En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un bassin de profondeur «» est totalement rempli d'eau, d'indice «», l'indice de l'air étant «».
Au fond du bassin est placée une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.
Quel est le rayon du disque lumineux qui se forme à la surface de l'eau ?
Solution
Les rayons issus de la source ponctuelle placée au fond du bassin[1] sortiront de ce dernier si l'angle d'incidence «» sur la surface libre de l'eau est inférieur à «angle limite[2]»[3],[4] ;
cela nous donne donc le rayon du disque lumineux cherché «» avec «» d'où cela nous donne donc «» et par suite cela nous donne donc «».
Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé[modifier | modifier le wikicode]
On considère une lame à faces d'épaisseur et d'indice plongée dans l'air et un rayon incident d'angle d'incidence voir schéma ci-contre ; le rayon traverse la face d'entrée et en sort, dans le plan d'incidence[6], avec un angle de réfraction tel que [7], puis rencontre la face de sortie sous un angle d'incidence égal à [8] et en sort sous l'angle de réfraction égal à [9], d'où le rayon émerge, de la lame à faces, parallèlement au rayon incident.
Remarque : On pouvait aussi démontrer par retour inverse de la lumière[10] car “ on a le même angle pour le rayon réfracté entrant dans le milieu d'indice par la face d'entrée et le rayon incident sortant du milieu d'indice par la face de sortie ”, le retour inverse de la lumière nous permet d'affirmer “ on a le même angle pour le rayon incident arrivant de l'air vers le milieu d'indice par la face d'entrée et le rayon réfracté entrant dans l'air en provenance du milieu d'indice par la face de sortie ” ; le rayon émerge donc de la lame à faces , parallèlement au rayon incident.
Le déplacement latéral est défini sur la figure ci-contre et se détermine en travaillant dans le triangle rectangle selon : avec d'où ou, avec , ;
on explicite en travaillant dans le triangle rectangle soit : ou, avec , ;
on en déduit ou, en développant , ;
on utilise alors la 2ème relation de réfraction de Snell - Descartes[11],[7] pour éliminer par et par [12], la relation explicitant se réécrivant ou encore
Un système est « stigmatique » pour un point objet s'il fournit, de ce dernier, une image ponctuelle ; Un système est « stigmatique » pour un point objet si ceci est vrai quelle que soit l'ouverture du faisceau issu du point objet , le stigmatisme est dit « rigoureux », Un système est « stigmatique » pour un point objet si ce n'est vrai que pour un pinceau de faible ouverture usuellement les conditions dites de Gauss[13],[14], le stigmatisme est dit « approché »[15].
On considère un point objet que l'on pourra supposer réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée voir schéma ci-contre à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal et d'ouverture quelconque ; le problème étant symétrique de révolution autour de , si la lame est stigmatique rigoureusement pour [15], son point image doit être sur l'axe ;
montrer qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux[15] en déterminant la distance séparant de l'intersection de l'axe et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de et d'angle d'incidence .
Solution
On considère un point objet supposé réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal et d'ouverture quelconque voir schéma ci-dessus ; le problème étant symétrique de révolution autour de , si la lame est stigmatique rigoureusement pour [15], son point image doit être sur l'axe ;
on se propose de déterminer la distance séparant de l'intersection de l'axe et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de et d'angle d'incidence ; s'il y a stigmatisme rigoureux de la lame à faces pour [15], cette distance doit être indépendante de ;
dans le triangle rectangle [16], on remarque que ce qui, avec l'expression de trouvée précédemment, donne :
dépend de pas de stigmatisme rigoureux de la lame à faces parallèles ;
par exemple : on trouve , , , et par suite, un faisceau divergent à partir de , de rayon angulaire d'ouverture , donnera une image dont l'étalement sur est approximativement de [17].
Stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé[modifier | modifier le wikicode]
On considère maintenant un pinceau incident issu de ayant pour direction l'axe optique principal ; les rayons incidents de ce pinceau étant quasi-normaux c'est-à-dire que les angles d'incidence sont petits, montrer qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces [15] en réévaluant la distance tenant compte de [18],[19] et en constatant qu'elle ne dépend plus de il existe alors un point image unique associé au point objet et la distance entre ces deux points s'écrit simplement .
Nature de l'image : Vérifier que l'image d'un objet réel est alors virtuelle ;
Nature de l'image : discuter de la nature de l'image d'un objet virtuel ?
Nature de l'image : Où doit être situé l'objet virtuel pour que l'image soit réelle ?
Solution
Considérant maintenant que le faisceau incident issu de , de direction à la face d'entrée, est un pinceau, c'est-à-dire que le rayon angulaire d'ouverture est maintenant , on cherche le D.L[20]. à l'ordre un de étant l'infiniment petit d'ordre un, et si le D.L[20]. à l'ordre un de ne dépend pas de , cela signifiera que est indépendant de dans la mesure où ce dernier est un infiniment petit d'ordre un, donc qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces [15] ;
Pour vérifier que l'image d'un objet réel est virtuelle, il suffit de montrer que «» avec et les intersections de l'axe optique principal respectivement avec les faces d'entrée et de sortie de la lame à faces voir figure ci-contre ;
or «», ceci nous permettant d'écrire «» prouvant que « l'image d'un objet réel est toujours virtuelle ».
