Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique

**Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 10
Chap. préc. :	Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
Chap. suiv. :	Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique
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Sources lumineuses et leur spectre

Déjà présentées dans le paragraphe « différentes sources lumineuses et leur éclairement spectral » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » :

on distingue :

les sources de lumière blanche $\;{\big [}$ provenant du soleil $\;{\big (}$ ou d'une autre étoile ${\big )}$ ou émise par une lampe à filament ou encore une lampe à économie d'énergie ${\big ]}$ ,
les lampes spectrales et
les lasers ;

leur spectre est :

continu dans une source de lumière blanche $\;{\big [}$ avec un éclairement spectral différent suivant la fréquence ${\big ]}$ ,
discret $\;{\big (}$ ou de raies ${\big )}\;$ dans une lampe spectrale $\;{\big [}$ le spectre étant caractéristique des éléments présents dans la vapeur et le rapport d'amplitudes d'harmoniques caractéristiques de deux éléments différents définissant leur pourcentage relatif ${\big ]}$ ,
à une raie dans un laser.

Lampe à filament

Constituée par un filament métallique $\;{\big (}$ souvent du tungstène ${\big )}\;$ que l'on porte à une température de l'ordre de $\;2500\;K$ ; pour éviter le dépôt métallique évaporé sur les parois intérieures de l'enveloppe, et par conséquent allonger la durée de vie de la lampe, on remplit cette dernière de gaz rares ou d’halogènes sous faible pression.

Lampe spectrale

On ionise un gaz en provoquant une décharge électrique entre deux électrodes ; il en existe deux types : « à B.P. $\;{\big (}$ à basse pression ${\big )}\;$ » et « à H.P. $\;{\big (}$ à haute pression ${\big )}\;$ » ^[1] ;
On ionise un gaz en provoquant une décharge électrique entre deux électrodes ; il en ex dans les « lampes à B.P. » ^[2]^, ^[3], le rayonnement émis a un spectre discret dépendant de la nature du gaz ;

les plus courantes sont :

les lampes spectrales à vapeurs métalliques $\;{\big (}$ mercure, sodium, zinc, cadmium, $\ldots {\big )}$ ,
les lampes à vapeur de gaz rares $\;{\big (}$ néon, argon, krypton ${\big )}$ .

Laser

Les plus courants sont les « lasers à gaz $\;He-Ne\;$ » et les « lasers à semi-conducteurs $\;GaAs\;$ ${\big (}$ arséniure de gallium ${\big )}\;$ » ;

     le principe élémentaire d'un laser à « deux niveaux » est fondé sur l'« émission induite $\;{\big (}$ ou stimulée ${\big )}\;$ » ^[4] :
     Émission induite : un atome initialement dans un état excité d'énergie $\;E_{2}\;$ peut revenir à son état fondamental d'énergie $\;E_{1}\;$ sous l'action d'un rayonnement de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ tel que $\;{\dfrac {h\,c}{\lambda _{0}}}$ $=E_{2}-E_{1}\;$ où $\;h\simeq$ $6,62\;10^{-34}\;J\!\cdot \!s\;$ est la constante de Planck ^[5], en émettant un photon d'énergie $\;E_{\gamma }=E_{2}-E_{1}\;$ correspondant à un « train d'onde » ^[6] de même longueur d'onde dans le vide que le rayonnement initial et en phase avec ce dernier ;
     Émission induite : cette émission induite ne sera pas masquée par les phénomènes d'absorption dans la mesure où la population du niveau d'énergie $\;E_{2}\;$ est supérieure à celle du niveau fondamental d'énergie $\;E_{1}$ ; or, le niveau excité d'énergie $\;E_{2}\;$ est beaucoup moins peuplé que le niveau fondamental, il faut donc réaliser une « inversion de population », c.-à-d. faire un « pompage optique » ^[7] du niveau fondamental d'énergie $\;E_{1}\;$ vers le niveau excité d'énergie $\;E_{2}$ ; quand cette condition est réalisée, l'émission de la radiation de longueur d'onde $\;\lambda _{0}\;$ ^[8], stimulée par le rayonnement de même longueur d’onde ^[8], se produit avec un éclairement supérieur à celui du faisceau ;

il existe :

des lasers de plusieurs dizaines de kilowatts dans lesquels l'émission de lumière dure une fraction de seconde $\;{\big (}$ laser à rubis ${\big )}\;$ et
des lasers à performance plus modeste de quelques fractions de watt $\;{\big (}$ lasers à gaz ${\big )}\;$ mais ayant l'avantage d'émettre de façon continue.

Laser à gaz He-Ne

Le milieu est constitué d’un mélange gazeux composé d’hélium $\;He\;{\big (}85\,\%{\big )}\;$ et de néon $\;Ne\;{\big (}15\,\%{\big )}$ ;

la transition à longueur d'onde $\;632,8\;nm\;$ ^[8] correspond à la transition $\;5s\,\rightarrow \,3p\;$ du Néon $\;Ne\;$ ${\big (}$ figure ci-contre ${\big )}$ ;

     une décharge électrique excitant l'hélium $\;He\;$ jusqu'à son niveau $\;2s\;$ ^[9] est à l'origine du pompage optique :
     très succinctement, la cavité fonctionne comme un résonateur électromagnétique dont les lames réfléchissantes en regard l’une de l’autre et distantes de quelques dizaines de centimètres permettent de fixer le niveau d'excitation de l'hélium $\;He$ ,
     très succinctement ce niveau étant proche en énergie du niveau $\;5s\;$ du Néon $\;Ne$ , les nombreux atomes d'hélium $\;He\;$ excités, dont la durée de vie est importante, communiquent facilement leur énergie aux atomes de néon $\;Ne\;$ dans des processus de collision dans lesquels les atomes d'hélium $\;He\;$ retombent à leur état fondamental, ceci réalisant l'inversion de population souhaitée du néon $\;Ne$ ;
     très succinctement les atomes de néon $\;Ne\;$ excités reviennent alors à des niveaux d’énergie inférieure en émettant, en particulier, des trains d'onde de longueur d'onde dans le vide égale à $\;632,8\;nm\;$ ^[10],
     très succinctement cette émission étant induite par l'onde résonante fixant le niveau d'excitation de l'hélium $\;He$ ;
     très succinctement pour obtenir la longueur d'onde désirée $\;632,8\;nm\;$ ^[8] et éliminer celles citées dans la note « ¹⁰ » plus haut dans ce chapitre, une géométrie particulière est imposée au système, ainsi un laser $\;He-Ne\;$ ayant, par construction, une géométrie fixée ne pourra émettre que la longueur d'onde $\;632,8\;nm\;$ ^[8].

Laser à semi-conducteurs

Les lasers à semi-conducteurs ont des propriétés spécifiques très intéressantes :

     Les lasers à semi-conducteurs $\succ \;$ petite taille,
     Les lasers à semi-conducteurs $\succ \;$ longueur de la cavité $\;{\mathit {l}}\simeq 300\;\mu m$ ,
     Les lasers à semi-conducteurs $\succ \;$ robustesse et
     Les lasers à semi-conducteurs $\succ \;$ faible coût ;

on y retrouve les éléments fondamentaux communs à tout laser :
on y retrouve transitions entre différents niveaux d’énergie situés ici dans des bandes d’énergie caractéristiques des milieux condensés « bande de valence du Gallium $\;Ga\;$ et bande de conduction de l'Arsenic $\;As\;$ », le pompage étant réalisé en faisant passer un courant dans le matériau et la cavité définie par les faces partiellement réfléchissantes du cristal permettant de fixer le niveau d'excitation $\ldots$

Dans une « diode électroluminescente » ^[11], lorsqu'on applique aux bornes de la jonction $\;P-N\;$ une tension de faible valeur dans le sens direct, on « favorise la diffusion initiale » ^[12] et donc la recombinaison des électrons et des trous $\;{\big (}$ voir schémas ci-contre ${\big )}$ ;
Dans une « diode électroluminescente », cette recombinaison d'un électron de la bande de conduction de l'Arsenic $\;As\;$ avec un « trou de la bande de valence du Gallium $\;Ga\;$ » ^[13] provoque l'émission de lumière du visible ou du proche infrarouge, le passage du courant assurant le renouvellement des électrons de conduction dans la bande de conduction du côté du semi-conducteur dopé $\;N\;$ l'Arsenic $\;As\;$ et celui des trous dans la bande de valence du côté du semi-conducteur dopé $\;P\;$ le Gallium $\;Ga$ ;

ces diodes sont abondamment utilisées pour l’affichage lumineux, en général, l’émission étant dans le rouge ou l’orangé.

