\;$», soit
     $\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}=R\;E^{2}\;{\dfrac {\left[R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}\right]\;2\,L\,C\,\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)-\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)^{\!2}\left[-2\,R^{2}\,L\,C\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)+4\,L^{2}\right]}{\left[R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}\right]^{2}}}$
     $\;\color {transparent}{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\;$$=R\;E^{2}\,\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right){\dfrac {2\,R^{2}\,L\,C\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+8\,L^{3}\,C\,\omega ^{2}+2\,R^{2}\,L\,C\,\left(1-L^{2}\,C^{2}\,\omega ^{4}\right)-4\,L^{2}\,\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)}{\left[R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}\right]^{2}}}\;$ soit, après développement et regroupement avec simplifications
     $\;\color {transparent}{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\;$$=R\;E^{2}\,\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right){\dfrac {\left(4\,R^{2}\,L\,C-4\,L^{2}\right)-4\,R^{2}\,L^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+4\,L^{3}\,C\,\omega ^{2}}{\left[R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}\right]^{2}}}\;$ ou, en remarquant une factorisation par $\;1-L\,C\,\omega ^{2}\;$ dans le numérateur de la fraction,
     $\;\color {transparent}{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\;$$={\dfrac {4\;R\;L\;E^{2}\,\left(1+L\,C\,\omega ^{2}\right)\left(R^{2}\,C-L\right)}{\left[R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+4\,L^{2}\,\omega ^{2}\right]^{2}}}\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)\;$ laquelle, dans la mesure où $\;R^{2}\,C-L\;$ est $\;\neq 0$, « ne s'annule que pour $\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;$» d'où

     le « caractère stationnaire ou extrémale de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. pour la pulsation $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» si «$\;R^{2}\,C-L\;$ est $\;\neq 0\;$» ;

          le « caractère stationnaire ou extrémale «$\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\;$ étant de signe contraire suivant que $\;\omega \;$ est $\;<\;$ ou $\;>\;$ à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ rend effectivement $\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}(\omega )\;$ extrémale », plus précisément on a «$\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\!\left(\omega <{\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\right)\;$ de signe contraire à $\;\left(R^{2}\,C-L\right)\;$» et «$\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\!\left(\omega >{\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\right)\;$ de même signe que $\;\left(R^{2}\,C-L\right)\;$» soit :

• pour «$\;R<{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R^{2}\,C-L<0\;$», résonance de$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$pour la pulsation$\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ car «$\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\;$ est d'abord $\;>0\;$ puis $\;<0\;$ suivant la croissance de $\;\omega \;$», c'est-à-dire la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. est maximale pour $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}$,
• pour «$\;R>{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R^{2}\,C-L>0\;$», antirésonance de$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$pour la pulsation$\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ car «$\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}\;$ est d'abord $\;<0\;$ puis $\;>0\;$ suivant la croissance de $\;\omega \;$», c'est-à-dire la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. est minimale pour $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et
• pour «$\;R={\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R^{2}\,C-L=0\;$», constance de$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\;$ car «$\;{\dfrac {dP_{e,\,r,\,R.D.L.P.}}{d\omega ^{2}}}=0\;\;\forall \;\omega \;$», la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. se réécrivant, pour cette valeur de résistance, «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}={\dfrac {E^{2}}{R}}\;$» ;

     pour «$\;R\neq {\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$» la valeur extrémale de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. s'écrit selon «$\;P_{e,\,r,\,R.D.L.P.}\!\left(\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\right)={\dfrac {R\;E^{2}}{L^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R\;C\;E^{2}}{L}}\;$».