Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance

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Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance
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Exercices no31
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
Exo suiv. :Filtrage linéaire : signaux périodiques
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance
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Sommaire

Réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un montage pour réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

......On considère un R L C série soumis à la tension de sortie d'un montage suiveur alimenté en entrée par une tension sinusoïdale délivrée par un générateur B.F. dont on règle la f.e.m. efficace à une valeur constante et dont on peut faire varier la fréquence , la phase dépendant du choix de l'origine des temps et étant notée [1] ;

......on se propose de déterminer, en régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la bobine en supposant que l'on puisse négliger sa composante résistive [2], ce qui a pour conséquence que cette tension peut être notée , puis d'étudier la variation de sa valeur efficace (ainsi que de sa phase initiale) en fonction de la fréquence, de déterminer une résonance éventuelle ainsi que la valeur de la fréquence de résonance quand celle-ci est possible et enfin la nature du filtre.

......Dans un 2nd temps on se propose de déterminer le lien entre la tension aux bornes de la bobine et la tension aux bornes du condensateur [3] pour déduire des propriétés de cette dernière étudiées en cours, celles de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) établies directement dans un 1er temps.

Réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension efficace complexe de module constant, la fréquence f = ω/(2π) du régime étant variable[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la réponse instantanée complexe en « tension aux bornes de la bobine parfaite » du R L C série ci-dessus, en fonction de ses grandeurs caractéristiques, de la pulsation imposée par le générateur et de la tension instantanée complexe de la sortie du montage suiveur ;

......en déduire la réponse efficace complexe  en « tension aux bornes de la bobine parfaite » en fonction des grandeurs caractéristiques du R L C série, de la pulsation et de la tension efficace complexe de la sortie du montage suiveur.

Réduction canonique de la réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite[modifier | modifier le wikicode]

......Rappeler les expressions des grandeurs canoniques du R L C série « pulsation propre et facteur de qualité  » et

......en déduire la forme canonique [5] de la réponse efficace complexe en fonction de la pulsation réduite .

Tension efficace aux bornes de la bobine parfaite du R L C série[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire, de ce qui précède, l'expression de la tension efficace aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite .

Phase à l'origine de la tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire, de même, l'expression de la phase à l'origine de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite .

Recherche d'une éventuelle résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série[modifier | modifier le wikicode]

......On se propose de chercher une éventuelle résonance en mais le numérateur de dépendant de , il nous faut chercher une forme canonique « pratique » correspondant à un numérateur constant en divisant haut et bas par le numérateur de façon à ce que  ;

......on vérifiera alors que peut être identifié à est la fonction dont on a étudié la variation lors de l'étude d'une éventuelle résonance en charge du R L C série [10] ;

......introduisant pour plus de simplicité lors de l'exposé, rappeler la variation de suivant la valeur du facteur de qualité et

......introduisant ............... pour plus de simplicité lors de l'exposé, dans le cas où acquiert une valeur extrémale, l'expression de rendant extrémale ainsi que la valeur de cet extremum ;

......en déduire la variation de suivant la valeur du facteur de qualité et

......en déduire dans le cas où il y a résonance, l'expression de la pulsation réduite de résonance [11] ainsi que la valeur maximale de notée .

Nature du filtre suivant le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer que le filtre est un « passe-haut ou un passe-bande » [18] suivant la valeur du facteur de qualité ;

......on rappellera comment on pourrait déterminer la condition sur pour que ce soit un passe-bande mais sans refaire le calcul effectué en cours.

Tracé de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la variation établie dans une question précédente, tracer les différents types de courbes possibles de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine (parfaite) en fonction de la fréquence réduite.

Tracé de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série sur la tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer l'allure de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) sur la tension imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite.

Lien entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Rappeler l'expression de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur du R L C série précédent en fonction de la pulsation (ou fréquence) réduite [22] et

......vérifier le lien suivant entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur du R L C série excité sinusoïdalement pour une même pulsation réduite

[23], [24] ;

......en déduire les conséquences sur la variation de connaissant la variation de ainsi que
......en déduire celles sur la variation de connaissant la variation de .

Réponse en iR(t) d'une association parallèle R L soumise, à travers un condensateur de capacité C, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence choisie[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine parfaite d'inductance propre L montée en série avec un condensateur de capacité C, le tout étant sous tension sinusoïdale

......On considère le circuit ci-contre constitué d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance et d'une bobine parfaite d'inductance propre montée en série avec un condensateur de capacité  ; il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale dont on néglige l'impédance de sortie et de f.e.m. .

Détermination du générateur de Norton équivalent à l'ensemble générateur de fonction en série avec le condensateur de capacité C[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer le générateur de Norton [28] équivalent au D.A.L. comprenant le générateur en série avec le condensateur et

......tracer le schéma équivalent.

Condition de fréquence pour que le courant d'intensité iR(t) soit indépendant de R et interprétation[modifier | modifier le wikicode]

......En déduire la condition pour que l'intensité du courant dans le conducteur ohmique de résistance soit indépendante de cette dernière et

......l'interpréter simplement.