Pour un objet virtuel, on a « et toujours » ;
Pour un objet virtuel, l'image d'un objet virtuel sera réelle si ce qui est équivalent à ou «» ; numériquement on obtient «» c'est-à-dire à plus de de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière dans le verre à moins de de la face de sortie ou au-delà du verre dans l'espace de sortie ;
Pour un objet virtuel, l'image d'un objet virtuel sera virtuelle si ce qui est équivalent à ou ou, en tenant compte du caractère virtuel de l'objet, «» ; numériquement on obtient «» c'est-à-dire à moins de de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière dans le verre à plus de de la face de sortie.
Rayon de courbure minimal d'une fibre optique pour transmission d'un faisceau parallèle, normal à la face d'entrée et la recouvrant entièrement[modifier | modifier le wikicode]
Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , de diamètre Une fibre optique est entourée d'une gaine en verre d'indice .
On courbe la fibre optique comme indiqué sur la figure ci-contre.
Déterminer littéralement, puis Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , normal à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , soit transmis intégralement par la fibre.
Solution
Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice et entourée d'une gaine en verre d'indice «» est courbée dans le but de guider le faisceau , pénétrant normalement à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, vers la face de sortie et ceci sans aucune perte.
Pour que tous les rayons incidents à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu'une fois entrés sans déviation dans l'âme de la fibre, Pour que tous les rayons incidents à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu’ils subissent une réflexion totale sur la surface interne de la gaine, ce qui a pour effet de les renvoyer dans l'âme et donc de les maintenir guidés par la fibre de façon à ce qu'ils émergent par la face de sortie de cette dernière voir schéma ci-dessous.
Schéma, hors échelle, du cheminement interne d'un faisceau arrivant normalement à la face d'entrée d'une fibre optique courbée de rayon de courbure et émergeant par la face de sortie
Appelant «» l'angle d'incidence du rayon rencontrant la surface interne de la gaine, et «» l'angle limite de l'interface « âme - gaine », la condition de réflexion totale est
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si «» étant le domaine de définition de dans les conditions du faisceau incident, cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondant au rayon incident du plan de courbure de la fibre le plus éloigné de l'axe de courbure dans le sens de cette dernière cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondantc'est-à-dire le rayon incident « inférieur » de la figure ci-dessus ;
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondantpour ce rayon est minimal et noté on a «» et
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si la condition de réflexion totale pour tous les rayons du faisceau incident se réécrit «».
Nous en déduisons la valeur minimale du rayon de courbure de la fibre optique «».
L'A.N[5]. nous donne, avec , et , soit «» c'est un rayon de courbure excessivement petit non atteignable pratiquement et par suite la condition pour qu'un faisceau incident , normal à la face d'entrée de la fibre, soit transmis intégralement est toujours réalisée en pratique.
Angle d'incidence d'un rayon arrivant sur la face d'entrée d'une fibre optique non courbée pour qu'il soit transmis[modifier | modifier le wikicode]
Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , entourée d'une gaine en verre d'indice .
Cette fibre n'est pas courbée et on considère un rayon incident d'angle d'incidence supposé positif comme indiqué sur la figure ci-contre le rayon représenté a un point d'incidence sur l'axe de la fibre mais ce point pourrait n'importe où sur la face d'entrée de cette dernière à condition que le plan d'incidence plan contenant le rayon et à la face d'entrée contienne l'axe de la fibre.
Déterminer littéralement, puis Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal pour lequel le rayon émerge par la face de sortie de la fibre non courbée.
Solution
Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice entourée d'une gaine en verre d'indice est maintenue rectiligne ; on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite qu'un rayon incident doit avoir pour émerger par la face de sortie cet angle limite s'appelle « angle d'acceptance » ; on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix et des sens de mesure des angles voir figure ci-dessous ont été choisis pour que tous les angles y soient a priori de même signe on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix et des sens de mesure des angles voir figure ci-dessous ont été choisis pour que tous les angles y soienten l'occurrence .
Schéma du cheminement interne d'un rayon incident incliné par rapport à l'axe d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice entourée d'une gaine d'indice , recherche de l'inclinaison maximale pour que le rayon soit intégralement transmis
Le rayon incident arrivant sur la face d'entrée de la fibre optique y subit toujours une réfractionpassage d'un milieu moins réfringent air d'indice à un plus réfringent l'âme d'indice [25] ; Le rayon incident il émerge en faisant un angle de réfraction «» lié à l'angle d'incidence «» par «»[7],[26] ;
ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «»[27] où il doit subir une réflexion totale de façon à revenir dans l'âme, l'angle de réflexion y valant alors «»[28] et ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «» où il doit pouvoir continuer en direction de la face de sortie de cette dernière ;
arrivé sur la face de sortie, il y aura toujours réfraction, l'angle d'incidence sur cette dernière valant «» et l'angle de réfraction «»[29], justification par retour inverse relativement aux rayons de la face d'entrée[10].
La condition de réflexion totale sur la surface interne de la gaine étant «»[23] avec , angle limite du dioptre « âme - gaine », défini par «»[2], elle peut se réécrire «» ;
pour évaluer, on remarque que c'est le complémentaire de «» ;
on termine en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes[11] appliquée à la réfraction sur la face d'entrée[7] soit «» d'où :
«» ou, en utilisant «» on en tire «» ou encore «» soit, étant ,
«».
