Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques

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Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques
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Chapitre no 23
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires
Chap. suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée
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Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou (et) de courant [1].

Sommaire

Résistance équivalente de l'association série de deux conducteurs ohmiques, généralisation à l'association série de plus de deux conducteurs ohmiques[modifier | modifier le wikicode]

Association série de deux conducteurs ohmiques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la même intensité et
......Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des deux dipôles est égale à la somme des tensions et aux bornes de chaque dipôle, soit  ;

......Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par loi d'Ohm en convention récepteur et puis à reporter ces expressions dans soit  ;

......Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique il faut observer que est à et ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit , le cœfficient de proportionnalité étant alors la résistance équivalente.


......Cas particulier : l'association série de deux conducteurs ohmiques de même résistance est un conducteur ohmique de résistance [2].

Généralisation : association série de plus de deux conducteurs ohmiques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la même intensité et
......Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des n dipôles est égale à la somme des n tensions , …, , …, aux bornes de chaque dipôle, soit  ;

......Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par loi d'Ohm en convention récepteur , …, , …, puis à reporter ces expressions dans soit  ;

......Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique il faut observer que est à et ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit , le cœfficient de proportionnalité étant alors la résistance équivalente.


......Cas particulier : l'association série de n conducteurs ohmiques de résistances identiques est un conducteur ohmique de résistance .

Conductance équivalente de l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente[modifier | modifier le wikicode]

Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, conductance équivalente[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en sont soumis à la même tension et
......Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles est égale à la somme des intensités et des courants traversant chaque dipôle, soit  ;

......Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2e forme de la loi d'Ohm en convention récepteur et puis à reporter ces expressions dans soit  ;

......Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique il faut observer que est à et ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit , le cœfficient de proportionnalité étant alors la conductance équivalente.

Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : nous savons déjà que l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques est un conducteur ohmique de conductance équivalente égale à la somme des conductances individuelles soit soit,
......Démonstration : en remplaçant les conductances individuelles par leurs valeurs de résistances associées, égale à d'où,
......Démonstration : en inversant, l'expression de ci-dessus.


......Cas particulier : l'association de deux conducteurs ohmiques de même résistance est un conducteur ohmique de résistance [2].

Conductance équivalente de l'association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en sont soumis à la même tension et
......Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles est égale à la somme des intensités , …, , …, des courants traversant chaque dipôle, soit  ;

......Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2e forme de la loi d'Ohm en convention récepteur , …, , …, puis à reporter ces expressions dans soit  ;

......Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique il faut observer que est à et ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit , le cœfficient de proportionnalité étant alors la conductance équivalente.


......Remarque : il n'y a aucune relation simple sur la résistance équivalente d'une association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques, on procède :

  • par calcul de conductance équivalente et on inverse le résultat pour obtenir la résistance équivalente ou
  • par itération « on associe d'abord deux conducteurs ohmiques pour déterminer la résistance équivalente » puis « on associe cette dernière avec un 3e conducteur ohmique pour déterminer la nouvelle résistance équivalente » et « ainsi de suite jusqu'à épuisement des conducteurs montés en parallèle » [3].

......Conseil : il est impératif de vérifier l'homogénéité des formules même si vous croyez faire des calculs sans erreurs

  • un résultat du type pour la résistance équivalente de l'association parallèle de trois conducteurs ohmiques de résistance respective , et qui serait induit par (fausse) intuition à partir de celui de deux conducteurs ohmiques montés en parallèle
  • ou encore du type
  • ou du type

......Conseil : « sont évidemment faux » puisque « non homogènes » [4].

Méthode générale de la détermination de la résistance équivalente d'un réseau dipolaire résistif, étude d'un exemple[modifier | modifier le wikicode]

Méthode à utiliser avant toute chose[modifier | modifier le wikicode]

......Remplacer les associations en série ou en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent Le plus souvent ce sera la seule chose à faire car le réseau dipolaire purement résistif étudié sera une association de réseaux dipolaires rassemblant des conducteurs ohmiques uniquement montés en série ou en parallèle

......Attention : ne jamais perdre de vue entre quelles bornes on cherche l'équivalence du réseau, toutes les erreurs que l'on peut rencontrer résultent de cet oubli [5].

