Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
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Réponse en intensité d'un circuit “L parallèle sur R en série avec C” soumis à une tension de valeur efficace fixée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit composé d'un R L parallèle en série avec C, ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

......On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale , la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme [1].

Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R[modifier | modifier le wikicode]

......Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et en déduire son intensité efficace en fonction de , , , et  ;

......déterminer à quelle condition de pulsation est indépendante de .

Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I1 du courant ainsi que l'avance de phase φ1 de la tension sur l'intensité[modifier | modifier le wikicode]

......La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et

......La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.

Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase[modifier | modifier le wikicode]

......En déduire la condition supplémentaire pour que soit nul.

Réponse en intensité d'un circuit “R C série” en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit composé d'un R C série en parallèle sur une bobine réelle "r L série", ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence réglable

......On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est sinusoïdale de valeur efficace fixée et de pulsation variable  ; on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.

......Sous réserve de condition sur , , et , il existe une pulsation pour laquelle l'intensité est en phase avec la tension .

......Déterminer la pulsation et

......préciser les conditions associées.

Montage déphaseur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont de type Wheatstone [12] en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et en sortie ouverte composé des deux couples de D.P.L. croisés “R, L” et “C, L”

......On considère le circuit ci-contre où on étudie la réponse sinusoïdale forcée en tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f. de fréquence alimenté en entrée par  ;

Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la tension efficace complexe de sortie en fonction de la tension efficace complexe d'entrée [2], des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone [12] et de la pulsation du r.s.f. ;

......en déduire la tension efficace de sortie et vérifier qu'elle est indépendante de , et .

Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer l'avance de phase de la tension de sortie sur celle d'entrée et

......préciser comment varie lorsque l'on fait varier de 0 à .

......Justifier le nom du montage.

R.D.L.A. en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont diviseur de tension en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) alimenté en entrée par e(t), un condensateur en tant que D.P.L. d'attaque, une bobine pure en tant que D.P.L. aux bornes duquel est la sortie, l'ensemble étant équivalent à une source de courant parfaite quand on branche un conducteur ohmique en sortie du P.D.T.

......On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale [17], de valeur efficace fixée et de pulsation que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.

......Le reste du circuit est composé d'un pont diviseur de tension en r.s.f. dont le D.P.L. d'attaque est un condensateur de capacité et le D.P.L. aux bornes duquel est la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre  ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance .

Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'intensité instantanée complexe [17] du courant circulant dans le conducteur ohmique avec intensité efficace complexe puis

......en déduire cette dernière ainsi que l'intensité efficace  ;

......déterminer la valeur de la pulsation pour laquelle l'intensité efficace traversant le conducteur ohmique est indépendante de .

Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier qu'à cette pulsation le P.D.T. situé entre et dans la partie en pointillés est équivalent (lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique) à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.

Modèle de Thévenin d'un réseau dipolaire linéaire actif[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont diviseur de tension en r.s.f. à 2 étages : le 1er étage alimenté par e(t) sinusoïdale de fréquence f = ω/(2π) ayant R comme résistance d'attaque et de sortie aux bornes de L sur laquelle est branché le 2e étage de résistance d'attaque de même R, la sortie globale étant aux bornes de C

......On considère le circuit ci-contre alimenté entre et par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. [23] ; à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « pont diviseur de tension en r.s.f. à deux étages » [24] constitué

  • d'un 1er étage alimenté par [23], de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de résistance , la sortie de ce 1er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre et
  • d'un 2e étage alimenté par la sortie du 1er étage, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de même résistance , la sortie de ce 2e étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité  ;

......de plus pour ce circuit la fréquence du générateur est telle que et .

......Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin [25] complexe équivalent au R.D.L.A. ci-dessus en complexe associé au r.s.f. de fréquence entre et en supposant que le R.D.L.A. délivre un courant sortant par et entrant par d'intensité instantanée complexe .

Ponts d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

......On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f. de fréquence fixe  ; on admettra que le R.D.L.A. en complexe associée au r.s.f. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin [25] complexe de f.e.m. instantanée complexe s'annulant [27] si à condition que avec et de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que et de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire (ou trigonométrique direct) [28].

Pont de Sauty parallèle en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont universel de Sauty [29] parallèle en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) pour mesurer la capacité C et la résistance de fuite R d'un condensateur à l'aide d'un D.P. étalon variable R1 en parallèle sur C1

......Le 1er pont est le pont de Sauty [29] parallèle : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type P/Q [30]) sert à mesurer la capacité d'un condensateur avec résistance de fuite , à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité variable monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

...........Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin [25] en complexe associée au r.s.f. de fréquence et

...........Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de et de du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Pont de Maxwell en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont universel de Maxwell [31] en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) pour mesurer l'inductance propre L et la résistance R d'une bobine à l'aide d'un D.P. étalon variable R1 en parallèle sur C1

......Le 2e pont est le pont de Maxwell [31] : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type PQ [32]) sert à mesurer l'inductance propre et la résistance d'une bobine [33], à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité variable monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

...........Le 2e pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin [25] en complexe associée au r.s.f. de fréquence et

...........Le 2e pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de et de de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Pont de Robinson en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont universel de Robinson [34] en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) pour mesurer la fréquence f à l'aide deux D.P.L. étalon, l'un composé d'un conducteur ohmique variable de résistance R1 en série avec un condensateur de capacité fixe C1, l'autre composé des mêmes éléments étalon montés en parallèle, les deux résistances restant couplées [35] dans leur variation

