Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie

Fonction de transfert d'un filtre R C série avec sortie aux bornes de C, diagramme de Bode

Schéma d'un circuit $RC$ série en r.s.f. alimenté sous $e(t)$ avec sortie ouverte $s(t)$ aux bornes de $C$

     Le circuit ci-contre «$RC$ série avec sortie aux bornes de $C$» est alimenté par une tension sinusoïdale $e(t)$.

     Pour la suite on notera $\underset{\_}{e}(t)$ et $\underset{\_}{s}(t)$ les représentations complexes associées aux grandeurs sinusoïdales $e(t)$ et $s(t)$.

Étude théorique

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre ainsi que de son gain en dB et de sa phase

     Exprimer l'amplification complexe en tension $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{s}(t)}{\underset{\_}{e}(t)}$ du filtre en fonction des paramètres du circuit et de la pulsation imposée par le générateur.

     En déduire le gain en dB $G_{dB}=G_{dB}(\omega )$ du filtre et

     En déduire sa phase $\phi =\phi (\omega )$.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $e(t)$ et $s(t)$ par les tensions instantanées complexes $\underset{\_}{e}(t)$ et $\underset{\_}{s}(t)$ et en représentant le condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe $\underset{\_}{Z_C}(j\omega )=\frac{1}{jC\omega }$.

     L'amplification complexe en tension du filtre «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{s}(t)}{\underset{\_}{e}(t)}=\frac{\underset{\_}{S}(j\omega )}{\underset{\_}{E}}$» s'obtient par P.D.T. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{s}(t)=\frac{\frac{1}{jC\omega }}{R+\frac{1}{jC\omega }}\underset{\_}{e}(t)$» $\{$ou, en valeurs efficaces complexes «$\underset{\_}{S}(j\omega )=\frac{\frac{1}{jC\omega }}{R+\frac{1}{jC\omega }}\underset{\_}{E}$»$\}$ d'où finalement «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{1}{1+jRC\omega }$» dont on tire :

• en en prenant le module, « le gain $G(\omega )=|\underset{\_}{A}(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+R^2{C}^2{\omega }^2}}$» puis « le gain en dB $G_{dB}(\omega )=20\log [G(\omega )]=-10\log [1+R^2{C}^2{\omega }^2]$» et
• en en prenant l'argument, « la phase $\phi (\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{A}(j\omega )]=-\arctan \left(RC\omega \right)$».

 

Tracé des courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, principales propriétés du filtre

     Tracer les courbes de gain et de phase du diagramme de Bode , on précisera :

• le comportement asymptotique B.F. et H.F.,
• le transfert statique,
• la fréquence de coupure à $-3dB$ «$f_c$»,
• la nature du filtre,
• la bande passante à $-3dB$ «$B.P{.}_{-3dB}$» et
• la valeur de la phase $\phi$ à la fréquence de coupure à $-3dB$.

Solution

     On reconnaît un 1^er ordre fondamental de pulsation de coupure à $-3dB$ «${\omega }_0=\frac{1}{RC}$» et de transfert statique «$A_0=1$» d'où

• la fréquence de coupure à $-3dB$ «$f_c=\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{1}{2\pi RC}$»,
• la nature du filtre : un passe-bas,
• sa bande passante à $-3dB$ «$B.P{.}_{-3dB}=f_c=\frac{1}{2\pi RC}$»,
• son gain statique en dB «$G_{0,dB}=0$»,
• la valeur de la phase à la fréquence de coupure à $-3dB$ «$\phi ({\omega }_0)=-\frac{\pi }{4}$» ;

     le comportement B.F. supposant «$\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$» $\Rightarrow$ «$\underset{\_}{A}(j\omega )\sim 1$» on en déduit «$\left\{\begin{array}{c}{G}_{dB,\text{asymptotique}B.F.}=0\\ {\phi }_{\text{asymptotique}B.F.}=0\end{array}\right\}$» ;

     le comportement H.F. supposant «$\omega \gtrsim 10{\omega }_0$» $\Rightarrow$ «$\underset{\_}{A}(j\omega )\sim \frac{1}{jRC\omega }$» on en déduit «$\left\{\begin{array}{c}{G}_{dB,\text{asymptotique}H.F.}=-20\log \left[RC\omega \right]\\ {\phi }_{\text{asymptotique}H.F.}=-\frac{\pi }{2}\end{array}\right\}$», soit une « pente de la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique de $-20dB/\text{décade}$» et un « comportement intégrateur à H.F. » ;

     pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les tracés avec les valeurs numériques seront donnés dans la solution de la question « applications numériques » plus loin dans cet exercice.