Méthode à utiliser dans le cas où la résolution de la résistance équivalente par « association de conducteurs ohmiques en série ou en parallèle » n'aboutit pas[modifier | modifier le wikicode]

......Il convient avant toute chose de simplifier le réseau en remplaçant les associations en série ou (et) en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent ; nous supposons que, malgré tout, il existe d'autres associations de conducteurs ohmiques que les associations en série ou en parallèle précédentes [6] qui empêchent d'obtenir un conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire initial.

......Dans la mesure où le réseau dipolaire est purement résistif, on admet qu'il est équivalent à un conducteur ohmique (c'est-à-dire que la tension aux bornes du réseau et l'intensité du courant le traversant sont proportionnelles) ;

......on détermine la résistance du conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire « en imposant un courant d'intensité I » et « en établissant, par utilisation des lois de Kirchhoff, l'expression de la tension aux bornes du réseau U (en convention récepteur) en fonction de et des résistances des composants du réseau », la résistance cherchée étant alors indépendante de [7] car le réseau est effectivement équivalent à un conducteur ohmique [8].

Étude d'un exemple : Pont résistif de Wheatstone[modifier | modifier le wikicode]

Méthode de détermination de la résistance équivalente d'un pont de Wheatstone [9] résistif en imposant un courant d'intensité I et en évaluant la tension U à ses bornes

......On se propose de déterminer la résistance équivalente du réseau dipolaire résistif entre les bornes et , ce réseau ne peut pas être simplifié en reconnaissant des associations en série ou en parallèle car il n'y en a pas [on reconnaît une association triangle entre les nœuds , et , ces nœuds étant reliés directement par les résistances , et [10], ou une association étoile entre les nœuds , et , de nœud central , ce dernier étant relié directement aux trois autres par les résistances , et [11]] (voir ci-contre) ;

......on impose donc un courant d'intensité traversant le réseau dipolaire (entrant par et sortant par et on cherche à exprimer la tension entre les bornes et (convention récepteur) [12] en fonction de et des cinq résistances du réseau à l'exclusion de toutes autres grandeurs ;

......remarquant que [13] et introduisant les courants inconnus traversant les cinq branches (il y a donc cinq inconnues car les tensions aux bornes des branches se déterminent en fonction de ces courants par loi d'Ohm [14]) nous en déduisons  ;

......il reste à déterminer et en fonction de et des cinq résistances du réseau par utilisation de la loi des nœuds équations indépendantes) et de la loi des mailles équations indépendantes) soit :

  • nœud  : on garde et [15], on élimine ,
  • nœud  : on garde et [15], on élimine ,
  • nœud  : on garde et [15], on élimine ,
  • maille  : dans laquelle on reporte et l'équation linéaire aux deux inconnues et suivante ou soit finalement, en prenant l'opposé des deux membres, et
  • maille  : dans laquelle on reporte et l'équation linéaire aux deux inconnues et suivante ou soit finalement, en prenant l'opposé des deux membres,  ;

......il reste à résoudre le système des deux équations linéaires aux deux inconnues et par « méthode de combinaison linéaire » [16]

...... en remplaçant par de façon à éliminer on obtient ou puis

...... en remplaçant par de façon à éliminer [17], on obtient ou  ;

......on forme alors d'où [18] dont on déduit l'expression de la résistance équivalente du réseau dipolaire résitif

.

......Premier exemple : , et , on trouve .

......Deuxième exemple : , et , on trouve .