......Le 3e pont est le pont de Robinson [34] : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type P/Q [30], sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité fixe monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance variable (les deux résistances restant couplées [35] dans leur variation) et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité fixe monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

...........Le 3e pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin [25] en complexe associée au r.s.f. de fréquence et

...........Le 3e pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 est donc l'avance de phase de la tension sur l'intensité.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 La phase à l'origine de la tension sinusoïdale étant nulle, la tension efficace complexe s'identifie à la tension efficace.
  3. Le dernier complexe ayant une partie réelle négative on met en facteur pour que l'autre facteur ait une partie réelle positive et que son argument se mette sous la forme d'un .
  4. On pourrait aussi prendre mais on retient la valeur qui donnera la plus petite valeur absolue à .
  5. La multiplication étant faite dans le 2e facteur du numérateur.
  6. Bien que ce ne soit pas a priori indispensable pour en prendre l'argument, il s'avère que cela rend le calcul plus simple, la justification étant commentée ultérieurement.
  7. Dans le numérateur et le dénominateur, les parties réelles ont un signe conditionnel, on met donc la partie imaginaire en facteur de façon à ce que la partie réelle du 2e facteur soit positive et que l'argument puisse s'écrire sous forme d'un .
  8. On pouvait aussi déterminer l'argument de en mettant cette dernière sous forme algébrique soit, en multipliant haut et bas par , dont les parties réelle et imaginaire du nouveau numérateur sont ou, après simplification, dont la positivité de la partie réelle permet de mettre sous la forme d'un selon soit, après simplification évidente,
    .
  9. On trouve la même condition à partir de la forme de trouvée en note précédente, en écrivant
  10. En effet si avec réel, en identifiant parties réelles entre elles et les parties imaginaires on trouve , soit .
  11. Obtenue en faisant le rapport des parties imaginaires.
  12. 12,0 12,1 12,2 et 12,3 Charles Wheatstone (1802 - 1875) physicien et inventeur anglais à qui on doit la 1ère liaison télégraphique filaire (longue de ) près de Londres en , l'un des premiers microphones et bien sûr le pont résistif du même nom entre autres.
  13. 13,0 13,1 et 13,2 Jacob Millman (1911 - 1991) électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï (maintenant en Ukraine), devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.
  14. On pourrait aussi reconnaître des ponts diviseurs de tension complexe …
  15. Car et étant conjugués ont même module.
  16. Par « argument du numérateur argument du dénominateur » avec et l'argument d'un complexe conjugué égal à l'opposé de l'argument du complexe …
  17. 17,0 17,1 et 17,2 On introduira les grandeurs instantanées complexes telles que les grandeurs instantanées sinusoïdales en soient les parties imaginaires.
  18. Ainsi .
  19. C'est la loi de Pouillet complexe, la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin du dipôle étant et l'impédance complexe de Thévenin , la loi de Pouillet complexe s'écrivant quand le générateur délivre un courant à un dipôle passif d'impédance complexe .
  20. Obtenue en divisant les deux membres de la relation précédente par .
  21. En effet .
  22. La dernière relation se déduisant de .
  23. 23,0 et 23,1 À on asscoie la f.e.m. instantanée complexe .
  24. Signifiant qu'à la sortie d'un 1er P.D.T. en r.s.f. on branche un 2e P.D.T. en r.s.f..
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 25,5 25,6 25,7 25,8 et 25,9 Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  26. Cette dernière expression étant obtenue en multipliant haut et bas par .
  27. On dit alors que le pont est équilibré, ceci entraînant l'absence de courant dans le détecteur.
  28. Voir le traitement par utilisation du théorème de Millman appliqué aux ponts de type « Wheatstone » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  29. 29,0 et 29,1 Charles Victor de Sauty (1831 - 1893) ingénieur électricien et télégraphe anglais à qui on doit essentiellement le premier câble télégraphique transatlantique.
  30. 30,0 et 30,1 Un pont universel est dit P/Q quand les conducteurs ohmiques étalon sont consécutifs.
  31. 31,0 et 31,1 James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour avoir unifié en un seul ensemble d'équations « les équations de Maxwell », l'électricité, le magnétisme et l'induction fournissant, pour l'époque, le modèle le plus unifié de l'électromagnétisme ; il est également célèbre pour avoir interprété la lumière comme étant un phénomène électromagnétique (ayant notamment démontré que les champs électriques et magnétiques se propagent dans l'espace sous la forme d'une onde et à la vitesse de la lumière) ; ce sont ces deux découvertes qui permirent d'importants travaux ultérieurs notamment en relativité restreinte et en mécanique quantique ; il a également développé la distribution de Maxwell, une méthode statistique de description de la théorie cinétique des gaz ; il est également connu pour avoir réalisé le 17 mai 1861 la première photographie en vraie couleur devant les membres de la Royal Institution de Londres.
  32. Un pont universel est dit PQ quand les conducteurs ohmiques étalon sont croisés.
  33. Modélisée en association série.
  34. 34,0 et 34,1 Recherche d'information sur l'auteur Robinson (je suppose que le nom donné au pont est celui de la personne l'ayant mis en œuvre mais si c'est l'usage ce n'est pas certain et pour l'instant je n'ai rien trouvé).
  35. 35,0 et 35,1 C'est-à-dire variant simultanément de la même façon.
  36. Ce fût une façon de mesurer la fréquence d'un générateur de fonctions sinusoïdales avant l'invention du 1er fréquencemètre en 1912 par René Barthélemy (1889 - 1954) ingénieur français qui s'est illustré comme pionnier dans la mise au point de la télévision.