Modèle de la source ponctuelle monochromatique, source étendue monochromatique considérée comme une association de sources ponctuelles monochromatiques incohérentes

Introduction aux mécanismes d'émission de lumière

     Les mécanismes d'émission de la lumière sont essentiellement « microscopiques » ^[14] :
     Les mécanismes d'émission de la lumière par un « apport d'énergie extérieure » ^[15], des « atomes » ^[16] sont excités, ils acquièrent un niveau d'énergie $\;>\;$ à leur niveau d’énergie « au repos » ^[17].
           Les mécanismes d'émission de la lumière par un « apport d'énergie extérieure », ces « atomes » ^[16] tombent à un niveau plus stable en cédant de l'énergie par émission d’une « onde lumineuse » ^[18].

Notion de trains d'onde

     L'émission d'une lumière de fréquence donnée n'est pas représentée par une fonction sinusoïdale sans limitation dans le temps
     L'émission d'une lumière de fréquence donnée mais par des trains d'onde c.-à-d. une succession de fonctions sinusoïdales limitées dans le temps se répétant à intervalle régulier avec, relativement à la variation dans le temps $\;{\big (}$ voir diagramme ci-contre ${\big )}$ ,
     L'émission d'une lumière de fréquence donnée mais par des trains d'onde un espacement associé aux phases d'excitation et
     L'émission d'une lumière de fréquence donnée mais par des trains d'onde une durée associée aux phases de désexcitation
     L'émission d'une lumière de fréquence donnée mais par des trains d'onde une durée associée aux des atomes émetteurs,
     L'émission d'une lumière de fréquence donnée mais par des trains d'onde une durée de même ordre de grandeur à savoir
     L'émission d'une lumière de fréquence donnée mais par des trains d'onde une durée de même ordre de « $\;\tau \simeq 10^{-8}\;s\;$ ».

Modèle de la source ponctuelle monochromatique

     Nous appelons « source ponctuelle » une source « d'échelle mésoscopique » c.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique »,
     Nous appelons « source ponctuelle » une source « d'échelle mésoscopique » c.-à-d. dont les dimensions mais « très grandes à l'échelle microscopique » ;
     Nous appelons « source ponctuelle » ainsi un filament de lampe long de $\;1\;mm\;$ pourra être considérée comme une source ponctuelle, il est petit à notre échelle $\;{\big (}$ l'échelle macroscopique ${\big )}\;$ mais contient un très grand nombre d'atomes $\;{\big (}$ la dimension d'un atome définissant l'échelle microscopique ${\big )}$ ;

Nous appelons « source ponctuelle » de plus si les atomes excités de la source émettent des trains d'onde tous de même fréquence, la source ponctuelle est monochromatique ;

pour associer un signal à une source ponctuelle monochromatique localisée en $\;S\;$ nous admettons l'applicabilité du « théorème de superposition aux trains d'onde émis par toutes les sources microscopiques qui la composent » ^[19], ces derniers étant synchrones mais déphasés initialement de façon « aléatoire » ^[20], leur somme est un « train d'onde de phase initiale quelconque » ^[21] de « durée $\;\tau _{c}\simeq 10^{-8}\;s\;$ » ^[22].

Exemple du filament de lampe long de $\;1\;mm$ : c'est une source ponctuelle mais elle n'est pas monochromatique car son émission a un spectre continu.

Exemple de source ponctuelle monochromatique $\rightsquigarrow$ une source laser ^[23] : supposant le faisceau émis parallèle $\;{\big (}$ sa légère divergence résultant du phénomène de diffraction ${\big )}\;$ ^[24], on en déduit que la source ponctuelle est à l'infini dans la direction du faisceau.

Source étendue monochromatique

Nous appelons « source étendue monochromatique » une source d'échelle « macroscopique » où les atomes excités émettent des trains d'onde tous de même fréquence ;
Nous appelons une source étendue monochromatique peut donc être considérée comme une association de sources ponctuelles monochromatiques mais avec la particularité suivante :

Nous appelons une source étendue monochromatique chaque source ponctuelle émettant un train d'onde de même fréquence, d'amplitude et de durée fixées mais de phase aléatoire, il n'y a « aucune corrélation entre les phases des trains d'onde émis par les sources ponctuelles composantes de la source étendue » ^[25], ce que nous traduisons en disant que ces sources ponctuelles sont incohérentes ;

finalement une « source étendue monochromatique » est une « association de sources ponctuelles monochromatiques incohérentes ».

Milieu transparent, indice du milieu

Notion de transparence d'un milieu

Les milieux de propagation d'une onde lumineuse sont dits « transparents » quand ils sont « traversables par la lumière » ^[26] ; le vide est donc un milieu transparent ;

     un milieu transparent est :
      $\;\succ \;$ « homogène » si les caractéristiques de la propagation $\;{\big (}$ c.-à-d. principalement sa célérité ${\big )}\;$ sont indépendantes du point considéré et
      $\;\succ \;$ « isotrope » si elles sont les mêmes quelle que soit la direction de propagation ;

un milieu transparent, homogène et isotrope sera noté M.T.H.I. ^[27], le vide étant un M.T.H.I. ^[27].

Définition de l'indice d'un milieu transparent homogène isotrope (M.T.H.I.)

Indice d'un M.T.H.I.

L'indice $\;n\;$ d'un M.T.H.I. ^[27] est une grandeur sans dimension caractérisant la célérité de propagation de l'onde lumineuse dans le milieu ;
il est définie selon « $\;n={\dfrac {c}{v}}\;$ » où « $\;v\;$ et $\;c\;$ » ^[28] sont respectivement la célérité de l'onde lumineuse dans le milieu et dans le vide.

La célérité d'une onde lumineuse étant maximale dans le vide, l'indice $\;n\;$ d'un M.T.H.I. ^[27] est toujours telle que « $\;n>1\;$ ».

Lien entre longueur d'onde dans le milieu et longueur d'onde dans le vide

La longueur d'onde $\;\lambda \;$ d'une onde progressive harmonique $\;{\big (}$ O.P.H. ${\big )}\;$ dans un M.T.H.I. ^[27] d'indice $\;n\;$ est la distance parcourue par l'onde dans le milieu pendant une période de vibration soit

«

\;\lambda =v\;T\;

» ou «

\;\lambda ={\dfrac {v}{f}}\;

» ^[29].

La longueur d'onde $\;\lambda _{0}\;$ d'une onde progressive harmonique $\;{\big (}$ O.P.H. ${\big )}\;$ dans le vide est la distance parcourue par l'onde dans le vide pendant une période de vibration soit

«

\;\lambda _{0}=c\;T\;

» ou «

\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{f}}\;

» ^[29].

De $\;n={\dfrac {c}{v}}\;$ on tire $\;v={\dfrac {c}{n}}$ , le report dans l'expression de $\;\lambda \;$ conduisant à $\;\lambda ={\dfrac {\dfrac {c}{n}}{f}}={\dfrac {1}{n}}\,{\dfrac {c}{f}}\;$ soit finalement

«

\;\lambda ={\dfrac {\lambda _{0}}{n}}\;

».

$\;n>1\;$ $\Rightarrow$ « $\;\lambda <\lambda _{0}\;$ », ce qu'on résume en disant que les M.T.H.I. ^[27] « tassent » les longueurs d'onde par rapport au vide.

Caractérisation de la couleur d'une onde par la longueur d'onde dans le vide

Par définition la couleur d'une $\;{\big (}$ O.P.H. ${\big )}\;$ ^[30] est caractérisée par sa fréquence mais les valeurs de fréquence du visible étant très grandes $\;{\big (}$ de l'ordre de quelques centaines de $\;THz\;$ ^[31] ${\big )}$ , on remplace la fréquence par la longueur d'onde dans le vide « $\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{f}}\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;f={\dfrac {c}{\lambda _{0}}}\;$ ».

À retenir

\rightsquigarrow

Domaine de longueurs d'onde dans le vide du visible

«

\;\lambda _{0,\,{\text{violet}}}=0,380\;\mu m<\lambda _{0}<\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}=0,780\;\mu m\;

» ^[32] ;

si $\;10\;nm=0,010\;\mu m<\lambda _{0}<\lambda _{0,\,{\text{violet}}}=0,380\;\mu m$ , l'onde monochromatique est du domaine des « ultraviolets » ;
si $\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}=0,780\;\mu m<\lambda _{0}<1000\;\mu m=1\;mm$ , l'onde monochromatique est du domaine des « infrarouges ».