Utilisation de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiale de la répartition des courants circulant dans le réseau dipolaire résistif pour évaluer sa résistance équivalente[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire avant toute utilisation des lois de Kirchhoff pour déterminer le conducteur ohmique équivalent à un réseau dipolaire purement résistif[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier qu'il n'y a pas d'invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiale [19] sachant que l'éventuel axe de symétrie doit passer par les bornes de connexion du réseau dipolaire et que l'éventuel axe d'antisymétrie est la « médiatrice électrique » du segment limité par les bornes de connexion du réseau dipolaire.

......Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son premier exemple : ayant ainsi que on en déduit que ainsi que c'est-à-dire que l'ensemble des courants d'intensités est invariant par symétrie axiale relativement à l'axe et comme le courant d'intensité est son « propre symétrique » [20], on en déduit que

la « répartition des courants » [21] est symétrique relativement à  ;

......Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son deuxième exemple : ayant ainsi que on en déduit que ainsi que c'est-à-dire que l'ensemble des courants d'intensités est invariant par antisymétrie axiale relativement à l'axe et comme les courants d'intensité en et [points symétriques relativement à sont « antisymétriques » [22], on en déduit que

la « répartition des courants » [23] est antisymétrique relativement à .

Retour sur un premier exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par symétrie axiale de la répartition des courants[modifier | modifier le wikicode]

Exemple d'un pont résistif de Wheatstone [9] ayant pour axe de symétrie de répartition des courants l'axe passant par les bornes d'entrée et de sortie

......La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone [9] ci-contre étant symétrique relativement à l'axe on en déduit que

  • les points et , symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe de symétrie de répartition des courants , sont au même potentiel [24], il est donc possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants et par suite
    ...le réseau dipolaire entre et devient une association série des deux associations parallèles d'une part et d'autre part d'où [25] soit, avec et , le résultat numérique suivant ou,
  • la branche étant perpendiculaire à l'axe de symétrie de répartition des courants , au point d'intersection de cette branche et de l'axe , le courant devant être d'une part perpendiculaire à l'axe et d'autre part le long de cet axe [on rappelle qu'en tout point de l'axe de symétrie de répartition des courants le courant doit circuler le long de cet axe [26]], est d'intensité nulle soit , on peut donc « supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants » et par suite
    ...le réseau dipolaire entre et devient une association parallèle des deux associations série “” d'une part et “” d'autre part d'où ou, avec et , soit, avec et , le même résultat numérique .

Retour sur un deuxième exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par antisymétrie axiale de la répartition des courants[modifier | modifier le wikicode]

Exemple d'un pont résistif de Wheatstone [9] ayant pour axe d'antisymétrie de répartition des courants l'axe passant par les deux nœuds intermédiaires

......La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone [9] ci-contre étant antisymétrique relativement à l'axe on en déduit que

  • les points et , de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants , sont au même potentiel, demi-somme des potentiels extrêmes [27], il est donc possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants et par suite
    ...le réseau dipolaire entre et devient une association série des deux associations parallèles d'une part et d'autre part d'où ou, avec et , [25] soit, avec et , le résultat numérique suivant ou,
  • la branche étant le long de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants , au point d'intersection de cette branche et de l'axe , le courant devant être d'une part le long de cet axe et d'autre part perpendiculaire à l'axe [on rappelle qu'en tout point de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants le courant doit circuler perpendiculairement à cet axe [28]], est d'intensité nulle soit , on peut donc « supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants » et par suite
    ...le réseau dipolaire entre et devient une association parallèle des deux associations série “” d'une part et “” d'autre part d'où ou, avec et , soit, avec et , le même résultat numérique .

Autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique

......Voir exemple ci-contre, chaque portion de fil rectiligne étant de même longueur, de même section et de même matière donc de même résistance notée [29], on cherche à déterminer la résistance équivalente entre et dans cet exemple où, observant d'autres associations que les associations série et parallèle [6] comme des associations triangle [30] ou étoile [31], il serait nécessaire [32] d'imposer un courant d'intensité traversant le réseau et de déterminer la tension entre ses bornes par application des lois de Kirchhoff [33], [34] s'il n'y avait pas une invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiales permettant un traitement beaucoup plus rapide.

