Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Leçons de niveau 14
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Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques
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Méthode des trois ampèremètres[modifier | modifier le wikicode]

Montage utilisant trois ampèremètres parfaits et un conducteur ohmique étalon de résistance pour déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L[1]. ainsi que la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f[2].

     On veut déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L[1]. alimenté en r.s.f[2]. de pulsation et d'impédance complexe non connue , en utilisant trois ampèremètres supposés parfaits c'est-à-dire d'impédance quasi-nulle et un conducteur ohmique étalon de résistance .

     Pour cela on réalise le montage ci-contre où les ampèremètres mesurent les intensités efficaces

  • « du courant traversant l'association parallèle du D.P.L[1]. et du conducteur ohmique étalon »,
  • « du courant traversant le D.P.L[1]. » et
  • « du courant traversant le conducteur ohmique étalon ».

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer le facteur de puissance du D.P.L[1]. d'impédance non connue en fonction de , et  ;

     en déduire la puissance électrique moyenne consommée par ce dipôle en fonction de , , et .

Application à une installation E.D.F.[modifier | modifier le wikicode]

     Un abonné de l'E.D.F. qui impose des tensions de valeur efficace et de fréquence branche

  • soit une lampe traversée par un courant d'intensité efficace ,
  • soit un moteur à caractère inductif traversé par un courant d'intensité efficace ,
  • soit les deux en parallèle, l'ensemble étant traversé par un courant d'intensité efficace  ;

     en utilisant ce qui précède la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon calculer le facteur de puissance du moteur, puis
     en utilisant ce qui précède la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon calculer les puissances électriques moyennes consommées respectivement par la lampe et le moteur ;

     quel est le facteur de puissance de l'installation en pleine charge[7] ?

Adaptation d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un générateur de tension sinusoïdale de fréquence représenté par le modèle générateur de tension f.e.m. efficace complexe , impédance interne complexe [11] alimentant un D.P.L[1]. caractérisé par son impédance complexe [11], et [11] étant réglables.

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

     Faire un schéma de situation et

     évaluer l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L[1]. en fonction de , , [11], et [11].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

     En déduire la puissance électrique moyenne absorbée par le D.P.L[1]. d'utilisation en fonction des mêmes grandeurs que précédemment.

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur[modifier | modifier le wikicode]

     On dit qu'il y a adaptation d'impédance du D.P.L[1]. sur le générateur si l'impédance complexe du D.P.L[1]. est liée à l'impédance complexe interne du générateur telle que la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L[1]. est maximale ;

     quelles doivent être les valeurs à donner à et [11] pour que la puissance électrique moyenne absorbée par le dipôle soit maximale on précisera le lien entre [11] et [11].

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence  :

  • lampes de puissance électrique moyenne chacune et
  • un moteur électrique de rendement [15], de puissance mécanique récupérable et de facteur de puissance [16].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge[7] ainsi que

     Déterminer son facteur de puissance.

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que l'installateur ne soit pas en infraction vis à vis du distributeur qui exige que le facteur de puissance de toute installation soit [24], l'installateur met, en parallèle sur l'installation, un condensateur de capacité adaptée.

     Déterminer les valeurs possibles de capacité de condensateur à mettre en parallèle sur l'installation précédente pour que le critère imposé par le distributeur soit réalisé.

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne[modifier | modifier le wikicode]

     Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence  :

  • lampes de puissance électrique moyenne de chacune et
  • un moteur électrique de rendement [15], de puissance mécanique récupérable et de facteur de puissance [16].

     On peut établir que l'intensité efficace complexe traversant l'installation en pleine charge[7] est en [28].

     L'installation précédente est reliée à l'usine productrice d'électricité par une ligne équivalente à la fréquence de à un conducteur ohmique de résistance en série avec une bobine parfaite d'inductance propre de réactance .

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la tension efficace délivrée par l'usine productrice d'électricité pour que celle aux bornes de l'installation en pleine charge soit .

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne en fonction de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge , de la tension efficace aux bornes de l'installation , du facteur de puissance de l'installation en pleine charge et de la résistance de la ligne puis

     montrer l'intérêt de « relever » le facteur de puissance c'est-à-dire d'avoir un facteur de puissance plus grand à puissance électrique moyenne consommée égale et tension efficace inchangée ; quel facteur de puissance serait idéal pour que les pertes soient les plus faibles possibles.

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne[modifier | modifier le wikicode]

     Comment le distributeur peut-il agir sur les autres facteurs ou pour diminuer au maximum les pertes en ligne ?