Rappel : Un M.T.H.I. ^[27] est dit « dispersif » si la célérité de propagation en son milieu dépend de la fréquence ou de la longueur d'onde dans le vide de l'O.P.H. ^[30] considérée, il en est donc de même de l'indice du milieu c.-à-d. $\;n=n(\lambda _{0})\;$ ^[33], mais la variation de $\;n\;$ avec la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ est « toujours réduite » ^[34] ;
Rappel : le seul milieu non dispersif est le vide mais pour beaucoup de milieux la dispersion étant faible on la néglige en première approximation.

Approximation de l'optique géométrique, notion de rayon lumineux

Approximation de l'optique géométrique

Si on peut négliger les phénomènes de diffraction c.-à-d. si le diamètre $\;d\;$ des diaphragmes $\;{\big (}$ ou la largeur $\;d\;$ des fentes ${\big )}\;$ est grand devant la longueur d’onde soit $\;d\gg \lambda \;$ ^[35],
Si on peut négliger les phénomènes de diffraction concrètement $\;d\gtrsim 1000\;\lambda \;$ ^[36], on dit qu'on est dans l’« approximation de l'optique géométrique » ^[37].

Notion de rayon lumineux

Définition d'un faisceau lumineux

Coupe longitudinale d'un faisceau lumineux issu de la source ponctuelle $\;S\;$ et limité par le diaphragme circulaire $\;T$

Soit une source lumineuse ponctuelle $\;S\;$ émettant de la lumière dans un M.T.H.I. ^[27] et un diaphragme circulaire $\;T\;$ dont le centre $\;O\;$ est situé à une distance $\;r\;$ de $\;S$ , la section du diaphragme étant orthogonale à la direction $\;SO$ $\;{\big (}$ voir figure ci-contre à gauche ${\big )}$ ;
la pupille $\;T\;$ sélectionne, au-delà d'elle-même, une région du M.T.H.I. ^[27] dans laquelle la lumière se propage, cette région ainsi que celle située en-deçà de $\;T\;$ non arrêtée par la partie obscure du diaphragme est appelé « faisceau lumineux issu de $\;S\;$ et limité par $\;T\;$ » ^[38], l'angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {SO}}\,,\,{\overrightarrow {SP}}\right)}}\;$ où $\;P\;$ est le point générique du contour de $\;T$ , définit le « rayon angulaire d'ouverture du faisceau $\;{\big (}$ ou simplement demi-ouverture ${\big )}\;$ » ^[39].

Définition d'un pinceau lumineux

Si on réduit le diamètre $\;d\;$ du diaphragme en restant dans l'approximation de l'optique géométrique c.-à-d. en maintenant $\;d\gg \lambda \;$ ^[40], on constate que le rayon angulaire $\;\alpha \;$ d'ouverture du faisceau diminue, le « faisceau lumineux issu de $\;S\;$ et limité par $\;T\;$ » définissant alors un « pinceau lumineux issu de $\;S\;$ et limité par $\;T\;$ » si $\;\alpha \ll 1\;$ ^[41] $\;{\big (}$ voir figure ci-contre à droite ${\big )}$ .

Tentative de définition d'un rayon lumineux

« Le rayon lumineux $\;SO\;$ est la limite du pinceau lumineux issu de $\;S\;$ et limité par $\;T$ , quand on fait tendre son rayon angulaire d'ouverture vers zéro tout en négligeant la diffraction » $\;{\big \{}$ pour obtenir $\;\alpha \rightarrow 0$ , il faut $\;d\rightarrow 0\;$ ce qui est incompatible avec la condition d'absence de diffraction qui est $\;d\gtrsim 1000\;\lambda {\big \}}\;$ ^[42] ;
« le rayon lumineux $\;SO\;$ n'est que purement théorique », on ne peut l'isoler expérimentalement.

Lois fondamentales de l'optique géométrique dans un M.T.H.I.

Première loi : propagation rectiligne de la lumière

1^ère loi de l'optique géométrique : propagation rectiligne dans un milieu transparent homogène

On considère un faisceau lumineux issu de la source ponctuelle $\;S\;$ et limité par le diaphragme circulaire $\;T\;$ ${\big (}$ de diamètre $\;AB\;$ sur le schéma ci-contre ${\big )}\;$ et un écran situé au delà du diaphragme ;
on observe sur cet écran une tache lumineuse limitée par un bord net circulaire $\;{\big (}$ de diamètre $\;A'B'{\big )}\;$ correspondant à la section, par l'écran, d'un cône de révolution de sommet $\;S\;$ et dont les génératrices coupent le contour de $\;T$ , ceci mettant en évidence la propagation rectiligne de la lumière par l'identification du faisceau issu $\;S\;$ et limité par $\;T\;$ avec ce cône de révolution de sommet $\;S\;$ et de génératrices coupant le contour de $\;T$ .

1^{\text{ère}}

loi de l'optique géométrique : propagation rectiligne de la lumière

« Dans un M.T.H.I. ^[27], la lumière émise par une source ponctuelle $\;S\;$ se propage suivant les demi-droites issues de $\;S$ , correspondants aux rayons lumineux » ^[43].

Deuxième loi : indépendance des rayons lumineux

Utilisant le schéma du paragraphe « 1^ère loi : propagation rectiligne de la lumière » plus haut dans ce chapitre, on mesure l’éclairement lumineux au centre $\;C'\;$ de la tache et on constate qu'il reste constant quelle que soit l'ouverture du diaphragme $\;T$ $\;{\big \{}$ on peut avoir une 1^ère ouverture où le rayon $\;SD'\;$ arrive sur l’écran $\;{\big (}$ cas de la figure ${\big )}\;$ et une 2^ème où il serait arrêté par le diaphragme $\;{\big (}$ en diminuant $\;AB\;$ pour que le rayon $\;SD'\;$ n'existe donc plus dans la zone de l'écran ${\big )}$ , dans les deux cas l'éclairement associé au rayon $\;SC'\;$ étant le même, cela prouve que le rayon $\;SC'\;$ est indépendant du rayon $\;SD'$ .

2^{\text{ème}}

loi de l'optique géométrique : indépendance des rayons lumineux

« Dans un M.T.H.I. ^[27], chaque rayon d'un faisceau lumineux se propage comme s'il était seul ; la présence d'un diaphragme arrêtant certains rayons ne modifie pas l'éclairement lumineux transporté par les rayons non arrêtés ».
Corollaire : « Dans un M.T.H.I. ^[27], un faisceau lumineux issu de $\;S\;$ est un ensemble de rayons lumineux issus de $\;S\;$ et indépendants les uns des autres ».

Troisième loi : loi du retour inverse de la lumière

3^ème loi de l'optique géométrique : retour inverse de la lumière dans un milieu transparent

On peut inverser le sens de parcours de la lumière transportée par un faisceau cylindrique $\;{\big (}$ émis par exemple par un laser à gaz ${\big )}\;$ à l'aide d'un miroir plan $\;{\mathcal {M}}\;$ $\perp \;$ aux rayons ; on ne peut pas alors distinguer le faisceau réfléchi du faisceau incident.

3^{\text{ème}}

loi de l'optique géométrique : retour inverse de la lumière

« Dans un M.T.H.I. ^[27], le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours $-$ ainsi le rayon $\;AB\;$ joignant $\;A\;$ et $\;B\;$ dans le sens $\;{\big (}$ aller ${\big )}$ $\;A\rightarrow B\;$ et le rayon $\;BA\;$ joignant $\;B\;$ et $\;A\;$ dans le sens $\;{\big (}$ retour ${\big )}$ $\;B\rightarrow A\;$ sont superposables » ^[44].

Propagation dans un milieu transparent inhomogène

Dans les trois exemples cités ci-dessous, l'explication des observations nécessitant des notions de réfraction sera fournie au paragraphe « propagation dans un milieu transparent inhomogène » plus loin dans ce chapitre, la forme de la propagation dans un milieu hétérogène, l'explication nécessitant néanmoins d'attendre le paragraphe « retour sur la propagation dans un milieu inhomogène » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\ldots$

Propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée
Mirage chaud $\;{\big (}$ ou inférieur ${\big )}\;$ dû à un gradient de température d'air vertical descendant
Mirage froid $\;{\big (}$ ou supérieur ${\big )}\;$ dû à un gradient de température d'air vertical ascendant

1^er exemple $\;{\big (}$ ci-dessus à gauche ${\big )}\;$ « solution saline saturée non homogénéisée ^[45] » : on observe une déviation du faisceau cylindrique laser dans le sens croissant de l'indice $\;{\big (}$ l'indice d'une solution est une fonction croissante de la concentration des solutés dissous et ici la concentration en sel $\;\nearrow \;$ avec la profondeur, il en est de même de l'indice d'où une déviation vers le bas ${\big )}$ .