L'A.N[5]. nous donne : soit «» l'angle d'acceptance de cette fibre optique est donc .
Un prisme, d'indice et d’angle non algébrisé, est plongé dans l'air ; les rayons lumineux incidents sont contenus dans le plan de section principale du prisme[30] et leurs composantes monochromatiques sont considérées séparément.
On définit après orientation particulière de ce plan et angles « d'entrée », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face d'entrée, algébrisés selon le sens «» défini à gauche du schéma, et angles « de sortie », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, algébrisés selon le sens «» défini à droite du schéma[31], la déviation comme étant l'angle orienté selon le sens «» des angles « de sortie » que fait le rayon émergent avec le rayon incident ; dans ce qui suit sauf dans la question traitant de la dispersion le rayon incident étant considéré « monochromatique », l'indice est supposé constant.
Établir les quatre formules du prisme liant les cinq angles définissant les réfractions dans le prisme.
Solution
La 1ère et 2ème formules correspondent à la 2ème loi de Snell - Descartes[11] pour la réfraction sur les faces d'entrée et de sortie[7] ; la 3ème formule se démontre en travaillant dans le triangle point d'incidence sur la face d'entrée, point d'incidence sur la face de sortie et point d'intersection des normales en et [32], et sont deux des angles intérieurs au triangle, étant le 3ème angle extérieur à ce triangle[33], on en déduit selon la propriété des angles d'un triangle : " la somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3ème angle extérieur à ce triangle "[34],[35] ; la 4ème formule se démontre en travaillant dans le triangle point d'intersection entre le rayon émergent et le rayon incident ; étant un angle extérieur à ce triangle, les deux autres angles intérieurs sont et d'où, par propriété des angles d'un triangle[35] ou soit enfin, en utilisant la formule , .
Conditions pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie[modifier | modifier le wikicode]
Vérifier qu'un rayon incident subit toujours une réfraction sur la face d'entrée quel que soit l'angle d'incidence et
déterminer la condition sur cet angle d'incidence pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie on notera l'angle limite.
Solution
Condition de réfraction sur la face d'entrée : quand de à , de à où est l'angle limite du dioptre d'entrée[36] tel que ou encore , la réfraction sur la face d'entrée est donc toujours possible ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée[37] l'angle, compté positivement selon le sens , et, condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, dans la mesure où cet angle est à , il rencontre la face de sortie ; condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, le point existe donc si est tel que ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire il existera toujours si soit ou encore «» ; condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire la condition d'existence de à savoir est toutefois un peu trop stricte[38]par exemple, pour un prisme d'indice , , la condition d'existence de pour tout angle d'incidence s'écrit alors condition non réalisée pour un prisme d'angle [39] ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : dans la mesure où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie pour au moins une valeur de , il est nécessaire que l'angle de réfraction sur la face d'entrée suive «» c'est-à-dire encore que l'angle d'incidence soit tel que ou encore «» par exemple pour un angle et un indice , la condition d'existence de pour la valeur nécessite que soit tel que ou «»[40] ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : nous supposerons par la suite que existe pour la valeur de considérée c'est-à-dire que «»[41].
Étudier les conditions d’émergence du rayon incident, en particulier on montrera que :
si «», il n'y a jamais émergence,
si «», il y a émergence pour compris entre une valeur et ,
si «», il y a émergence pour compris entre une valeur et .
Solution
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, c'est-à-dire qu'il y ait émergence : de « de à » on déduit « de à » et, dans le cas où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie, que « de à » par utilisation de la formule , que l'on peut réécrire « de à »[36] ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, il faut que soit compris entre et où est l'angle limite du dioptre de sortie, c'est-à-dire également ici celui d'entrée d'où [36] soit encore « compris entre et »[36] ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle de variations de résultant de celles de et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle d'appartenance de pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», n'ont aucune intersection il n'y a jamais émergence par la face de sortie, Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», le rayon intermédiaire étant réfléchi sur la face de sortie ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle de variations de résultant de celles de et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle d'appartenance de pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», ont pour intersection l'intervalle correspondant à Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle de variation de à savoir [42] et à Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», celui de à savoir «»[42] Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», où est défini par «»[43] ; Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», il y a émergence par la face de sortie si «»[44] ; Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», si «», et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», si «», le rayon intermédiaire est alors réfléchi sur la face de sortie, Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», si «», il n'y a donc pas émergence du prisme par la face de sortie.
il faut toujours avoir en tête les correspondances suivantes :
Variation de la déviation en fonction de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour un prisme dans lequel le rayon incident monochromatique conduit à une émergence par la face de sortie[modifier | modifier le wikicode]
On suppose quelconque mais dans les conditions où il y a émergence et on fait varier .
Montrer que la déviation passe par un minimum noté quand ou valeur commune notée .
Montrer que et que .
En déduire que la mesure de et de pour une couleur déterminée permet de connaître l’indice pour cette couleur ; on montrera que .
Solution
Tableau de variation derelativement à : Le rayon étant monochromatique, est constant ;
Tableau de variation derelativement à : quand l'angle d'incidence varie de à , on cherche à évaluer la variation de la déviation en fonction, entre autres, de de façon à en déduire ; Tableau de variation derelativement à : pour cela on différencie les quatre formules du prisme selon et Tableau de variation derelativement à : pour cela on exprime en fonction de par , puis Tableau de variation derelativement à : pour cela on exprime en fonction de par et enfin Tableau de variation derelativement à : pour cela on exprime en fonction de par , expression que l'on reporte dans soit :
Tableau de variation derelativement à : [45] ou [46] ou
«».
Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : Une solution évidente est «», Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : la formule du prisme donne alors, pour valeur commune de «»[47] et Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : la valeur commune de notée est fournie par la formule du prisme c'est-à-dire «» ; ainsi Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : on peut affirmer que la déviation passe par un extremum pour correspondant à [48] ;
Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? La réponse est affirmative et elle se justifie en cherchant d'autres zéros éventuels : Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? les zéros devant être solutions de [49], Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine au profit de par la formule et Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine au profit de par la formule , ce qui donne l'équation suivante Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? [50] Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? ou, à l'aide de [51], Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? soit finalement Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? «» ; Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? la solution étant exclue car , Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? la seule solution est donc bien la solution évidente trouvée précédemment soit Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? « avec ».
Le tableau de variation de en fonction de est alors le suivant, montrant effectivement que la déviation est « minimale » pour [52] :
la valeur de la « déviation minimale est alors » alors que
celle de la « déviation maximale est obtenue pour une émergence rasantecorrespondant à une incidence d'angle ou une incidence rasantecorrespondant à une émergence d'angle soit ».
Tracé du graphe de la déviation en fonction de l'angle d'incidence : voir ci-contre.
Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : de on tire Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : «» de la 2ème relation et Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : le report dans la 1ère réécrite conduit à Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : «»[53].
Donner une expression simplifiée de en fonction de et lorsque l'angle du prisme ainsi que l'angle d'incidence sur la face d'entrée sont petits.
Commenter quant à la variation de en fonction de la couleur incidente[54].
Solution
Nous supposons et ; de la formule on en déduit , Nous supposons et ; la formule de on en déduit , Nous supposons et ; la formule de on en déduit et Nous supposons et ; la formule de on en déduit d'où :
les 2èmes relations de Snell - Descartes[11] de la réfraction[7] se réécrivent «» et «»[55] et la déviation devient soit enfin, avec la formule
«».
Remarque : Si varie, varie le milieu constituant le prisme est toujours considéré comme dispersif, on constate alors que la déviation a la même variation que pour un prisme de petit angle sous incidence quasi normale[56].
Le rayon incident étant maintenant considéré dans son ensemble c'est-à-dire constitué de toutes ses composantes monochromatiques et « l'angle d'incidence sur la face d'entrée du prisme restant maintenant constant », on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide c'est-à-dire de la couleur de la composante monochromatique sachant que on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide l'indice du prisme est une fonction de la longueur d'onde dans le vide selon la formule de Cauchy[57] «» où et sont des constantes dépendant du milieu considéré, la 1ère sans dimension et la 2nde ayant la dimension du carré d'une longueur ;
établir la relation et
en déduire le sens de variation de avec la longueur d'onde dans le vide , en particulier on comparera la déviation de la composante violette à celle de la composante rouge .
Solution
Le prisme est un milieu dispersif car dépend de , plus exactement est une fonction de ;
contrairement à certains systèmes optiques pour lesquels la dispersion est un handicap comme les verres de lunette ou les pare-brise[58] de voiture[59], le prisme est d'autant meilleur que le milieu est dispersif.
Recherche du signe de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à la longueur d'onde dans le vide :
«» avec « de signe contraire à » ;
Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on différencie les quatre formules du prisme à fixé mais variable Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : , , et varient d'où Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : , Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors qui est égale à en fonction de et par , puis Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors en fonction de par reporté dans et enfin Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors en fonction de par reporté dans soit :
Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : [60] avec Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : [61] d'où Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : et finalement, Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : avec la formule du prisme «».
Signe de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime et conséquences : on constate que « est toujours » «» car toujours de même signe que , donc la déviation d'un rayon polychromatique par le prisme est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide fonction de et par suite
Un pinceau de rayons dans l’air éclaire une sphère d’eau d’indice ; les rayons pénètrent dans la sphère sous l'incidence et en ressortent après avoir subi réflexions intérieures ; l'angle algébrisé que fait un rayon émergent de la sphère par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation et est noté .
Étude de la variation de la déviation d'une composante monochromatique du rayon incident après p réflexions internes dans une goutte d'eau en fonction de son angle d'incidence[modifier | modifier le wikicode]
On considère une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide du pinceau lumineux pour laquelle l'indice de l'eau est notée .
Expression de la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux après p réflexions internes dans une goutte d'eau[modifier | modifier le wikicode]
Montrer que la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux peut s’exprimer en fonction de , et angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence selon
1ère réfraction « on passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent », le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident [25]tous deux , « le rayon tourne de avec » ;
1ère réflexion : le triangle est isocèle , l'angle d'incidence étant on en tire et l'angle de réflexion lui étant opposé[65], on en déduit , « l'angle dont tourne le rayon lors de la réflexion est alors soit » ;
chaque réflexion interne entraînant la même déviation du rayon réfléchi par rapport au rayon incident de la réflexion interne, il faudra « compter, dans la déviation totale , autant de fois qu'il y a de réflexions internes » ;
2ème réfraction « on passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent », le rayon réfracté est plus éloigné de la normale que le rayon incident[3] Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction (n1 > n2 exemple dioptre verre - air) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>, l'angle d'incidence étant et le triangle isocèle, on en tire , l'angle de réfraction est alors et vaut par retour inverse de la lumière relativement à la 1ère réfraction[10] et par suite « le rayon tourne de avec ».