Sous la condition de fréquence précédemment trouvée, évaluation de la valeur efficace et de la phase à l'origine de iR(t)[modifier | modifier le wikicode]

......Sachant que la condition précédente est réalisée, calculer la valeur efficace et la phase à l'origine de l'intensité du courant dans le conducteur ohmique de résistance pour , et .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. En ayant choisi une expression en cosinus pour la tension délivrée par le générateur B.F..
  2. La résistance de la bobine est faible ), la composante résistive de la bobine sera approximativement négligeable devant sa composante inductive si l'intensité du courant la traversant reste faible simultanément à une variation notable de cette dernière, ce qui est quasiment toujours vérifié.
  3. Pour visualiser celle-ci à l'oscilloscope il faut bien sûr permuter la bobine et le condensateur pour qu'une des bornes de ce dernier soit reliée à la masse du montage.
  4. C'est-à-dire sous forme d'un quotient de polynômes en .
  5. La réduction canonique sera écrite sous forme « usuelle » normalisée c'est-à-dire sous la forme d'un quotient irréductible de polynômes en (ou en si on utilise la pulsation réduite), le monôme de degré 0 du dénominateur étant .
  6. Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
  7. L'argument de étant au choix ou .
  8. On choisit dans le 1er terme pour que l'argument final ait la plus petite valeur absolue.
  9. Ce qui n'est pas une surprise dans la mesure où la tension aux bornes de la bobine parfaite est en quadrature avance sur l'intensité du courant, conséquence de dont on déduit soit, avec ainsi que dans lequel on utilise pour obtenir et par suite .
  10. C'est-à-dire établi dans le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
    ...c'est aussi le carré du module du dénominateur de l'expression de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, expression écrite sous forme canonique usuelle normalisée (c'est-à-dire sous forme d'un quotient de polynômes en , le monôme de degré 0 étant égal à , expression qu'il est conseillé de retenir pour l'étude du filtrage linéaire des derniers chapitres de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  11. On positionnera par rapport à .
  12. Il s'agissait de la dérivée de relativement à mais peu importe le nom donné à la variable …
  13. et variant en sens contraire car est une fonction de .
  14. 14,0 et 14,1 étant toujours positive, sa variation est de même sens que celle de .
  15. On remarque que pour .
  16. et variant en sens contraire, quand de 0 à correspondant à une décroissance de , on a une décroissance de quand de à c'est-à-dire une croissance de quand de à  ;
    ............ et ...... variant en sens contraire, quand de à correspondant à une croissance de , on a une croissance de quand de à 0 c'est-à-dire une décroissance de quand de 0 à ;
    ...on vérifie donc bien que passe par un minimum en .
  17. En effet .
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 18,7 et 18,8 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-haut » ;
    ...on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » (à préciser) sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » (à préciser) en dehors ;
    ...on parle de « passe-haut » quand la réponse est d'amplitude « notable » (à préciser) sur un intervalle de fréquences de largeur infinie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » (à préciser) en dehors.
  19. Voir le paragraphe « nature du filtre « réponse en charge du R L C série » … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  20. 20,0 20,1 20,2 et 20,3 La valeur étant la valeur approchée de dont il faut retenir qu'elle existe en étant un peu plus grande que .
  21. Mais nettement moins intéressant que le passe-bande constitué de la réponse en intensité du courant traversant le R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante car la fréquence de résonance dépend du facteur de qualité, ce qui est un handicap à son utilisation.
  22. Il est utile de la retenir, surtout pour faire l'étude des filtrages linéaires dans les chapitres suivants mais si vous ne vous en souvenez plus vous la trouvez dans le paragraphe « réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  23. On rappelle que est, en physique, le complexe conjugué de .
  24. Le dernier facteur se réduit à 1 (et donc disparaît) si on choisit la phase à l'origine de la tension imposée par le générateur nulle.
  25. 25,0 et 25,1 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-bas » ;
    ...on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » (à préciser) sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » (à préciser) en dehors ;
    ...on parle de « passe-bas » quand la réponse est d'amplitude « notable » (à préciser) sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure nulle et qu'elle peut être « négligée » (à préciser) en dehors.
  26. 26,0 et 26,1 C'est-à-dire échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites et échelle linéaire pour l'axe des valeurs efficaces (ou l'axe des déphasages).
  27. L'argument de étant .
  28. 28,0 28,1 et 28,2 Edward Lawry Norton (1898 - 1983) ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  29. La valeur efficace complexe de la f.e.m. est réelle car la phase initiale de la f.e.m. sinusoïdale est nulle.
  30. Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  31. Duale de l'intensité du courant traversant l'association série.
  32. Duale de la tension imposée à l'association série.
  33. Relation invariante par dualité car le dual de est et celui de est .
  34. Duales des tensions aux bornes de et de l'association série.
  35. Raison pour laquelle cet ensemble est encore appelé \og « circuit bouchon ».
  36. Car compte tenu de .