     2^ème et 3^ème exemples $\;{\big (}$ ci-dessus au centre et à droite ${\big )}\;$ « milieu dans lequel la température n'est pas constante » ^[46], mirage chaud $\;{\big (}$ ou inférieur ${\big )}\;$ dans un pays chaud et
          2^ème et 3^ème exemples $\;\color {transparent}{\big (}$ ci-dessus au centre et à droite $\color {transparent}{\big )}\;$ « milieu dans lequel la température n'est pas constante », mirage froid $\;{\big (}$ ou supérieur ${\big )}\;$ dans un pays froid ;
     2^ème et 3^ème exemples $\;\color {transparent}{\big (}$ ci-dessus au centre et à droite $\color {transparent}{\big )}\;$ l'indice de l'air est une fonction légèrement décroissante de la température selon : « $\;n_{\text{air}}(-20\,{\text{°C}})=1,00031\;$ », « $\;n_{\text{air}}(0\,{\text{°C}})=1,00029\;$ », « $\;n_{\text{air}}(20\,{\text{°C}})$ $=1,00027\;$ », « $\;n_{\text{air}}(40\,{\text{°C}})=1,00025\;$ » et « $\;n_{\text{air}}(60\,{\text{°C}})=1,00023\;$ » $\ldots$ ;
     2^ème et 3^ème exemples $\;\color {transparent}{\big (}$ ci-dessus au centre et à droite $\color {transparent}{\big )}\;$ dans l'exemple du mirage chaud $\;{\big (}$ voir ci-dessus au centre ${\big )}\;$ le rayon $\;(1)\;$ non dévié permet l'observation du palmier à sa position réelle, le rayon $\;(2)\;$ est dévié par les couches horizontales d'air à température différente et sa direction à l'arrivée sur l'œil de l'observateur est interprétée selon une propagation rectiligne $\;{\big (}$ seule direction de propagation intégrée par le cerveau ${\big )}\;$ comme venant du rayon fictif $\;(3)\;$ d'où l'image fictive dans le prolongement de ce rayon située au-dessous de l'image observée directement ;
     2^ème et 3^ème exemples $\;\color {transparent}{\big (}$ ci-dessus au centre et à droite $\color {transparent}{\big )}\;$ dans l'exemple du mirage froid $\;{\big (}$ voir ci-dessus à droite ${\big )}\;$ le rayon $\;(1)\;$ non dévié permet l'observation du mont glacé à sa position réelle, le rayon $\;(2)\;$ est dévié par les couches horizontales d'air à température différente et sa direction à l'arrivée sur l'œil de l'observateur est interprétée selon une propagation rectiligne $\;{\big (}$ seule direction de propagation intégrée par le cerveau ${\big )}\;$ comme venant du rayon fictif $\;(3)\;$ d'où l'image fictive dans le prolongement de ce rayon située au-dessus de l'image réelle observée directement.