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont d'impédances en r.s.f[2]. soumis à une tension instantanée d'entrée entre et et de sortie entre et fermée sur un conducteur ohmique de résistance , les D.P.L[1]. du pont étant respectivement à partir de et dans le sens horaire, un condensateur de capacité , une bobine d'auto-inductance , puis les deux mêmes dans le même ordre

     On considère le pont d'impédances ci-contre fonctionnant en r.s.f[2]. sous une tension instantanée d'entrée entre et égale à la f.e.m. instantanée sinusoïdale du générateur de fonction supposé parfait[34], la sortie du pont entre et étant fermée sur un conducteur ohmique de résistance  ;

     le pont est constitué des D.P.L[1]. numérotés de à à partir de dans le sens trigonométrique direct ou anti-horaire suivants :

  • une bobine parfaite d'inductance propre ,
  • un condensateur parfait de capacité ,
  • une bobine parfaite de même inductance propre et
  • un condensateur parfait de même capacité .

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (réseau dipolaire linéaire passif) formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P[35]. formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique et représenté ci-contre, en fonction de , , , et [36].





Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour quelle valeur de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P[35]. formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique est-elle extrémale ?

     Préciser alors sa valeur ;

     s'agit-il de résonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P[35]. c'est-à-dire d'un maximum de ou