 

Applications numériques

     Calculer le gain statique en dB $G_{0,dB}$ et la fréquence de coupure à $-3dB$ «$f_c$» pour les filtres suivants :

• filtre $(1)$ construit avec $R=4,7k\Omega$ et $C=6,8nF$,
• filtre $(2)$ construit avec $R=680k\Omega$ et $C=47pF$.

Solution

     Calcul du gain statique en dB$G_{0,dB}$et de la fréquence de coupure à$-3dB$“$f_c$” pour les filtres suivants :

• filtre $(1)$, «$G_{0,dB,(1)}=0$» et «$f_{c,(1)}=\frac{1}{2\pi \times 4,710^3\times 6,810^{-9}}\simeq 4980Hz$»,
• filtre $(2)$, «$G_{0,dB,(2)}=0$» et «$f_{c,(2)}=\frac{1}{2\pi \times 68010^3\times 4710^{-12}}\simeq 4980Hz$»,

     les deux filtres ont donc mêmes caractéristiques dès lors que leur sortie reste ouverte, les tracés communs de leurs courbes de gain et de phase sont donnés ci-dessous :

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental de gain statique en dB nul et de fréquence de coupure à $-3dB$ «$4980Hz$»

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental de transfert statique égal à $1$ et de fréquence de coupure à $-3dB$ «$4980Hz$»

 

Étude expérimentale

Schéma d'un circuit $RC$ série en r.s.f. alimenté sous $e(t)$ avec sortie $s(t)$ aux bornes de $C$ fermée sur un oscilloscope modélisé par $R_0$ en parallèle sur $C_0$

     Dans l'étude expérimentale de ces filtres, on mesure les valeurs de crête de $e(t)$ et $s(t)$ en envoyant $($simultanément sur des voies différentes$)$ la tension correspondante à l'entrée d'un oscilloscope cathodique, par l'intermédiaire d'un câble coaxial.

     Si le tracé expérimental de la courbe de gain du diagramme de Bode donne une courbe tout à fait voisine de la courbe théorique pour le filtre $(1)$ pour lequel «$\left\{\begin{array}{c}{G}_{0,dB,\text{exp},(1)}\simeq G_{0,dB,\text{th}}\\ f_{c,\text{exp},(1)}\simeq f_{c,\text{th}}\end{array}\right\}$», il n'en est pas de même pour le filtre $(2)$ pour lequel «$\left\{\begin{array}{c}{G}_{0,dB,\text{exp},(2)}\ne G_{0,dB,\text{th}}\\ f_{c,\text{exp},(2)}\ne f_{c,\text{th}}\end{array}\right\}$» et on cherche à justifier les écarts observés en modélisant l'oscilloscope fonctionnant en r.s.f. par son impédance complexe d'entrée, le D.P. d'entrée de l'oscilloscope étant un condensateur parfait de capacité $C_0=30pF$ en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance $R_0=1M\Omega$ $($voir schéma ci-contre$)$.

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fermé sur l'oscilloscope utilisé et ses principales propriétés

     Calculer la nouvelle amplification complexe en tension $\underset{\_}{A^{\prime }}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{s^{\prime }}(t)}{\underset{\_}{e}(t)}$ du filtre fermé sur l'oscilloscope et vérifier qu'il s'agit d'un filtre de même nature que le filtre en sortie ouverte.

     En déduire le nouveau gain statique en dB ${G^{\prime }}_{0,dB}$ du filtre et

     En déduire sa nouvelle fréquence de coupure à $-3dB$ «${f^{\prime }}_c$».

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $e(t)$ et $s^{\prime }(t)$ par les tensions instantanées complexes $\underset{\_}{e}(t)$ et $\underset{\_}{s^{\prime }}(t)$ et en représentant chaque condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe $\underset{\_}{Z_C}(j\omega )=\frac{1}{jC\omega }$ pour le condensateur de capacité $C$ ou $\underset{\_}{Z_{C_0}}(j\omega )=\frac{1}{j{C}_0\omega }$ pour le condensateur de capacité $C_0$.