Notes et références

↑ Les lampes à haute pression fournissent un rayonnement intense correspondant à un fond continu surmonté d'un grand nombre de raies ; on les appelle encore « lampes à arc » $\;{\big (}$ comme exemple « les lampes au mercure » et surtout « celles au xénon » fournissant un spectre voisin de celui du Soleil ${\big )}$ .
↑ Basse Pression.
↑ Ce sont celles que l'on utilise en Travaux pratiques.
↑ La théorie de l’émission induite est due à Einstein en $\;1917$ ;
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et de la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
↑ Voir le paragraphe « notion de trains d'onde » plus bas dans ce chapitre.
↑ Élaboré en $\;1950\;$ par Alfred Kastler (1902 - 1984) physicien français, prix Nobel de physique en $\;1966\;$ « pour la découverte et le développement de méthodes optiques pour l'étude des résonances hertziennes dans les atomes ».
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 et ^8,4 Longueur d'onde $\;{\big (}$ sous-entendu « dans le vide » ${\big )}$ .
↑ Noté $\;2\,^{1}S_{0}\;$ sur la figure ;
    $\;\succ \;$ quand un électron de l'hélium passe de son état fondamental $\;1s\;$ à un 1^er état excité $\;2s$ , l'énergie qu'il acquiert dépend de l'état quantique de l'atome : l'écriture $\;2S\;$ a la même signification que $\;2s\;$ mais pour l'atome complet $\;{\big (}$ plus précisément le nombre quantique caractérisant le moment cinétique orbital total est nul ${\big )}$ ,
    $\;\succ \;$ le chiffre en exposant à gauche de $\;S\;$ est $\;2\,S_{s}+1\;$ avec $\;S_{s}\;$ le nombre quantique caractérisant le spin électronique total de l'atome, ainsi $^{1}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=0\;$ état singlet et $^{3}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=1\;$ état triplet, enfin
    $\;\succ \;$ le chiffre en indice à droite de $\;S\;$ est $\;L\;$ le nombre quantique caractérisant le moment cinétique électronique total de l'atome, ainsi $\;S_{0}\;$ correspond à $\;L=0\;$ et $\;S_{1}\;$ correspond à $\;L=1\;$ $\dots$
   Ceci n'étant qu'un « survol à très haute altitude » des notions relatives à l'addition des moments cinétiques ou de spins ou des deux entre eux.
↑ Il existe d'autres transitions possibles, notamment une seconde dans le vert à $\;543,5\;nm\;$ ${\big (}$ non représentée sur le diagramme, correspondant également à une transition $\;5s\,\rightarrow \,3p\;$ du Néon $\;Ne\;$ mais le niveau $\;3p\;$ de cette transition est d'énergie légèrement supérieure à celle du niveau $\;3p\;$ de la transition de longueur d'onde $\;632,8\;nm$ , le niveau $\;3p\;$ étant en réalité dégénéré ${\big )}$ ;
suivant les transitions, avec le laser $\;He-Ne$ , on peut donc observer les longueurs d’onde dans le vide $\;632,8\;nm\;$ et $\;543,5\;nm$ , mais aussi $\;1523,0\;nm\;$ et $\;3391,2\;nm\;$ ${\big (}$ ces dernières étant du domaine des infrarouges ${\big )}$ ; toutefois la radiation de longueur d’onde $\;632,8\;nm\;$ est la plus couramment utilisée dans les lasers en particulier ceux destinés aux expériences en optique visible.
↑ L'électroluminescence est l'émission de lumière par un corps lorsque ce dernier est traversé par un courant.
↑ À savoir les porteurs $\;n\;$ $\;{\big (}$ ou électrons de conduction ${\big )}\;$ du semi-conducteur dopé $\;N\;$ vers le semi-conducteur dopé $\;P\;$ et les porteurs $\;p\;$ $\;{\big (}$ ou trous ${\big )}\;$ du semi-conducteur dopé $\;P\;$ vers le semi-conducteur dopé $\;N$ , correspondant au sens de courant dans un récepteur ;
pour la notion de « trou dans un semi conducteur extrinsèque » voir le paragraphe « notion de conducteur, isolant, semi conducteur » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ On rappelle qu'un trou est une particule fictive positive couvrant un électron de valence également fictif pour modéliser l'absence d'électron de valence, il est donc normal que les trous se trouvent dans la bande de valence.
↑ Un mécanisme est dit « microscopique » quand il se produit au niveau des atomes ; les deux autres types de mécanisme possible étant un mécanisme « mésoscopique » entre éléments de dimension de l'ordre du $\;\mu m\;$ pouvant aller jusqu'au $\;mm\;$ ${\big (}$ infiniment grand à l'échelle particulaire et allant de l'infiniment petit au simplement petit de l'échelle humaine ${\big )}\;$ et un mécanisme « macroscopique » entre systèmes d'échelle humaine, par exemple de dimension au moins de l'ordre du $\;cm$ .
↑ Par exemple, dans une lampe à filament, c'est un apport d'énergie électrique qui crée une énergie cinétique d'agitation des atomes, laquelle réalise quelques excitations d'atomes $\ldots$
   Par exemple, dans une lampe à filament, énergie électrique au niveau macroscopique de la lampe $\Rightarrow$ énergie thermique au niveau mésoscopique des atomes de la lampe $\;{\big (}$ somme d'énergie cinétique microscopique de chaque atome ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ énergie potentielle d'un électron de valence au niveau microscopique d'un atome $\Rightarrow$ énergie lumineuse de désexcitation $\;{\big (}$ c.-à-d. celle d'un photon équivalent à une onde lumineuse progressive ${\big )}\;$ au niveau microscopique d'un atome $\ldots$
   Par exemple, dans une lampe à filament, on définit ainsi une suite de conversion d'énergie pour chaque type de source ;
   Par exemple, dans une étoile, l'apport d'énergie n'est pas extérieur mais interne, c'est l'énergie cinétique d'agitation des noyaux qui permet, aux plus énergétiques, de fusionner en libérant de l'énergie nucléaire $\;{\big (}$ sous forme particulaire et cinétique ${\big )}$ .
↑ ^16,0 et ^16,1 Dans une étoile, les atomes n'existent pas, la matière est sous forme de « plasma », c.-à-d. que les noyaux et les électrons sont séparés, l'apport d'énergie interne $\;{\big (}$ voir la note « ¹⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}\;$ permet d'une part aux noyaux de se désexciter en libérant de l'énergie $\;{\big (}$ les ondes ainsi émises étant de fréquence de $\;10^{3}\;$ à $\;10^{6}\;$ fois plus grande que celles émises par la désexcitation d'électrons ne sont pas du domaine optique ${\big )}\;$ et d'autre part aux électrons $\;{\big (}$ libres à l'intérieur de l'étoile ${\big )}\;$ de perdre de l'énergie cinétique par émission d'un photon du domaine visible $\;{\big (}$ ou non visible proche ${\big )}\;$ de l'optique $\;{\big \{}$ émission analogue à celui du « rayonnement du corps noir » $\Rightarrow$ un corps porté à une température $\;T\;$ ${\big (}$ caractérisant l'énergie cinétique moyenne d'agitation ${\big )}\;$ émet des ondes lumineuses dont les fréquences sont situées dans un intervalle dépendant de $\;T\;$ et caractéristique de cette dernière ${\big \}}$ .
↑ Ou niveau d'énergie fondamental.
↑ Ou son équivalent particulaire « le photon ».
↑ Cela signifie que chaque source microscopique étant émettrice de trains d'onde individuels, la source ponctuelle, superposition de toutes les sources microscopiques, sera émettrice d'un signal qui sera la somme de tous les trains d'onde de toutes les sources microscopiques ;
de façon plus générale, si un système $\;(\Sigma )\;$ est la réunion de sous-systèmes $\;(\Sigma _{i})\;$ c.-à-d. si $\;(\Sigma )=\bigcup _{i=1..N}(\Sigma _{i})\;$ et si chaque sous-système $\;(\Sigma _{i})\;$ engendre une grandeur $\;{\big (}$ additive ${\big )}$ $\;{\mathfrak {p}}_{i}$ , alors le système $\;(\Sigma )\;$ engendrera la grandeur $\;\sum \limits _{i=1..N}{\mathfrak {p}}_{i}$ .
↑ Ce qui correspond à une émission non simultanée de tous les trains d'onde émis par les sources microscopiques de l'expansion tridimensionnelle mésoscopique élémentaire centré en $\;S$ ; si on adopte le modèle vectoriel du signal, il faut ajouter que la polarisation du champ électrique est rectiligne mais également aléatoire d'où en moyenne une absence de polarisation.
↑ Le signal résultant associé à la source ponctuelle $\;S\;$ étant une somme de signaux sinusoïdaux de même fréquence $\;{\big (}$ mais limités dans le temps ${\big )}\;$ est aussi un signal sinusoïdal de même fréquence et limité dans le temps donc un train d'onde de même fréquence dont la phase initiale dépend de la répartition des phases initiales des trains d'onde microscopiques ;
   nous pouvons en déduire la moyenne des trains d'onde microscopiques défini sur les $\;N\;$ atomes excités de la source ponctuelle $\;{\big (}N\;$ variant avec le temps ${\big )}$ ,
   nous pouvons en déduire la « moyenne d'une grandeur $\;g\;$ définie sur un échantillon de $\;N\;$ entités » étant « $\;\left\langle g\right\rangle _{N}=$ ${\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(N_{i}\,g_{i}\right)}{N}}\;$ » $\;{\big \{}$ où $\;N\;$ est le nombre total de valeurs de $\;g_{i}$ $\;{\big (}$ répétées ou non ${\big )}$ , $\;N_{i}\;$ étant le « poids statistique » ou la « fréquence » de $\;g_{i}\;$ dans la suite de valeurs ${\big \}}\;$ est indépendante du nombre $\;N\;$ si ce dernier est grand $\;{\big (}$ résultat déduit de l'application de la « loi des grands nombres » ${\big )}\;$ et peut donc s'écrire « $\;\left\langle g\right\rangle ={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(N_{i}\,g_{i}\right)}{N}}\;$ » d'où
   nous pouvons en déduire la moyenne des trains d'onde microscopiques s'obtient en divisant le train d'onde associé à la source ponctuelle par le nombre d'atomes excités.
↑ Cette durée égale à la durée des trains d'onde microscopiques est de même ordre de grandeur que la durée entre deux chocs successifs entre atomes excités ; elle dépend donc de la température $\;{\big (}$ quand $\;T\nearrow$ , $\;\tau _{c}\searrow {\big )}\;$ et aussi de la pression $\;{\big (}$ quand $\;p\nearrow$ , $\;\tau _{c}\searrow {\big )}$ .
↑ Source ponctuelle car les dimensions de la source sont de l'ordre du $mm$ et monochromatique car les trains d'onde microscopiques sont tous de même fréquence.
↑ Voir le paragraphe « divergence d'un faisceau laser » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ On ne peut donc pas réaliser d'interférences en un point $\;M\;$ recevant les trains d'onde provenant de deux sources ponctuelles composantes de la source étendue car leur déphasage est aléatoire ;
   en effet, d'une part, sur une durée $\;\tau _{c}\simeq 10^{-8}\;s\;$ des trains d'onde émis par deux sources ponctuelles, l'amplitude résultante s'écrit $\;{\mathcal {A}}=$ ${\sqrt {{\mathcal {A}}_{1}^{2}+{\mathcal {A}}_{2}^{2}+2\,{\mathcal {A}}_{1}\,{\mathcal {A}}_{2}\,\cos(\Delta \varphi )}}\;$ ${\big [}$ revoir le paragraphe « traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ avec $\;\Delta \varphi \;$ aléatoire et,
   en effet, d'autre part, sur le temps de réponse d'un photorécepteur sensible à l'éclairement, avec $\;{\mathcal {E}}=K\,\left\langle {\mathcal {A}}^{2}\right\rangle =$ $K\left\langle {\mathcal {A}}_{1}^{2}+{\mathcal {A}}_{2}^{2}+2\,{\mathcal {A}}_{1}\,{\mathcal {A}}_{2}\,\cos(\Delta \varphi )\right\rangle \;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ , la moyenne étant faite sur le temps de réponse du photorécepteur, soit encore, l'éclairement dû à l'interférence de ces deux sources ponctuelles $\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}+2\,{\sqrt {{\mathcal {E}}_{1}\,{\mathcal {E}}_{2}}}\left\langle \cos(\Delta \varphi )\right\rangle \;$ dans lequel $\;{\mathcal {E}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {E}}_{2}\;$ sont respectivement les éclairements de chaque source ponctuelle,
   en effet, enfin, du fait que $\;\Delta \varphi \;$ est aléatoire sur le temps de réponse du photorécepteur et que la moyenne d'un cosinus d'angle aléatoire est nulle, nous en déduisons $\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\;$ c.-à-d. que
   en effet, enfin, l'éclairement dû à deux sources ponctuelles quelconques d'une source étendue monochromatique est toujours la somme des éclairements sans terme d'interférence.
↑ Le contraire de « transparent » est « opaque ».
↑ ^27,00 ^27,01 ^27,02 ^27,03 ^27,04 ^27,05 ^27,06 ^27,07 ^27,08 ^27,09 ^27,10 ^27,11 et ^27,12 Milieu Transparent Homogène Isotrope.
↑ On rappelle que « $\;c\simeq 3\;10^{8}\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$ ».
↑ ^29,0 et ^29,1 $\;f\;$ étant la fréquence de l'onde.
↑ ^30,0 et ^30,1 Onde Progressive Harmonique.
↑ $1\;THz=10^{12}\;Hz\;$ voir aussi « Préfixes courants du système international d'unités ».
↑ C'est ce qui est à retenir, ces valeurs permettant alors de retrouver les fréquences correspondantes ; par exemple :
$\;\lambda _{0,\,{\text{violet}}}=0,380\;\mu m\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{\text{violet}}={\dfrac {c}{\lambda _{0,\,{\text{violet}}}}}\simeq {\dfrac {3\;10^{8}}{0,380\;10^{-6}}}\simeq 7,89\;10^{14}\;Hz\simeq 790\;THz\;$ ou
$\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}=0,780\;\mu m\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{\text{violet}}={\dfrac {c}{\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}}}\simeq {\dfrac {3\;10^{8}}{0,780\;10^{-6}}}\simeq 3,85\;10^{14}\;Hz\simeq 390\;THz$ .
↑ Plus précisément l'indice est une fonction $\;\searrow \;$ de la longueur d'onde dans le vide $\;n_{\text{rouge}}<n_{\text{violet}}\;$ car $\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}>\lambda _{0,\,{\text{violet}}}$ , sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy $\;n=A+{\dfrac {B}{\lambda _{0}^{2}}}\;$ où $\;A\;$ et $\;B\;$ sont des constantes caractéristiques du milieu, la 1^ère constante sans dimension et la 2^nde homogène à une surface ;
   le caractère plus ou moins dispersif du milieu se quantifie par sa constringence $\;{\big (}$ ou nombre d'Abbe ${\big )}\;$ « $\;\nu _{D}=$ ${\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\;$ » où les indices $_{C}$ , $_{D}$ et $_{F}$ représentent respectivement les couleurs « rouge $\;\lambda _{0,\,C}=$ $0,6563\;\mu m\;$ ${\big (}$ raie $\;C\;$ de l'hydrogène ${\big )}\;$ », « jaune $\;\lambda _{0,\,D}=0,5893\;\mu m\;$ ${\big (}$ raie $\;D\;$ du sodium ${\big )}\;$ » et « bleu $\;\lambda _{0,\,F}=0,4861\;\mu m\;$ ${\big (}$ raie $\;F\;$ de l'hydrogène ${\big )}\;$ » ;
   plus le milieu est dispersif, plus sa constringence $\;{\big (}$ ou nombre d'Abbe ${\big )}\;$ est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie.
   Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.
   Ernst Karl Abbe (1840 - 1905) physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée condition des sinus d'Abbe.
↑ Par exemple les verres ; on peut classer les verres en deux catégories les « crown » $\;{\big (}$ à base de silicate de potassium et de calcium ${\big )}\;$ à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif $\;{\big (}n_{D}\simeq 1,52\;$ et $\;50\lesssim \nu _{D}\lesssim 80$ , exemple de crown utilisé pour les télescopes $\;n_{\text{rouge}}=1,525\;$ et $\;n_{\text{violet}}=1,550{\big )}\;$ et
Par exemple les verres ; on peut classer les verres en deux catégories les « flint » $\;{\big (}$ à base de silicate de potassium et de plomb ${\big )}\;$ à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif $\;{\big (}1,50\lesssim n_{D}\lesssim 2,00\;$ et $\;\nu _{D}\lesssim 50$ , exemple de flint $\;n_{\text{rouge}}=1,608\;$ et $\;n_{\text{violet}}=1,660{\big )}$ .
↑ Ou encore si le diamètre $\;{\big (}$ ou la largeur ${\big )}\;$ des obstacles est grand devant la longueur d'onde.
↑ Donc si le diamètre $\;{\big (}$ ou la largeur ${\big )}\;$ des pupilles ou obstacles est supérieure au $\;mm$ .
↑ Ainsi l’optique ondulatoire tend vers l’optique géométrique quand les dimensions des pupilles ou objets deviennent très grandes par rapport aux longueurs d’onde.
↑ Expérimentalement on constate que le faisceau lumineux issu de $\;S\;$ et limité par $\;T\;$ est un « cône de lumière de sommet $\;S\;$ et dont la surface latérale s'appuie sur le contour de $\;T\;$ », ceci étant une conséquence de la 1^ère loi de l'optique géométrique énoncée ci-après dans les M.T.H.I. « la propagation rectiligne de la lumière ».
↑ C'est en fait le demi-angle au sommet du cône précédemment cité.
↑ Les phénomènes de diffraction sont alors négligeables et le « faisceau reste un cône de sommet $\;S\;$ et dont la surface latérale s'appuie sur le contour de $\;T\;$ ».
↑ Si on travaille à $\;1\,\%\;$ près, la condition $\;\alpha \ll 1\;$ devient $\;\alpha <10^{-1}\;rad\;$ soit $\;\alpha <6\,{\text{°}}$ , en effet c'est essentiellement la fonction trigonométrique $\;\sin(\alpha )\;$ qui doit être confondue avec $\;\alpha \;$ et ceci est réalisé si $\;\alpha <10^{-1}\;rad$ .
↑ Continuer à négliger la diffraction en faisant tendre le rayon d'ouverture vers $\;0\;$ est donc purement hypothétique, non réalisable en pratique $\ldots$
↑ La propagation rectiligne n'est applicable que dans un milieu transparent « homogène », nous verrons, dans le paragraphe « propagation dans un milieu transparent inhomogène » plus loin dans ce chapitre, la forme de la propagation dans un milieu hétérogène, l'explication nécessitant néanmoins d'attendre le paragraphe « retour sur la propagation dans un milieu inhomogène » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Cette loi ne nécessite que le caractère transparent du milieu, ce dernier n'a pas besoin d'être homogène mais dans ces conditions la propagation n'est plus rectiligne.
↑ La concentration en sel n'y est donc pas constante.
↑ L'indice d'un milieu dépendant de la température, si celle-ci n'est pas constante il en est de même de l'indice.