     s'agit-il d'antirésonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P[35]. c'est-à-dire d'un minimum de on discutera suivant les valeurs de  ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 et 1,23 Dipôle Passif Linéaire.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 et 2,8 Régime Sinusoïdal Forcé.
  3. 3,0 3,1 et 3,2 En effet on choisit la phase à l'origine de la tension commune à ajouter sur le schéma en respectant une convention récepteur la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique est aussi nulle d'après la loi d'Ohm.
  4. 4,0 et 4,1 Plus précisément c'est le cosinus de l'avance de phase de la tension commune sur l'intensité du courant traversant le D.P.L. d'impédance qui nous intéresse mais est l'opposé de la phase à l'origine de l'intensité.
  5. 5,0 et 5,1 On rappelle que est, en physique, le complexe conjugué de .
  6. En utilisant la formule d'Euler relative au cosinus ou, en adoptant la notation de l'électricité pour l'imaginaire unité, .
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 et 7,09 C.-à-d. quand tous les éléments de l'installation fonctionne simultanément.
  8. On ne pouvait pas appliquer la formule trouvée à la question précédente, ne connaissant pas .
  9. 9,0 et 9,1 La puissance électrique moyenne consommée par deux dipôles en parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque dipôle voir le paragraphe « utilisation de la propriété “ la puissance électrique moyenne consommée par une association série est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association ” (remarque) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  10. On pouvait déterminer le facteur de puissance comme dans la 1ère question de l'exercice en cherchant à évaluer à partir de la loi des nœuds en valeurs efficaces complexes, la connaissance de du moteur ainsi que son caractère inductif la tension aux bornes du moteur est en avance de phase sur l'intensité du courant qui le traverse soit permettent de trouver « en » d'où «» et par suite le facteur de puissance de l'installation en pleine charge vaut «».
  11. 11,00 11,01 11,02 11,03 11,04 11,05 11,06 11,07 11,08 11,09 et 11,10 Usuellement les impédances complexes dépendent de la pulsation par l'intermédiaire de leur réactance, pour simplifier la notation nous ne précisons pas directement la dépendance.
  12. 12,0 et 12,1 Claude Servais Mathias Pouillet (1790 - 1868) physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom.
  13. 13,0 et 13,1 La loi de Pouillet en complexe s'applique pour déterminer l'intensité instantanée ou efficace complexe du courant circulant dans un circuit série ne comprenant que des D.L. dipôles linéaires en électricité complexe associée au même r.s.f. c'est-à-dire que les sources de tension doivent correspondre à la génération de f.e.m. instantanées complexes de même pulsation, elle résulte de l'application de la loi des mailles en complexe avec choix du sens de f.e.m. complexe dans le sens du courant en accord avec l'algébrisation habituelle et s'énonce « en valeurs instantanées complexes » ou « en valeurs efficaces complexes » à retenir et à savoir utiliser sans hésitation exposée une 1ère fois dans le paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type Wheatstone en r.s.f. » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  14. 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L. » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  15. 15,0 et 15,1 Le rendement d'un moteur électrique est le rapport entre la puissance mécanique récupérable et la puissance électrique moyenne consommée par le moteur.
  16. 16,0 16,1 et 16,2 On admet qu'un moteur est inductif ce qui veut dire que sa réactance est inductive, en effet un moteur électrique fonctionne grâce aux phénomènes d'induction dont nous étudierons l'effet moteur dans les sous paragraphes du paragraphe « moment vectoriel du couple électromagnétique agissant sur l'aiguille aimantée dans un champ magnétique dépendant du temps, “ explication de l'effet moteur du champ magnétique tournant agissant sur une aiguille aimantée ” : principe du moteur synchrone » du chap. de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».
  17. 17,0 et 17,1 La phase à l'origine de la tension commune ayant été choisie nulle soit .
  18. 18,0 et 18,1 L'intensité du courant traversant le moteur étant retard de phase de sur la tension commune, le moteur étant inductif, elle est donc égale à .
  19. En effet .
  20. En effet avec l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant traversant le moteur.
  21. Laisser l'argument d'une exponentielle complexe en degrés est un abus d'écriture pour lequel l'unité doit impérativement subsister car l'absence d'unités signifierait que l'argument de l'exponentielle complexe est le radian.
  22. 22,0 et 22,1 La puissance électrique moyenne consommée par un dipôle de facteur de puissance connue en plus de la tension efficace aux bornes du dipôle et l'intensité efficace du courant traversant ce dernier est établie dans le paragraphe « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire quelconque (actif ou passif) en r.s.f. » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  23. La différence de résultats est due aux approximations intermédiaires dans les A.N. applications numériques>, sans arrondi on trouverait bien sûr le même résultat.
  24. On peut en effet montrer que la proportion de puissance électrique moyenne perdue dans les lignes de transport situées en amont du compteur électrique mesurant la puissance électrique moyenne consommée par l'utilisateur sur cette dernière est d'autant plus grande que le facteur de puissance de l'installation du particulier est faible, avec la particularité que cette puissance électrique moyenne perdue dans les lignes n'est pas mesurée par le compteur de puissance du particulier, donc n'est pas payée directement par lui mais répercutée sur tous les abonnés sans que le particulier en question n'en tire aucun avantage ;
       lors de l'installation faite par un professionnel, celle-ci est conforme et le distributeur peut le vérifier à tout instant, mais lorsqu'un particulier modifie ou crée lui-même une installation, elle peut ne pas l'être si le particulier n'y prend pas garde, alors si le distributeur se rend compte du problème lors d'une vérification il est, d'une part, autorisé à verbaliser le particulier et d'autre part il exigera que ce dernier rende son installation conforme !
       Comme le facteur de puissance de l'installation dépend des appareils en fonctionnement et que chaque appareil peut ne pas avoir un facteur de puissance constant, le distributeur n'impose pas un facteur de puissance égal à ce qui serait l'idéal mais impose qu'il ne puisse être en fonctionnement permanent inférieur à .
  25. Laisser les angles limites en degrés est un abus d'écriture pour lequel l'unité doit impérativement subsister, dans ces conditions l' doit aussi être exprimé en .
  26. Le sens des inégalités ne change pas car la fonction est croissante.
  27. La plus petite valeur de capacité donnant la plus petite valeur d'intensité efficace du courant traversant le condensateur et maintenant le caractère inductif de l'ensemble « installation - condensateur » car et
       la plus grande valeur de capacité donnant la plus grande valeur d'intensité efficace du courant traversant le condensateur ainsi que le caractère capacitif à l'ensemble « installation - condensateur » car .