La déviation totale est donc, pour réflexions internes, c'est-à-dire soit encore ou, en ajoutant étant défini à près,
«».
Expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]
Exprimer en fonction de et , étant l’angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale, la valeur correspondante de cette dernière étant notée ;
calculer numériquement et pour et , la valeur de l'indice de l'eau pour cette longueur d'onde dans le vide étant .
Solution
La composante du rayon incident étant supposée monochromatique, est constant ; étant l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale, sa valeur se détermine en résolvant ;
pour obtenir , on différencie ce qui donne puis, pour obtenir , tirant l'expression de en fonction de de la 2ème relation et la reportant dans la 1ère on obtient [66] soit pour obtenir , ou, « en éliminant au profit de par »[67], on obtient l'expression
«» ;
est donc « solution de » ou «» ou encore «» soit enfin, en remplaçant par , est donc « solution de » se réécrivant «» d'où les deux expressions équivalentes des solutions[68]
«» ;
il y a donc deux valeurs opposées possibles de , que nous noterons par la suite , rendant extrémale la déviation d'un rayon incident monochromatique, la valeur extrémale correspondante s'obtenant par la relation soit
«».
Cas d'une réflexion interne : pour , «» dont on déduit «» ;
Remarque : Vérifions qu'il s'agit effectivement d'un extremum minimum ou maximum et non d'un point stationnaire point d'inflexion à tangente à l'axe des abscisses ;
Remarque : pour cela raisonnons d'abord sur , s'annulant pour vaut [70] est sur puis sur , ce qui correspond à un maximum donc effectivement un extremum,
Remarque : pour puis raisonnons sur , s'annulant pour vaut [70] est sur puis sur , ce qui correspond à un minimum c'est-à-dire encore un extremum.
Justification de pics de diffusion pour les pinceaux parallèles d'angle d'incidence correspondant à une déviation extrémale[modifier | modifier le wikicode]
Les composantes monochromatiques des rayons d'un pinceau incident ont un angle d’incidence dépendant de leur point d'impact sur la sphère étant le point d'incidence du rayon considéré dans le pinceau ; les rayons ayant un angle d’incidence de valeur restant au voisinage d’une valeur fixée sont déviés d’un angle différant de selon
Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur restant au voisinage de , qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux variation de nulle à l’ordre un en alors que Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur restant au voisinage de , fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux variation de non nulle à l’ordre un en [72].
Solution
Sur le schéma ci-contre réalisé avec une seule réflexion interne, nous constatons que la dispersion[73] est a priori relativement grande et le faisceau tombant sur la goutte est dévié suivant pratiquement toutes les directions[74].
Considérant les rayons ayant un angle d'incidence de valeur restant au voisinage d'une valeur fixée , ceux-ci sont « déviés d'un angle différant peu de », l'écart étant égal à « à l'ordre un en », la dispersion[73] autour de étant « d'autant plus faible que est petit » ;
c'est donc pour que la dispersion[73] est la plus faible puisque [75], c'est-à-dire que ce sont les rayons ayant un angle d'incidence de valeur restant au voisinage des deux valeurs qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux en faisant un angle avec la direction incidente[76], alors que ce sont les rayons ayant un angle d'incidence de valeur restant au voisinage des autres valeurs fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux[77] et ceci d'autant plus que sera grand[72].
Justification des arcs-en-ciel primaire et secondaire par dispersion de la lumière blanche émise par le Soleil à travers les gouttelettes d'eau de l'atmosphère[modifier | modifier le wikicode]
Le pinceau lumineux incident résulte de la lumière blanche émise par le Soleil ; comme l'eau est dispersive, son indice varie avec la longueur d’onde dans le vide , et par suite et aussi.
On admettra que varie de à entre les extrémités violette et rouge du spectre visible.
Exprimer, en fonction de et , la dérivée caractérisant la variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur[78].
Solution
« dépendant de a des valeurs différentes suivant la longueur d'onde » ; il en est « de même pour » ;
différenciant cette dernière expression ainsi que celles définissant et , à savoir , on obtient respectivement
«» ;
de la 2ème relation on tire en fonction de soit «» et, après son report dans la 3ème relation,
on tire de cette dernière en fonction de soit «» ;
ces deux expressions reportées dans la 1ère relation donne «» soit ces deux expressions reportées dans la 1ère relation donne «» ;
on élimine alors au profit de par [79] d'où «» et on élimine alors au profit de par d'où «» conduisant à on élimine alors au profit de «» ou encore, en mettant en facteur, on élimine alors au profit de «» ;
on termine en éliminant au profit de par «» soit, par unique report de dans , on termine en éliminant au profit de que l'on peut réécrire on termine en éliminant au profit de [80] soit, après factorisation par et simplification[81] on termine en éliminant au profit de puis, en reportant [82] soit ou on termine en éliminant au profit de puis, en reportant «»[83] soit, on termine en éliminant au profit de après factorisation par , on termine en éliminant au profit de «»[84] et, on termine en éliminant au profit de en reportant l'expression de , on obtient, après simplification,
Conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire[modifier | modifier le wikicode]
En pratique, on n'observe que les accumulations de lumière correspondant à et à ces dernières étant toutefois moins visibles[86] ;
En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre c'est-à-dire En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol pour un signe déterminé de ,
En pratique, on admettra que pour voir l'arc-en-ciel primaire au niveau du sol, doit être [87] et que En pratique, on admettra que pour voir l'arc-en-ciel secondaire, toujours au niveau du sol, doit être [88].