Signaux physiques (PCSI)

Propag. d'un signal : Polaris. rect. de la lum., loi de Malus

Opt. géom. : réflex., réfrac., lois de Descartes

[1] Les lampes à haute pression fournissent un rayonnement intense correspondant à un fond continu surmonté d'un grand nombre de raies ; on les appelle encore « lampes à arc » $\;{\big (}$ comme exemple « les lampes au mercure » et surtout « celles au xénon » fournissant un spectre voisin de celui du Soleil ${\big )}$ .

[B.P.-2] Basse Pression.

[3] Ce sont celles que l'on utilise en Travaux pratiques.

[4] La théorie de l’émission induite est due à Einstein en $\;1917$ ;
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et de la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[Planck-5] Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .

[6] Voir le paragraphe « notion de trains d'onde » plus bas dans ce chapitre.

[Kastler-7] Élaboré en $\;1950\;$ par Alfred Kastler (1902 - 1984) physicien français, prix Nobel de physique en $\;1966\;$ « pour la découverte et le développement de méthodes optiques pour l'étude des résonances hertziennes dans les atomes ».

[Longueurs_d'onde-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 et ^8,4 Longueur d'onde $\;{\big (}$ sous-entendu « dans le vide » ${\big )}$ .

[9] Noté $\;2\,^{1}S_{0}\;$ sur la figure ;
$\;\succ \;$ quand un électron de l'hélium passe de son état fondamental $\;1s\;$ à un 1^er état excité $\;2s$ , l'énergie qu'il acquiert dépend de l'état quantique de l'atome : l'écriture $\;2S\;$ a la même signification que $\;2s\;$ mais pour l'atome complet $\;{\big (}$ plus précisément le nombre quantique caractérisant le moment cinétique orbital total est nul ${\big )}$ ,
$\;\succ \;$ le chiffre en exposant à gauche de $\;S\;$ est $\;2\,S_{s}+1\;$ avec $\;S_{s}\;$ le nombre quantique caractérisant le spin électronique total de l'atome, ainsi $^{1}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=0\;$ état singlet et $^{3}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=1\;$ état triplet, enfin
$\;\succ \;$ le chiffre en indice à droite de $\;S\;$ est $\;L\;$ le nombre quantique caractérisant le moment cinétique électronique total de l'atome, ainsi $\;S_{0}\;$ correspond à $\;L=0\;$ et $\;S_{1}\;$ correspond à $\;L=1\;$ $\dots$
Ceci n'étant qu'un « survol à très haute altitude » des notions relatives à l'addition des moments cinétiques ou de spins ou des deux entre eux.