     $R_0$, $\underset{\_}{Z_{C_0}}(j\omega )$ et $\underset{\_}{Z_C}(j\omega )$ étant montées en $\parallel$, l'association est d'« impédance complexe équivalente $\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )$ telle que $\frac{1}{\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )}=\frac{1}{R_0}+j{C}_0\omega +jC\omega =$ $\frac{1+j{R}_0(C_0+C)\omega }{R_0}$» d'où «$\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )$ $=\frac{R_0}{1+j{R}_0(C_0+C)\omega }$» et on reconnaît un P.D.T. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{s^{\prime }}(t)=\frac{\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )}{R+\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )}\underset{\_}{e}(t)$» $\{$ou «$\underset{\_}{S^{\prime }}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )}{R+\underset{\_}{Z_{\text{éq}}}(j\omega )}\underset{\_}{E}$» en valeurs efficaces complexes$\}$ $\Rightarrow$ $\underset{\_}{A^{\prime }}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{s^{\prime }}(t)}{\underset{\_}{e}(t)}=\frac{\underset{\_}{S^{\prime }}(j\omega )}{\underset{\_}{E}}=$ $\frac{\frac{R_0}{1+j{R}_0(C_0+C)\omega }}{R+\frac{R_0}{1+j{R}_0(C_0+C)\omega }}=\frac{R_0}{R_0+R[1+j{R}_0(C_0+C)\omega ]}=\frac{R_0}{R_0+R+jR{R}_0(C_0+C)\omega }$ ou, en normalisant mettre sous la forme d'un 1^er ordre, «$\underset{\_}{A^{\prime }}(j\omega )=\frac{\frac{R_0}{R+R_0}}{1+j\frac{R{R}_0}{R+R_0}(C_0+C)\omega }$».

     On en déduit que la nature du filtre reste la même puisque le 1^er ordre est fondamental mais avec des caractéristiques modifiées selon ce qui suit :

• un nouveau gain statique en dB «$G{\text{'}}_{0,dB}=20\log \left(\frac{R_0}{R+R_0}\right)<0=G_{0,dB}$» et
• une nouvelle fréquence de coupure à $-3dB$ «${f^{\prime }}_c=\frac{R+R_0}{2\pi R{R}_0(C_0+C)}$», soit encore «${f^{\prime }}_c=f_c\frac{R+R_0}{R_0}\frac{C}{C+C_0}$» laquelle peut être «$>$ ou $<$ à $f_c$».

 

Applications numériques et commentaires

     Calculer le gain statique en dB «${G^{\prime }}_{0,dB}$» et la fréquence de coupure à $-3dB$ «${f^{\prime }}_c$» pour les filtres $(1)$ et $(2)$.

     L'expérience donne pour le filtre $(2)$ le gain statique en dB «$G{\text{'}}_{0,dB}=-4,5dB$». Commenter les résultats.

Solution

     Calcul du nouveau gain statique en dB${G^{\prime }}_{0,dB}$et de la nouvelle fréquence de coupure à$-3dB$“${f^{\prime }}_c$” pour les filtres suivants :

• pour le filtre $(1)$ : «${G^{\prime }}_{0,dB,(1)}=20\log \left[\frac{10^6}{\cancel{4,710^3+}10^6}\right]\simeq 0$» et «${f^{\prime }}_{c,(1)}\simeq 4980\times \frac{\cancel{4,710^3+}10^6}{10^6}\times \frac{6,810^{-9}}{6,810^{-9}\cancel{+3010^{-12}}}\simeq 4980Hz$»,
• pour le filtre $(2)$ : «${G^{\prime }}_{0,dB,(2)}=20\log \left[\frac{10^6}{68010^3+10^6}\right]\simeq -4,5dB$» et «${f^{\prime }}_{c,(2)}\simeq 4980\times \frac{68010^3+10^6}{10^6}\times \frac{4710^{-12}}{4710^{-12}+3010^{-12}}\simeq 5107Hz$».

     Pour que le gain statique ne soit pas perturbé, il faut «$R_0\gg R$» $[$ainsi, « avec $R_0=1M\Omega$, ne pas dépasser $100k\mathrm{\Omega }$»$]$ et
     pour que la bande passante à $-3dB$ reste la même, il faut «$C_0\ll C$» $[$ainsi, « avec $C_0=30pF$ ne pas aller au-dessous de $300pF=0,3nF$»$]$.

 

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale ou en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale

Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre $L$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ en série, de tension d'entrée $u_E$ et de tension de sortie ouverte $u_S$ aux bornes du conducteur ohmique

Sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique

     Soit le quadripôle «$R,L$ série avec sortie aux bornes de $R$», représenté sur le schéma ci-contre, de tension d'entrée $u_E$ et de sortie ouverte $u_S$.

Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du filtre

     Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension $A_0=\frac{U_S}{U_E}$ $[U_E$ étant la tension permanente imposée en entrée et $U_S$ la tension permanente de sortie $($ouverte$\left)\right]$.

Solution

     En statique $($régime permanent établi$)$ il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre $L$ est équivalente à un court-circuit, on a donc $U_S=U_E$ et par suite $A_0=\frac{U_S}{U_E}=1$.

 

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fonctionnant en r.s.f.

     Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$ en r.s.f. en fonction de $\omega$ et «$\tau =\frac{L}{R}$ la constante de temps du $RL$ série »

     et retrouver la valeur de $A_0$ trouvée à la question précédente.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $u_e(t)$, $u_s(t)$ et les intensités instantanées des courants $i_e(t)$ et $i_s(t)=0$ par leurs expressions instantanées complexes associées $\underset{\_}{u_e}(t)$, $\underset{\_}{u_s}(t)$, $\underset{\_}{i_e}(t)$ et $\underset{\_}{i_s}(t)=0$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $L$ par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\underset{\_}{Z_L}(j\omega )=jL\omega$.

     On reconnaît alors un P.D.T. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{u_s}(t)=\frac{R}{R+\underset{\_}{Z_L}(j\omega )}\underset{\_}{u_e}(t)$» $\{$ou «$\underset{\_}{U_s}(j\omega )=\frac{R}{R+\underset{\_}{Z_L}(j\omega )}\underset{\_}{U_e}$» en valeurs efficaces complexes$\}$ $\Rightarrow$ $\underset{\_}{A}(j\omega )$ $=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{R}{R+jL\omega }$ soit, en divisant haut et bas par $R$ pour normaliser la fonction de transfert, «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{1}{1+j\tau \omega }$» en posant «$\tau =\frac{L}{R}$ constante de temps du $RL$ série » ;

     Il s'agit donc d'un 1^er ordre fondamental de transfert statique «$A_0=1$» en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.

 

Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du filtre construit

     Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en

     en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.

Solution

     Le gain associé est «$G(\omega )=\frac{U_s(\omega )}{U_e}=|\underset{\_}{A}(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}$» correspondant à un passe-bas de pulsation de coupure à $-3dB$ «${\omega }_c=\frac{1}{\tau }$» ;

     le gain en décibels se définissant par $G_{dB}(\omega )=20\log [G(\omega )]$ se réécrit $G_{dB}(\omega )=20\log \left[\frac{1}{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}\right]$, ou encore «$G_{dB}(\omega )=-10\log [1+{\tau }^2{\omega }^2]$» et

     sa phase «$\phi (\omega )={\phi }_{u_s}(\omega )-{\phi }_{u_e}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{A}(j\omega )]=-\arctan \left(\tau \omega \right)$» ;

     le comportement asymptotique B.F. correspondant à «$\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$» conduit à une amplification complexe en tension «$\underset{\_}{A_{B.F.}}\sim 1$» d'où les asymptotes B.F. de la courbe de gain «$G_{dB,\text{asymptote}B.F.}=0$» et de la courbe de phase «${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=0$» du diagramme de Bode alors que

     le comportement asymptotique H.F. correspondant à «$\omega \gtrsim 10{\omega }_0$» conduit à une amplification complexe en tension «$\underset{\_}{A_{H.F.}}\sim \frac{1}{j\tau \omega }$» entraînant l'équivalence à un « circuit intégrateur à H.F. » avec les asymptotes H.F. de la courbe de gain «$G_{dB,\text{asymptote}H.F.}=-20\log (\tau \omega )$» et de la courbe de phase «${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=-\frac{\pi }{2}$» du diagramme de Bode, enfin

     la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à $-3dB$ est «$\phi ({\omega }_0)=-\frac{\pi }{4}$».

     Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

 

Sortie ouverte aux bornes de la bobine parfaite

     Après permutation du conducteur ohmique et de la bobine parfaite on reprend les mêmes questions.

Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du nouveau filtre

     Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension $A_0=\frac{U_S}{U_E}$ $[U_E$ étant la tension permanente imposée en entrée et $U_S$ la tension permanente de sortie $($ouverte$\left)\right]$.

Solution

     En statique (régime permanent établi) il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre $L$ est équivalente à un court-circuit, on a donc $U_S=0$ et par suite $A_0=\frac{U_S}{U_E}=0$.

 

Détermination de l'amplification complexe en tension du nouveau filtre fonctionnant en r.s.f.

     Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$ en r.s.f. en fonction de $\omega$ et «$\tau =\frac{L}{R}$ la constante de temps du $RL$ série »

     et retrouver la valeur de $A_0$ trouvée à la question précédente.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $u_e(t)$, $u_s(t)$ et les intensités instantanées des courants $i_e(t)$ et $i_s(t)=0$ par leurs expressions instantanées complexes associées $\underset{\_}{u_e}(t)$, $\underset{\_}{u_s}(t)$, $\underset{\_}{i_e}(t)$ et $\underset{\_}{i_s}(t)=0$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $L$ aux bornes de laquelle se trouve la sortie par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\underset{\_}{Z_L}(j\omega )=jL\omega$.

     On reconnaît alors un P.D.T. en sortie ouverte soit, en valeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{u_s}(t)=\frac{\underset{\_}{Z_L}(j\omega )}{R+\underset{\_}{Z_L}(j\omega )}\underset{\_}{u_e}(t)$» $\{$ou «$\underset{\_}{U_s}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{Z_L}(j\omega )}{R+\underset{\_}{Z_L}(j\omega )}\underset{\_}{U_e}$» en valeurs efficaces complexes$\}$ $\Rightarrow$ $\underset{\_}{A}(j\omega )$ $=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{jL\omega }{R+jL\omega }$ soit, en divisant haut et bas par $R$ pour normaliser la fonction de transfert, «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{j\tau \omega }{1+j\tau \omega }$» en posant «$\tau =\frac{L}{R}$ constante de temps du $RL$ série » ;

     Il s'agit donc d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de transfert statique «$A_0=\underset{\omega \to 0}{lim}[\underset{\_}{A}(j\omega )]=0$» en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.

 

Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du nouveau filtre construit

     Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en

     en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.

Solution

     Le gain associé est «$G(\omega )=\frac{U_s(\omega )}{U_e}=|\underset{\_}{A}(j\omega )|=\frac{\tau \omega }{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\tau }^2{\omega }^2}}}$» correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à $-3dB$ «${\omega }_c=\frac{1}{\tau }$» ;

     le gain en décibels se définissant par $G_{dB}(\omega )=20\log [G(\omega )]$ se réécrit $G_{dB}(\omega )=20\log \left[\frac{\tau \omega }{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}\right]$ ou encore «$G_{dB}(\omega )=20\log (\tau \omega )-10\log [1+{\tau }^2{\omega }^2]$» et

     sa phase «$\phi (\omega )={\phi }_{u_s}(\omega )-{\phi }_{u_e}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{A}(j\omega )]=\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\tau \omega \right)$» ;

     le comportement asymptotique B.F. correspondant à «$\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$» conduit à une amplification complexe en tension «$\underset{\_}{A_{B.F.}}\sim j\tau \omega$» entraînant l'équivalence à un « circuit dérivateur à B.F. » avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain «$G_{dB,\text{asymptote}B.F.}=20\log (\tau \omega )$» et de la courbe de phase «${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=+\frac{\pi }{2}$» du diagramme de Bode alors que

     le comportement asymptotique H.F. correspondant à «$\omega \gtrsim 10{\omega }_0$» conduit à une amplification complexe en tension «$\underset{\_}{A_{H.F.}}\sim 1$» d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain «$G_{dB,\text{asymptote}H.F.}=0$» et de la courbe de phase «${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=0$» du diagramme de Bode, enfin

     la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à $-3dB$ est «$\phi ({\omega }_0)=+\frac{\pi }{4}$».

     Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

 

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal

Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre $L$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ en parallèle, d'intensité de courant d'entrée $i_G$ et de tension de sortie ouverte $u_S$ aux bornes de l'ensemble

     Soit le circuit linéaire «$RL$ parallèle », représenté sur le schéma ci-contre, commandé par un générateur de courant parfait de c.e.m. $i_G$.

Détermination de l'expression de la transimpédance complexe du filtre commandé en courant et fonctionnant en r.s.f.

     Déterminer l'expression de la transimpédance complexe $\underset{\_}{Z_t}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{I_g}}$, en r.s.f. en fonction de $\omega$, $R$ et $\tau =\frac{L}{R}$ la constante de temps du $RL$ montées en parallèle.

     En déduire l'expression de la transrésistance $R_{t,0}=\frac{U_S}{I_G}$ de ce filtre $[U_S$ étant la tension permanente mesurée en sortie et $I_G$ le c.e.m. permanent imposé à l'entrée$]$..