Justifier, dans les conditions expérimentales optimales, l'observation des deux arcs-en-ciel ;
décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel primaire[89] et décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel secondaire[89].
Solution
L'observateur au niveau du sol tourne le dos au Soleil pour voir l'arc-en-ciel primaire ; ce dernier est observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre et cela est réalisé pour correspondant à alors que donne , en tiretés sur schéma ci-dessous à gauche et non observable du sol ; pour , on a vu que [90] « est une fonction de » d'où
« pour l'arc-en-ciel primaire » car ;
nous avons donc la disposition des composantes monochromatiques émergentes des couleurs extrêmes correspondant à un même rayon incident polychromatique représentée sur le schéma ci-dessous à droite, « le rouge étant au-dessus du violet »[91] ;
Disposition du Soleil relativement à l'observateur pour que ce dernier, situé au sol, voit un arc-en-ciel primaire
Arc-en-ciel primaire vu du sol : composantes émergentes monochromatiques provenant d'un même rayon incident polychromatique
l'observateur peut voir toute composante monochromatique émergente provenant du nuage pourvu qu'elle aboutisse sur son œil et qu'elle fasse l'angle avec la direction incidente ; cela correspond à l'observateur peut voir l'ensemble des composantes émergentes de même couleur se dirigeant vers l'œil et se trouvant sur le cône de révolution caractérisé, pour cette couleur, par son sommet « l'œil », son axe « la direction incidente » et son demi angle au sommet [92] ;
l'observateur peut voir bien sûr ces composantes émergentes de même couleur n'existent que si elles proviennent de gouttelettes c'est-à-dire que seule la partie du cône de révolution de cette couleur ayant une intersection avec le nuage fournira de telles composantes émergentes[93]voir le schéma ci-contre à droite.
Il existe autant de cônes supports de composantes monochromatiques émergentes qu'il y a de couleurs dans la lumière blanche du Soleil et dans l'hypothèse d’une seule réflexion nécessaire pour que l'arc-en-ciel soit primaire, les couleurs rouge et violette sont respectivement vers l'extérieur et vers l'intérieur, voir schéma ci-contre à gauche avec un demi angle au sommet pour le rouge [94] avec [95] et [94] d'où et un demi angle au sommet pour le violet [94] avec [95] et [94] d'où .
L'observateur au niveau du sol reste dos tourné au Soleil pour espérer voir l'arc-en-ciel secondaire ; ce dernier est observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre et cela est réalisé pour correspondant à alors que donne , non observable du sol ; pour , on a vu que [90] « est une fonction de » d'où
« pour l'arc-en-ciel secondaire » car ;
nous avons donc la disposition des composantes monochromatiques émergentes des couleurs extrêmes correspondant à un même rayon incident polychromatique telle que « le violet est au-dessus du rouge »[96] ;
l'observateur peut voir toute composante monochromatique émergente provenant du nuage pourvu qu'elle aboutisse sur son œil, qu'elle transporte une puissance lui permettant d'être perçue par son œil et qu'elle fasse l'angle avec la direction incidente ; cela correspond à l'observateur peut voir l'ensemble des composantes émergentes de même couleur, se dirigeant avec une puissance suffisante vers l'œil et se trouvant sur le cône de révolution dont les caractéristiques, pour cette couleur, s'obtiennent de la même façon que celles obtenues lors de l'observation d'un arc-en-ciel primaire ; l'observateur peut voir là encore ces composantes émergentes de même couleur n'existent que si elles proviennent de gouttelettes c'est-à-dire que seule la partie du cône de révolution de cette couleur ayant une intersection avec le nuage fournira de telles composantes émergentes[93].
Il existe autant de cônes supports de composantes monochromatiques émergentes qu'il y a de couleurs dans la lumière blanche du Soleil et dans l'hypothèse de deux réflexions internes nécessaire pour que l'arc-en-ciel soit secondaire, les couleurs violette et rouge sont respectivement vers l'extérieur et vers l'intérieur, voir schéma ci-contre avec
un demi angle au sommet pour le rouge [94] avec [97] et [94] d'où et un demi angle au sommet pour le violet [94] avec [97] et [94] d'où ; dans la mesure où l'arc-en-ciel secondaire est observable, il est situé légèrement au-dessus de l'arc-en-ciel primaire, les deux étant séparés approximativement de de hauteur angulaire.
Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel primaire et de celui de l'arc-en-ciel secondaire[modifier | modifier le wikicode]
Calculer et les largeurs angulaires des spectres des arcs-en-ciel respectivement primaire et secondaire définies selon
Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel secondaire : se réécrit en utilisant la dérivée calculée précédemment[90], soit finalement, avec les mêmes valeurs de , et ,
Remarque : Le spectre de l'arc-en-ciel secondaire est peu visible car, d'une part, plus étendu que celui du primaire au lieu de et Remarque : Le spectre de l'arc-en-ciel secondaire est peu visible car, d'autre part, résultant d'une réflexion interne supplémentaire avec un facteur de réflexion énergétique .