[10] Il existe d'autres transitions possibles, notamment une seconde dans le vert à $\;543,5\;nm\;$ ${\big (}$ non représentée sur le diagramme, correspondant également à une transition $\;5s\,\rightarrow \,3p\;$ du Néon $\;Ne\;$ mais le niveau $\;3p\;$ de cette transition est d'énergie légèrement supérieure à celle du niveau $\;3p\;$ de la transition de longueur d'onde $\;632,8\;nm$ , le niveau $\;3p\;$ étant en réalité dégénéré ${\big )}$ ;
suivant les transitions, avec le laser $\;He-Ne$ , on peut donc observer les longueurs d’onde dans le vide $\;632,8\;nm\;$ et $\;543,5\;nm$ , mais aussi $\;1523,0\;nm\;$ et $\;3391,2\;nm\;$ ${\big (}$ ces dernières étant du domaine des infrarouges ${\big )}$ ; toutefois la radiation de longueur d’onde $\;632,8\;nm\;$ est la plus couramment utilisée dans les lasers en particulier ceux destinés aux expériences en optique visible.

[11] L'électroluminescence est l'émission de lumière par un corps lorsque ce dernier est traversé par un courant.

[12] À savoir les porteurs $\;n\;$ $\;{\big (}$ ou électrons de conduction ${\big )}\;$ du semi-conducteur dopé $\;N\;$ vers le semi-conducteur dopé $\;P\;$ et les porteurs $\;p\;$ $\;{\big (}$ ou trous ${\big )}\;$ du semi-conducteur dopé $\;P\;$ vers le semi-conducteur dopé $\;N$ , correspondant au sens de courant dans un récepteur ;
pour la notion de « trou dans un semi conducteur extrinsèque » voir le paragraphe « notion de conducteur, isolant, semi conducteur » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[13] On rappelle qu'un trou est une particule fictive positive couvrant un électron de valence également fictif pour modéliser l'absence d'électron de valence, il est donc normal que les trous se trouvent dans la bande de valence.

[14] Un mécanisme est dit « microscopique » quand il se produit au niveau des atomes ; les deux autres types de mécanisme possible étant un mécanisme « mésoscopique » entre éléments de dimension de l'ordre du $\;\mu m\;$ pouvant aller jusqu'au $\;mm\;$ ${\big (}$ infiniment grand à l'échelle particulaire et allant de l'infiniment petit au simplement petit de l'échelle humaine ${\big )}\;$ et un mécanisme « macroscopique » entre systèmes d'échelle humaine, par exemple de dimension au moins de l'ordre du $\;cm$ .

[15] Par exemple, dans une lampe à filament, c'est un apport d'énergie électrique qui crée une énergie cinétique d'agitation des atomes, laquelle réalise quelques excitations d'atomes $\ldots$
Par exemple, dans une lampe à filament, énergie électrique au niveau macroscopique de la lampe $\Rightarrow$ énergie thermique au niveau mésoscopique des atomes de la lampe $\;{\big (}$ somme d'énergie cinétique microscopique de chaque atome ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ énergie potentielle d'un électron de valence au niveau microscopique d'un atome $\Rightarrow$ énergie lumineuse de désexcitation $\;{\big (}$ c.-à-d. celle d'un photon équivalent à une onde lumineuse progressive ${\big )}\;$ au niveau microscopique d'un atome $\ldots$
Par exemple, dans une lampe à filament, on définit ainsi une suite de conversion d'énergie pour chaque type de source ;
Par exemple, dans une étoile, l'apport d'énergie n'est pas extérieur mais interne, c'est l'énergie cinétique d'agitation des noyaux qui permet, aux plus énergétiques, de fusionner en libérant de l'énergie nucléaire $\;{\big (}$ sous forme particulaire et cinétique ${\big )}$ .

[atomes_dans_étoiles-16] 16,0 et ^16,1 Dans une étoile, les atomes n'existent pas, la matière est sous forme de « plasma », c.-à-d. que les noyaux et les électrons sont séparés, l'apport d'énergie interne $\;{\big (}$ voir la note « ¹⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}\;$ permet d'une part aux noyaux de se désexciter en libérant de l'énergie $\;{\big (}$ les ondes ainsi émises étant de fréquence de $\;10^{3}\;$ à $\;10^{6}\;$ fois plus grande que celles émises par la désexcitation d'électrons ne sont pas du domaine optique ${\big )}\;$ et d'autre part aux électrons $\;{\big (}$ libres à l'intérieur de l'étoile ${\big )}\;$ de perdre de l'énergie cinétique par émission d'un photon du domaine visible $\;{\big (}$ ou non visible proche ${\big )}\;$ de l'optique $\;{\big \{}$ émission analogue à celui du « rayonnement du corps noir » $\Rightarrow$ un corps porté à une température $\;T\;$ ${\big (}$ caractérisant l'énergie cinétique moyenne d'agitation ${\big )}\;$ émet des ondes lumineuses dont les fréquences sont situées dans un intervalle dépendant de $\;T\;$ et caractéristique de cette dernière ${\big \}}$ .

[17] Ou niveau d'énergie fondamental.

[18] Ou son équivalent particulaire « le photon ».

[19] Cela signifie que chaque source microscopique étant émettrice de trains d'onde individuels, la source ponctuelle, superposition de toutes les sources microscopiques, sera émettrice d'un signal qui sera la somme de tous les trains d'onde de toutes les sources microscopiques ;
de façon plus générale, si un système $\;(\Sigma )\;$ est la réunion de sous-systèmes $\;(\Sigma _{i})\;$ c.-à-d. si $\;(\Sigma )=\bigcup _{i=1..N}(\Sigma _{i})\;$ et si chaque sous-système $\;(\Sigma _{i})\;$ engendre une grandeur $\;{\big (}$ additive ${\big )}$ $\;{\mathfrak {p}}_{i}$ , alors le système $\;(\Sigma )\;$ engendrera la grandeur $\;\sum \limits _{i=1..N}{\mathfrak {p}}_{i}$ .

[20] Ce qui correspond à une émission non simultanée de tous les trains d'onde émis par les sources microscopiques de l'expansion tridimensionnelle mésoscopique élémentaire centré en $\;S$ ; si on adopte le modèle vectoriel du signal, il faut ajouter que la polarisation du champ électrique est rectiligne mais également aléatoire d'où en moyenne une absence de polarisation.

[21] Le signal résultant associé à la source ponctuelle $\;S\;$ étant une somme de signaux sinusoïdaux de même fréquence $\;{\big (}$ mais limités dans le temps ${\big )}\;$ est aussi un signal sinusoïdal de même fréquence et limité dans le temps donc un train d'onde de même fréquence dont la phase initiale dépend de la répartition des phases initiales des trains d'onde microscopiques ;
nous pouvons en déduire la moyenne des trains d'onde microscopiques défini sur les $\;N\;$ atomes excités de la source ponctuelle $\;{\big (}N\;$ variant avec le temps ${\big )}$ ,
nous pouvons en déduire la « moyenne d'une grandeur $\;g\;$ définie sur un échantillon de $\;N\;$ entités » étant « $\;\left\langle g\right\rangle _{N}=$ ${\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(N_{i}\,g_{i}\right)}{N}}\;$ » $\;{\big \{}$ où $\;N\;$ est le nombre total de valeurs de $\;g_{i}$ $\;{\big (}$ répétées ou non ${\big )}$ , $\;N_{i}\;$ étant le « poids statistique » ou la « fréquence » de $\;g_{i}\;$ dans la suite de valeurs ${\big \}}\;$ est indépendante du nombre $\;N\;$ si ce dernier est grand $\;{\big (}$ résultat déduit de l'application de la « loi des grands nombres » ${\big )}\;$ et peut donc s'écrire « $\;\left\langle g\right\rangle ={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(N_{i}\,g_{i}\right)}{N}}\;$ » d'où
nous pouvons en déduire la moyenne des trains d'onde microscopiques s'obtient en divisant le train d'onde associé à la source ponctuelle par le nombre d'atomes excités.

[22] Cette durée égale à la durée des trains d'onde microscopiques est de même ordre de grandeur que la durée entre deux chocs successifs entre atomes excités ; elle dépend donc de la température $\;{\big (}$ quand $\;T\nearrow$ , $\;\tau _{c}\searrow {\big )}\;$ et aussi de la pression $\;{\big (}$ quand $\;p\nearrow$ , $\;\tau _{c}\searrow {\big )}$ .

[23] Source ponctuelle car les dimensions de la source sont de l'ordre du $mm$ et monochromatique car les trains d'onde microscopiques sont tous de même fréquence.