  28. 28,0 et 28,1 Il n'est pas demandé d'établir cette expression car cela a été fait dans l'exercice précédent « détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance » de cette série d'exercices.
  29. Ou loi d'additivité de tensions pour des dipôles en série.
  30. est la tension efficace complexe aux bornes de l'installation en pleine charge.
  31. D'où la nécessité de « relever » le facteur de puissance par adjonction d'un condensateur bien choisi monté en parallèle sur l'installation revoir la question « choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour “ relever ” son facteur de puissance » de l'exercice précédent.
  32. Pour des questions de sécurité évidentes, cette haute tension efficace ne peut être fournie à l'installation, elle est donc, avant distribution locale, abaissée à par « transformateur abaisseur de tension » un transformateur parfait a un rendement égal à ce qui correspond au fait que la puissance électrique moyenne reçue par le primaire et provenant de la ligne est intégralement transférée au secondaire et disponible dans l'installation
       voir chap. et de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) », respectivement intitulés « Circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps : Cas de deux bobines en interaction, circuits électriques à une maille couplés par mutuelle induction en r.s.f. » et « Circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps : Cas de deux bobines en interaction, étude énergétique » ;
       voir chap. et de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) », toutefois, dans un « transformateur parfait abaisseur de tension » donc à puissance électrique moyenne conservée, la tension efficace aux bornes du primaire est nettement plus grande que celle aux bornes du secondaire voir le paragraphe « principe de fonctionnement (2ème remarque) » du chap. de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) » définissant la notion de rapport de transformation , correspondant à une intensité efficace traversant le primaire ainsi que la ligne, nettement plus faible que celle traversant le secondaire ainsi que l'installation voir le paragraphe « En complément, loi des intensités d'un transformateur de tension quand le secondaire est fermé sur un récepteur » du chap. de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) » établissant que l'inverse du rapport de transformation , d'où une diminution effective de la puissance perdue dans la ligne sans modification de la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation.
  33. Comme il est difficile de jouer sur la longueur, le distributeur choisit la plus grande section possible selon résistance d'un cylindre de longueur et dont la section droite est d'aire , le matériau étant de résistivité , cette formule étant admise, il y a toutefois une limite supérieure à l'aire admissible de la section droite car, plus l'aire est grande, plus le poids des fils est important et plus il faut de pylônes pour soutenir ceux-ci ; le distributeur choisit donc l'option la moins coûteuse.
  34. C.-à-d. tel que son impédance de sortie est considérée comme négligeable.
  35. 35,00 35,01 35,02 35,03 35,04 35,05 35,06 35,07 35,08 35,09 35,10 35,11 35,12 et 35,13 Réseau Dipolaire Linéaire Passif.
  36. Il peut être intéressant de répondre à la question « dans quel dipôle la puissance est-elle consommée ? » et
       Il peut être intéressant de calculer l'intensité efficace traversant ce dipôle dans le but d'évaluer cette puissance.
  37. La f.e.m. efficace complexe s'identifiant à la f.e.m. efficace car la phase à l'origine de la f.e.m. instantanée sinusoïdale est nulle.
  38. Voir le paragraphe « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  39. Voir le paragraphe « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  40. 40,0 40,1 40,2 et 40,3 Réseau Dipolaire Linéaire Actif.
  41. 41,00 41,01 41,02 41,03 41,04 41,05 41,06 41,07 41,08 et 41,09 Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  42. 42,0 42,1 42,2 42,3 et 42,4 Jacob Millman (1911 - 1991) électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï (maintenant en Ukraine), devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.
  43. 43,0 et 43,1 Voir les paragraphes « condition d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe associé au r.s.f. en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré » et « énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S de sortie du réseau par lequel le courant sortant alimente la branche extérieure » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  44. 44,00 44,01 44,02 44,03 44,04 44,05 44,06 44,07 44,08 44,09 44,10 44,11 et 44,12 Nécessite c'est-à-dire ou ou «».
  45. À tracer effectivement.
  46. 46,0 et 46,1 Voir le paragraphe « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  47. Ou parallèle, la pulsation propre du série ou parallèle étant la même égale à .
  48. Revoir le paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type Wheatstone en r.s.f. étude du cas très particulier ou » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       dans le cas présent, comme et on a , ces deux conditions étant les mêmes on aboutit à la même expression d'intensité instantanée complexe du courant arrivant par le nœud et repartant par le nœud et contrairement au cas très particulier évoqué dans la note du paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type Wheatstone en r.s.f. retour sur les cas très particuliers ou » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » où on avait et avec et ce qui conduisait à une intensité instantanée complexe nécessairement infinie.
  49. 49,0 et 49,1 Edward Lawry Norton (1898 - 1983) ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  50. 50,0 et 50,1 Ce qui peut encore être écrit selon «» ou,
                        en remplaçant par , le c.e.m. efficace complexe «».
  51. Ce qui peut encore être écrit selon «» ou,
       en remplaçant par , le c.e.m. efficace complexe «».
  52. Ce qui peut encore être écrit selon «» ou,
       en remplaçant par , le c.e.m. efficace complexe «».
  53. En effet est égal à .
  54. D'où la tension efficace complexe aux bornes du conducteur ohmique « ».
  55. On remarque que l'expression «» se retrouve comme cas particulier du résultat général «» établi sous condition en y faisant , en effet on trouve alors néanmoins faire dans une expression démontrée sous condition est mathématiquement incorrect, seule la détermination par modélisation de Norton l'étant.
  56. Valable pour toute valeur de pulsation imposée par le générateur en effet même si cette expression a été établie pour nous avons vu, dans la note « 55 » plus haut dans cette série d'exercices, que sa détermination directe quand a donné un résultat identique à celui qu'on obtiendrait dans l'expression générale en faisant .
  57. En effet ne dépend que de et s'annule pour les zéros de et  ;
       bien que l'on ne considère plus la variation de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
  58. En effet la nullité de la dérivée peut correspondre à un maximum ou un minimum c'est-à-dire un extrémum mais encore à un point d'inflexion de la courbe avec une tangente parallèle à l'axe des abscisses c'est-à-dire un maximum pour les valeurs de gauche et minimum pour les valeurs de droite ou vice versa.
  59. En effet « le remplacement de par dans le dénominateur de » conduit à « » ou, en réintroduisant , «» puis, après simplification haut et bas par dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. «».