↑ Le problème étant à symétrie de révolution autour de la verticale , le rayon incident est repéré par deux angles,
le 1ernon précisé définissant le demi-plan méridien correspondant au plan d'incidence partie de la figure située à droite de la verticale , la partie située à gauche représentant le demi-plan méridien et
le 2nd correspondant à l'inclinaison du rayon incident par rapport la verticale c'est-à-dire à l'angle d'incidence .
↑ En effet les deux faces étant , les deux angles sont égaux en tant qu'angles alternes internes.
↑ Le rayon émergent est dans le plan d'incidence d'après la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction voir la note « 1 » plus haut dans cet exercice et tel que d'après la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction voir la note « 2 » plus haut dans cet exercice ou, avec , d'où .
↑ 11,011,111,2 et 11,3Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes sans que ce soit assuré. René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
↑Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps il fut surnommé « le prince des mathématiciens », on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique » ; en , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagonepolygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ; dans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérèsune planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ; dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur ; certaines de ses importantes contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.
↑ L'écriture signifie que est considéré comme un infiniment petit d'ordre un est un infiniment petit d'ordre voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », nous cherchons un développement de limité à l'ordre un D.L. à l'ordre un de tout ordre doit être éliminé dans une somme.
↑ dépendant d'un produit de facteurs et , le D.L. à l'ordre un de ce produit va être obtenu
tout d'abord en prenant le D.L. à l'ordre un de chaque facteur «»
puis en effectuant le développement du produit, avec élimination de l'ordre deux, d'où «» ;
si, dans le produit de facteurs, l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, pour obtenir le D.L. à l'ordre un de ce produit, il suffit de prendre le D.L. des autres facteurs à l'ordre zéro en effet si étant nul est donc un infiniment petit d'ordre un, prendre un D.L. à l'ordre un de nous conduit à et l'on voit apparaître un ordre deux que l'on doit éliminer car on cherche un D.L. à l'ordre un de , or ce terme d'ordre deux dans provient du terme d'ordre un dans ; si, dans le produit de facteurs, l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, en conclusion il suffit de prendre un D.L. à l'ordre zéro de soit et l'on aura un D.L. à l'ordre un de soit voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet, dans la mesure où on limite le développement à l'ordre un, tout terme d'ordre strictement à un doit être éliminé, c'est donc le cas de qui est un ordre deux.
↑ En effet étant une fonction paire, son D.L. à n'importe quel ordre ne doit contenir que des termes respectant cette parité le D.L. ne contient que des termes d'ordre pair l'ordre un de est nécessairement nul.
↑ Les angles et sont orientés selon la convention précisée sur la figure ci-dessus.
↑ L'angle «» est orienté selon la convention précisée sur la figure ci-dessus.
↑ L'angle de réflexion est orienté selon la convention précisée sur la figure ci-dessus, alors que l'angle d'incidence l'est selon la convention opposée , ceci permettant d'écrire l'égalité des deux angles au lieu d'écrire qu'ils sont opposés selon la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion voir la note « 65 » plus bas dans cette série d'exercices.
↑ Les angles d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, respectivement et , sont orientés selon la convention précisée sur la figure ci-dessus.
↑ On déduit, d'après la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, que le rayon émergent par la face d'entrée est aussi dans le plan de section principale du prisme et comme c'est encore le rayon incident arrivant sur la face de sortie, le rayon émergent par cette dernière est également dans le plan de section principale du prisme d'où le schéma ci-contre où tous les rayons sont dans le plan de section droite.
↑ On remarque que les deux algébrisations sont de sens opposés, ceci étant imposés pour que les formules du prisme soient les plus simples possibles.
↑ Le schéma est fait avec et dans ce cas usuellement tous les autres angles sont positifs avec le choix des sens «» précités sans toutefois que ce soit systématique.
↑ En effet les côtés de cet angle extérieur étant les normales aux faces et les faces faisant un angle entre elles, l'angle extérieur vaut également selon la propriété " deux angles à côtés respectivement sont égaux ".
↑ En effet sachant que la somme des trois angles intérieurs à un triangle est égale à soit ou en transposant l'un des angles intérieurs dans le membre de droite , étant l'angle extérieur associé à l'angle intérieur .
↑ 35,0 et 35,1 La somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3ème angle extérieur à ce triangle.
↑ 36,036,136,2 et 36,3 Comme les espaces d'entrée et de sortie sont les mêmes, c'est-à-dire l'air, l'angle limite du dioptre d'entrée est égal à celui du dioptre de sortie d'où une notation simplifiée .
↑ Plus exactement le rayon intermédiaire fait avec la trace de la face d'entrée sur la section principale.
↑ En effet il suffira que existe quand la réfraction sur la face de sortie est possible, le fait que existe dans le cas où il doit y avoir ensuite réflexion totale sur la face de sortie ne nous intéresse pas.