Solution

     Il convient bien sûr refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant le c.e.m. instantané $i_g(t)$ et la tension instantanée $u_s(t)$ par leurs expressions instantanées complexes $\underset{\_}{i_g}(t)$ et $\underset{\_}{u_s}(t)$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $L$ par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\underset{\_}{Z_L}(j\omega )=jL\omega$ ;

     la transimpédance complexe du filtre $\underset{\_}{Z_t}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{i_g}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{I_g}}$ n'est rien d'autre que l'impédance complexe équivalente vue des bornes d'entrée soit $\underset{\_}{Z_t}(j\omega )=$ $jL\omega \parallel R=\frac{RjL\omega }{R+jL\omega }=\frac{jL\omega }{1+j\tau \omega }$ et finalement, en mettant $R$ en facteur dans le numérateur pour faire apparaître la grandeur canonique «$\tau =\frac{L}{R}$ constante de temps du $RL$ parallèle », «$\underset{\_}{Z_t}(j\omega )=R\frac{j\tau \omega }{1+j\tau \omega }$».

     La transrésistance $R_{t,0}=\frac{U_S}{I_G}$ étant la limite de la transimpédance complexe quand la pulsation $\omega$ tend vers $0$, on en déduit «$R_{t,0}=\underset{\omega \to 0}{lim}[\underset{\_}{Z_t}(j\omega )]=0$» en accord avec le fait qu'en statique les phénomènes d'induction disparaissant, une bobine parfaite en régime permanent est équivalente à un court-circuit d'où $U_S=0$.

 

Définition et allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre commandé en courant fonctionnant en r.s.f. avec précision de ses principales propriétés

     Pour pouvoir définir un diagramme de Bode associé à une transimpédance complexe, on introduit le gain associé à cette impédance complexe de transfert par «$G_z(\omega )=\frac{|\underset{\_}{Z_t}(j\omega )|}{1\mathrm{\Omega }}$» de façon à ce que ce gain soit une grandeur sans unité.

     Définir et donner l'allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre ainsi construit

     en précisant les principales propriétés de ce dernier.

Solution

     Le gain associé est «$G_z(\omega )=\frac{|\underset{\_}{Z_t}(j\omega )|}{1\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{1\mathrm{\Omega }}\frac{U_s(\omega )}{I_g}=\frac{R}{1\mathrm{\Omega }}\frac{\tau \omega }{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}=\frac{R}{1\mathrm{\Omega }}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\tau }^2{\omega }^2}}}$» correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à $-3dB$ «${\omega }_c=\frac{1}{\tau }$» $\{$en accord avec le fait que la transimpédance complexe du filtre est un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul donc un passe-haut$\}$ ;

     le gain en décibels se définissant par $G_{z,dB}(\omega )=20\log [G_z(\omega )]$ se réécrit $G_{z,dB}(\omega )=20\log \left[\frac{R}{1\Omega }\right]+20\log \left[\frac{\tau \omega }{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}\right]$ ou «$G_{z,dB}(\omega )=$ $20\log \left[\frac{R}{1\Omega }\right]+20\log (\tau \omega )-10\log [1+{\tau }^2{\omega }^2]$» et

     sa phase «$\phi (\omega )={\phi }_{u_s}(\omega )-{\phi }_{i_g}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{Z_t}(j\omega )]=\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\tau \omega \right)$» ;

     le comportement asymptotique B.F. correspondant à «$\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$» conduit à une transimpédance complexe «$\underset{\_}{Z_{t,B.F.}}\sim jR\tau \omega$» entraînant l'équivalence à un « circuit dérivateur à B.F. » avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain «$G_{z,dB,\text{asymptote}B.F.}=20\log \left[\frac{R}{1\mathrm{\Omega }}\right]+20\log (\tau \omega )$» et de la courbe de phase «${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=+\frac{\pi }{2}$» du diagramme de Bode alors que

     le comportement asymptotique H.F. correspondant à «$\omega \gtrsim 10{\omega }_0$» conduit à une transimpédance complexe «$\underset{\_}{Z_{t,H.F.}}\sim R$» d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain «$G_{dB,\text{asymptote}H.F.}=$ $20\log \left[\frac{R}{1\mathrm{\Omega }}\right]$» et de la courbe de phase «${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=0$» du diagramme de Bode, enfin

     la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à $-3dB$ est «$\phi ({\omega }_0)=+\frac{\pi }{4}$».

     Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».