[divergence_d'un_faisceau_laser-24] Voir le paragraphe « divergence d'un faisceau laser » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[25] On ne peut donc pas réaliser d'interférences en un point $\;M\;$ recevant les trains d'onde provenant de deux sources ponctuelles composantes de la source étendue car leur déphasage est aléatoire ;
en effet, d'une part, sur une durée $\;\tau _{c}\simeq 10^{-8}\;s\;$ des trains d'onde émis par deux sources ponctuelles, l'amplitude résultante s'écrit $\;{\mathcal {A}}=$ ${\sqrt {{\mathcal {A}}_{1}^{2}+{\mathcal {A}}_{2}^{2}+2\,{\mathcal {A}}_{1}\,{\mathcal {A}}_{2}\,\cos(\Delta \varphi )}}\;$ ${\big [}$ revoir le paragraphe « traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ avec $\;\Delta \varphi \;$ aléatoire et,
en effet, d'autre part, sur le temps de réponse d'un photorécepteur sensible à l'éclairement, avec $\;{\mathcal {E}}=K\,\left\langle {\mathcal {A}}^{2}\right\rangle =$ $K\left\langle {\mathcal {A}}_{1}^{2}+{\mathcal {A}}_{2}^{2}+2\,{\mathcal {A}}_{1}\,{\mathcal {A}}_{2}\,\cos(\Delta \varphi )\right\rangle \;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ , la moyenne étant faite sur le temps de réponse du photorécepteur, soit encore, l'éclairement dû à l'interférence de ces deux sources ponctuelles $\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}+2\,{\sqrt {{\mathcal {E}}_{1}\,{\mathcal {E}}_{2}}}\left\langle \cos(\Delta \varphi )\right\rangle \;$ dans lequel $\;{\mathcal {E}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {E}}_{2}\;$ sont respectivement les éclairements de chaque source ponctuelle,
en effet, enfin, du fait que $\;\Delta \varphi \;$ est aléatoire sur le temps de réponse du photorécepteur et que la moyenne d'un cosinus d'angle aléatoire est nulle, nous en déduisons $\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\;$ c.-à-d. que
en effet, enfin, l'éclairement dû à deux sources ponctuelles quelconques d'une source étendue monochromatique est toujours la somme des éclairements sans terme d'interférence.

[26] Le contraire de « transparent » est « opaque ».

[M.T.H.I.-27] 27,00 ^27,01 ^27,02 ^27,03 ^27,04 ^27,05 ^27,06 ^27,07 ^27,08 ^27,09 ^27,10 ^27,11 et ^27,12 Milieu Transparent Homogène Isotrope.

[28] On rappelle que « $\;c\simeq 3\;10^{8}\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$ ».

[fréquence-29] 29,0 et ^29,1 $\;f\;$ étant la fréquence de l'onde.

[O.P.H.-30] 30,0 et ^30,1 Onde Progressive Harmonique.

[31] $1\;THz=10^{12}\;Hz\;$ voir aussi « Préfixes courants du système international d'unités ».

[32] C'est ce qui est à retenir, ces valeurs permettant alors de retrouver les fréquences correspondantes ; par exemple :
$\;\lambda _{0,\,{\text{violet}}}=0,380\;\mu m\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{\text{violet}}={\dfrac {c}{\lambda _{0,\,{\text{violet}}}}}\simeq {\dfrac {3\;10^{8}}{0,380\;10^{-6}}}\simeq 7,89\;10^{14}\;Hz\simeq 790\;THz\;$ ou
$\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}=0,780\;\mu m\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{\text{violet}}={\dfrac {c}{\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}}}\simeq {\dfrac {3\;10^{8}}{0,780\;10^{-6}}}\simeq 3,85\;10^{14}\;Hz\simeq 390\;THz$ .

[33] Plus précisément l'indice est une fonction $\;\searrow \;$ de la longueur d'onde dans le vide $\;n_{\text{rouge}}<n_{\text{violet}}\;$ car $\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}>\lambda _{0,\,{\text{violet}}}$ , sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy $\;n=A+{\dfrac {B}{\lambda _{0}^{2}}}\;$ où $\;A\;$ et $\;B\;$ sont des constantes caractéristiques du milieu, la 1^ère constante sans dimension et la 2^nde homogène à une surface ;
le caractère plus ou moins dispersif du milieu se quantifie par sa constringence $\;{\big (}$ ou nombre d'Abbe ${\big )}\;$ « $\;\nu _{D}=$ ${\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\;$ » où les indices $_{C}$ , $_{D}$ et $_{F}$ représentent respectivement les couleurs « rouge $\;\lambda _{0,\,C}=$ $0,6563\;\mu m\;$ ${\big (}$ raie $\;C\;$ de l'hydrogène ${\big )}\;$ », « jaune $\;\lambda _{0,\,D}=0,5893\;\mu m\;$ ${\big (}$ raie $\;D\;$ du sodium ${\big )}\;$ » et « bleu $\;\lambda _{0,\,F}=0,4861\;\mu m\;$ ${\big (}$ raie $\;F\;$ de l'hydrogène ${\big )}\;$ » ;
plus le milieu est dispersif, plus sa constringence $\;{\big (}$ ou nombre d'Abbe ${\big )}\;$ est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie.
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.
Ernst Karl Abbe (1840 - 1905) physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée condition des sinus d'Abbe.

[34] Par exemple les verres ; on peut classer les verres en deux catégories les « crown » $\;{\big (}$ à base de silicate de potassium et de calcium ${\big )}\;$ à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif $\;{\big (}n_{D}\simeq 1,52\;$ et $\;50\lesssim \nu _{D}\lesssim 80$ , exemple de crown utilisé pour les télescopes $\;n_{\text{rouge}}=1,525\;$ et $\;n_{\text{violet}}=1,550{\big )}\;$ et
Par exemple les verres ; on peut classer les verres en deux catégories les « flint » $\;{\big (}$ à base de silicate de potassium et de plomb ${\big )}\;$ à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif $\;{\big (}1,50\lesssim n_{D}\lesssim 2,00\;$ et $\;\nu _{D}\lesssim 50$ , exemple de flint $\;n_{\text{rouge}}=1,608\;$ et $\;n_{\text{violet}}=1,660{\big )}$ .

[35] Ou encore si le diamètre $\;{\big (}$ ou la largeur ${\big )}\;$ des obstacles est grand devant la longueur d'onde.

[36] Donc si le diamètre $\;{\big (}$ ou la largeur ${\big )}\;$ des pupilles ou obstacles est supérieure au $\;mm$ .

[37] Ainsi l’optique ondulatoire tend vers l’optique géométrique quand les dimensions des pupilles ou objets deviennent très grandes par rapport aux longueurs d’onde.

[38] Expérimentalement on constate que le faisceau lumineux issu de $\;S\;$ et limité par $\;T\;$ est un « cône de lumière de sommet $\;S\;$ et dont la surface latérale s'appuie sur le contour de $\;T\;$ », ceci étant une conséquence de la 1^ère loi de l'optique géométrique énoncée ci-après dans les M.T.H.I. « la propagation rectiligne de la lumière ».

[39] C'est en fait le demi-angle au sommet du cône précédemment cité.

[40] Les phénomènes de diffraction sont alors négligeables et le « faisceau reste un cône de sommet $\;S\;$ et dont la surface latérale s'appuie sur le contour de $\;T\;$ ».

[41] Si on travaille à $\;1\,\%\;$ près, la condition $\;\alpha \ll 1\;$ devient $\;\alpha <10^{-1}\;rad\;$ soit $\;\alpha <6\,{\text{°}}$ , en effet c'est essentiellement la fonction trigonométrique $\;\sin(\alpha )\;$ qui doit être confondue avec $\;\alpha \;$ et ceci est réalisé si $\;\alpha <10^{-1}\;rad$ .

[42] Continuer à négliger la diffraction en faisant tendre le rayon d'ouverture vers $\;0\;$ est donc purement hypothétique, non réalisable en pratique $\ldots$

[43] La propagation rectiligne n'est applicable que dans un milieu transparent « homogène », nous verrons, dans le paragraphe « propagation dans un milieu transparent inhomogène » plus loin dans ce chapitre, la forme de la propagation dans un milieu hétérogène, l'explication nécessitant néanmoins d'attendre le paragraphe « retour sur la propagation dans un milieu inhomogène » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[44] Cette loi ne nécessite que le caractère transparent du milieu, ce dernier n'a pas besoin d'être homogène mais dans ces conditions la propagation n'est plus rectiligne.

[45] La concentration en sel n'y est donc pas constante.

[46] L'indice d'un milieu dépendant de la température, si celle-ci n'est pas constante il en est de même de l'indice.

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