↑ Ce qui signifie que pour certains angles d'incidence dans le cas où , le rayon intermédiaire ne rencontrera pas la face de sortie
↑ Ce qui est beaucoup moins strict que la condition de réfraction sur la face de sortie que l'on détermine par la suite à savoir avec voir la solution de la question « conditions d'émergence d'un rayon incident » plus loin dans cet exercice ce qui donne numériquement ou ; ainsi pour les valeurs de tel que , n'existe pas et il n'y aura évidemment pas émergence par la face de sortie puisque celle-ci ne sera pas atteinte, alors que pour tel que , existe mais le rayon intermédiaire subira une réflexion totale sur la face de sortie comme nous le verrons par la suite voir la solution de la question « conditions d'émergence d'un rayon incident » plus loin dans cet exercice, ce qui ne nous intéresse pas.
↑ En effet si n'existe pas il ne peut y avoir émergence par la face de sortie.
↑ 42,0 et 42,1 Quand , correspondant à une incidence rasante et quand , correspondant à une émergence rasante , obtenu pour un angle d'incidence .
↑ On constate que l'annulation de pour et fait jouer un rôle symétrique aux grandeurs d'entrée et de sortie ; retenant la symétrisation entre entrée et sortie du prisme lors de cette annulation, il est alors aisé de déterminer la valeur commune de par se réécrivant ; si on applique la loi du retour inverse de la lumière, cette valeur commune correspond encore à l'annulation de de la fonction déviation exprimée en fonction de , l'expression de s'obtenant en permutant et , et , soit .
↑ Un extremum est soit un maximum c'est-à-dire correspondant à pour en étant puis pour en étant , soit un minimum c'est-à-dire correspondant à pour en étant puis pour en étant , soit une valeur stationnaire de définie par l'annulation de avec une monotonie inchangée de part et d'autre c'est-à-dire correspondant à pour en étant puis, après l'annulation de sa dérivée, pour en étant , ce dernier cas étant bien souvent omis en physique car nettement plus rare.
↑ En effet d'une part et d'autre part on regroupe les angles de sortie dans un membre et les angles d'entrée dans l'autre.
↑ On utilise car d'une part puis on y reporte d'autre part ; on fait de même pour au profit de .
↑ Pour cela il faut déterminer le signe de de part et d'autre de ; en utilisant la continuité de , si on détermine le signe de pour une valeur du domaine , ce sera le signe pour toutes les valeurs du domaine, de même pour le domaine ; on détermine alors d'où pour tout et étant au dénominateur précédé d'un signe «» d'où pour tout .
↑ On rappelle que l'indice est une fonction de la longueur d'onde dans le vide .
↑ Dans le cas des petits angles les formules et deviennent les relations de Kepler ; en effet, historiquement Kepler a trouvé ces formules mais sans supposer que les angles étaient petits, c'était donc faux mais le nom est resté ; Johannes Kepler (1571 - 1630)ou Johannes Keppler astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543)chanoine, médecin et astronome polonais et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique.
↑ Ce résultat est généralisé dans le cas d'un prisme d'angle quelconque et d'incidence quelconque dans la question suivante.
↑ 72,0 et 72,1 Cela se traduit physiquement par des « pics de diffusion » c'est-à-dire des accumulations d’énergie lumineuse dans la direction d'un extremum de déviation les rayons émergeant dans cette direction sont donc nettement plus visibles que ceux émergeant dans toute autre direction et à la limite, on ne voit qu'eux.
↑ 73,073,1 et 73,2 Au sens courant d'« éparpillement des directions » et non au sens physique du terme phénomène dépendant de la longueur d'onde.
↑ La dispersion au sens courant du terme obtenue avec deux réflexions internes serait aussi prononcée que celle obtenue avec une seule réflexion interne.
↑ Cela signifie que l'écart entre et est au moins d'ordre deux en , voir le paragraphe « énoncé du théorème de Taylor - Young » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Cela signifie que le 1er terme non nul autre que celui d'ordre zéro du D.L. de la fonction au voisinage de est au moins d'ordre deux soit « à l'ordre deux en ». Brook Taylor (1685 - 1731) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young. William Henry Young (1863 - 1942) est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème ou formule de Taylor-Young.
↑ La dispersion au sens courant du terme étant nulle à l'ordre un en .
↑ La dispersion au sens courant du terme étant non nulle à l'ordre un en .
↑ En effet l'indice de l'eau étant une fonction monotone plus précisément de la longueur d'onde dans le vide, il y a une relation biunivoque entre les valeurs d'indice et celles de longueur d'onde dans le vide d'où, une couleur peut aussi être caractérisée par une valeur d'indice de l'eau.
↑ L'argument de la racine carrée du dénominateur du 1er facteur du 2ème terme de la partie entre accolades se simplifiant à l'aide du remplacement de par selon .
↑ Le terme entre crochets du 2ème terme de la partie entre accolades se simplifiant, après factorisation par selon .
↑ Sur les deux schémas, ont été représentés les rayons incidents situés dans le plan vertical de l'observateur contenant le Soleil ce dernier est donc situé dans le dos de l'observateur et par suite les rayons émergents correspondants se trouvent également dans ce plan.
↑ En effet tout rayon émergent situé sur une génératrice du cône fera l'angle avec la direction incidente, l'ajout de résultant du fait que le rayon se dirige vers le sommet du cône.
↑ 93,0 et 93,1 De plus toute la partie du cône de révolution de cette couleur se trouvant au-dessous du plan horizontal passant par l'œil n'existe pas si ce dernier est au niveau du sol car elle ne peut correspondre à aucun nuage, ces derniers ayant la propriété d'être en altitude et non en profondeur !