......Remarques : On a indiqué le sens du courant traversant le réseau dipolaire [35] pour pouvoir préciser que la répartition des courants dans le réseau est symétrique par rapport à l'axe [36] et antisymétrique par rapport à l'axe [37] mais le résultat est indépendant de ce sens.

......Remarques : tous les points sont des nœuds sauf les points et , on pourrait remplacer les brins et par un seul brin de résistance , de même remplacer les brins et par un seul brin de résistance , mais cela réduisant les apparentes symétrie et antisymétrie n'aurait pas été une bonne transformation.

Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale[modifier | modifier le wikicode]

Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants par repliement le long de l'axe

......Une 1ère façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants est de dire que les points symétriques par rapport à sont deux à deux au même potentiel soit et par suite qu'on peut les relier deux à deux par un court-circuit sans changer la répartition des courants ;

......en pratique cela revient à rabattre la partie supérieure [38] du réseau sur la partie inférieure [39] de ce réseau, voir ci-contre :

  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit ,
  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit ,
  • et étant montées en parallèle, entre et on a une association parallèle de deux résistances soit et
Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, transformation du réseau pour utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants
  • entre et on a une association série de trois résistances soit et finalement
    .

......Une 2e façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants est de dire qu'en un point de l'axe de symétrie, la direction du courant doit être le long de cet axe et pour mieux appliquer cette propriété, on sépare le point C de cet axe en deux points et reliés par un court-circuit perpendiculaire à l'axe (voir ci-contre) ;

......comme au point d'intersection de l'axe de symétrie et du court-circuit perpendiculaire à l'axe, le courant doit être simultanément le long des deux, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants (voir schéma ci-dessous) ;

Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants après transformation
  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit ,
  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit ,
  • et étant montées en parallèle, entre et on a une association parallèle de deux résistances soit ,
  • entre et passant par et on a une association série de trois résistances soit ,
  • entre et passant par et , comme on a la même disposition des mêmes conducteurs ohmiques que dans la partie supérieure, on en déduit et
  • entre et on a une association parallèle de deux résistances soit finalement
    .

Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par antisymétrie axiale[modifier | modifier le wikicode]

Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants par court-circuit des points de l'axe

......Une 1ère façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants est de dire que tous les points de l'axe d'antisymétrie sont au même potentiel moitié des potentiels extrêmes soit et par suite qu'on peut relier tous les points de l'axe d'antisymétrie par un court-circuit sans changer la répartition des courants [40] ;

......on obtient ainsi des associations série et parallèle de conducteurs ohmiques [41] :

  • entre et on a une association parallèle de deux résistances soit ,
  • entre et passant par on a une association série d'une résistance et d'une résistance soit ,
  • de même entre et passant par on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre et passant par d'où ,
  • et étant montées en parallèle, entre et on a une association parallèle de deux résistances soit ,
Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, transformation du réseau pour utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants
  • de même entre et on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre et d'où et
  • enfin entre et on a une association série de deux résistances soit et finalement
    .

......Une 2e façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants est de dire qu'en un point de l'axe d'antisymétrie, la direction du courant doit être perpendiculaire à cet axe et pour mieux appliquer cette propriété, on sépare le point C de cet axe en deux points et reliés par un court-circuit parallèle à l'axe (voir ci-contre) ;

Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants après transformation

......comme en tout point commun de l'axe d'antisymétrie et du court-circuit parallèle à l'axe, le courant doit être simultanément perpendiculaire et parallèle à l'axe, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants (voir 2e schéma ci-contre) ;

......le schéma obtenu étant le même que le 2e établi par utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants, l'évaluation se fait donc exactement de la même façon que celle faite dans le paragraphe « 2ème façon d'utiliser l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale » d'où le même résultat

.

Notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie[modifier | modifier le wikicode]

Convention générateur de la sortie du réseau dipolaire "source + réseau quadripolaire", convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire "réseau quadripolaire + charge"

......Un réseau quadripolaire (R.Q.) est un système électrique relié à l'extérieur par quatre bornes,

  • deux bornes situées à gauche et appelées « bornes d'entrée » entre lesquelles on branche usuellement une « source » et
  • deux bornes situées à droite et appelées « bornes de sortie » entre lesquelles on connecte habituellement un récepteur appelé « charge » (voir ci-contre) :

......le réseau quadripolaire (R.Q.) est dit

  • passif s'il n'y a pas de sources internes, et
  • linéaire s'il n'est constitué que de dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S. ;

......vu des bornes d'entrée le R.Q. fermé sur le récepteur de sortie (ou charge) est un réseau dipolaire passif, on adopte la convention récepteur pour les grandeurs électriques d'entrée de ce R.D.P. tension d'entrée et intensité du courant d'entrée, [en conséquence la source située aux bornes de ce R.D.P. est en convention générateur] ;

......vu des bornes de sortie le R.Q. fermé sur la source d'entrée est un réseau dipolaire actif, on adopte la convention générateur pour les grandeurs électriques de sortie de ce R.D.A. tension de sortie et intensité du courant de sortie, [en conséquence la charge située aux bornes de ce R.D.A. est en convention récepteur].

......Remarque : on « adoptera » [42] les conventions d'écriture suivantes :

  • lettres majuscules pour tension et intensité restant constantes [43] et
  • lettres minuscules pour tension et intensité variant avec le temps,
  • les indices pour l'entrée et la sortie étant a priori en majuscules [44].

Pont diviseur de tension, représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension alimenté en entrée[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un pont diviseur de tension[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation d'un pont diviseur de tension alimenté en entrée par une source et fermé en sortie sur une charge

......Un pont diviseur de tension (P.D.T.) est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension entre les bornes de laquelle deux conducteurs ohmiques de résistances et sont montés en série quand la sortie définie aux bornes de est ouverte (le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte ») mais si cette sortie est fermée sur une « charge » [45], le conducteur ohmique de résistance est en série avec l'association parallèle « conducteur ohmique de résistance et charge de sortie ».

......Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :

  • tension d'entrée et
  • intensité du courant d'entrée  ;

......les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T. est branché soit :

  • tension de sortie et
  • intensité du courant de sortie [46].

Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et en sortie ouverte »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : La sortie étant ouverte ,

......Démonstration : les conducteurs ohmiques de résistance et étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité ,

......Démonstration : la loi d'Ohm [14] appliquée au conducteur ohmique de résistance conduit à et

......Démonstration : celle appliquée à l'association série des conducteurs ohmiques de résistance et à d'où

......Démonstration : en éliminant par , l'expression de la tension de sortie ouverte .

......Commentaires : C'est de cette expression [48] que l'on tire le nom « pont diviseur de tension » (en sortie ouverte) car est la tension aux bornes de et montées en série et la tension aux bornes de [49], tension ne représentant que la fraction de  ;

......Commentaires : si on s'intéressait à la tension aux bornes de au lieu de celle aux bornes de , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension alimenté en entrée par et en sortie aux bornes de ouverte d'où [48].

Générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et vu des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants résistifs du P.D.T. et pour cela on utilise :

  • la loi de maille [52] soit  dans laquelle on élimine par
  • la loi de nœud [53] ou, en explicitant en fonction de par loi d'Ohm [14] , la nouvelle expression de loi de nœud soit

......Démonstration : en reportant dans l'équation de maille ou ou encore soit finalement dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin [50] équivalent au R.D. en convention générateur à savoir

  • de f.e.m. (de Thévenin) [54] et
  • de résistance (de Thévenin) [55].

......Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin [50] équivalent au R.D. « P.D.T. alimenté en entrée par uE(t) et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet :

  • d'une part la f.e.m. de Thévenin étant la tension de sortie ouverte, elle représente la fraction de la tension d'entrée,
  • d'autre part la résistance de Thévenin étant la résistance du R.D. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif [56] c'est-à-dire quand on a remplacé la tension d'entrée par un court-circuit, le R.D.P. « P.D.T. court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance et [57] soit .

Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en sortie ouverte ou par utilisation du modèle de Thévenin de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de tension alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

Pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et fermé sur une charge de résistance Ru[modifier | modifier le wikicode]

......On souhaite déterminer la tension de sortie d'un « P.D.T. alimenté en entrée par et fermé sur une charge de résistance  » en fonction de , des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :

  • Remarquer que est en sur , remplacer cette association parallèle par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D. en sortie ouverte « P.D.T. alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de  » …
  • Remplacer le R.D. « P.D.T. alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par son générateur de Thévenin [50] équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D. en sortie ouverte « P.D.T. alimenté en entrée par , de résistance d'attaque [58] et en sortie ouverte aux bornes de  » …

Première résolution : utiliser la résistance équivalente de « Ru en parallèle sur R1 »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.D.T. alimenté en entrée par uE(t) et fermé sur une résistance Ru, traitement en considérant Réq = R1 // Ru en sortie ouverte d'un P.D.T. alimenté en entrée par uE(t)

......Voir schéma de situation ci-contre :

......On utilise que la résistance de la charge est montée en sur , et on remplace la résistance de l'association parallèle par sa résistance équivalente puis, on considère le nouveau P.D.T. alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de [59] soit

...... ou, en multipliant haut et bas par ,

[60].

Deuxième résolution : utiliser le générateur de Thévenin équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée et vu des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

P.D.T. alimenté en entrée par uE(t) et fermé sur une résistance Ru, traitement en considérant le générateur de Thévenin [50] équivalent [eTh(t), rTh] puis Ru en sortie ouverte d'un P.D.T. alimenté en entrée par eTh(t)

......On remplace le R.D.L. « pont diviseur de tension alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin [50] équivalent de f.e.m. de Thévenin et de résistance de Thévenin et on obtient alors le schéma ci-contre :

......on reconnaît alors un P.D.T. alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de soit : ou, par simplification évidente

[61], [60].

Autres exemples[modifier | modifier le wikicode]

......Ils sont nombreux et pourront être vus en exercices.

......Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. « pont diviseur de tension alimenté en entrée et en sortie ouverte » vérifier que le pont diviseur de tension est effectivement en sortie ouverte ;

......Remarques : reconnaître un pont diviseur de tension permet de résoudre beaucoup plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff [34] alors qu'un pont diviseur de tension existe doit être considéré comme une erreur tactique (même si l'utilisation des lois de Kirchhoff [34] permet d'aboutir au résultat) et cette dernière n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple [62].

Pont diviseur de courant, représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant alimenté en entrée[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un pont diviseur de courant[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation d'un pont diviseur de courant alimenté en entrée par une source et fermé en sortie sur une charge

......Un pont diviseur de courant (P.D.C.) est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par un courant d'intensité traversant deux conducteurs ohmiques de résistances et lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec est court-circuitée (le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée ») mais si cette sortie est fermée sur une « charge » [45], le conducteur ohmique de résistance est en parallèle avec l'association série « conducteur ohmique de résistance et charge de sortie ».

......Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :

  • intensité du courant d'entrée et
  • tension d'entrée  ;

......les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C. est branché soit :

  • intensité du courant de sortie et
  • tension de sortie [63].

Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par iE(t) et en sortie court-circuitée »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème
Pont diviseur de courant alimenté en entrée par une source et en sortie court-circuitée

......Démonstration : La sortie étant court-circuitée ,

......Démonstration : les conducteurs ohmiques de résistance et étant montés en parallèle sont soumis à le même tension ,

......Démonstration : la loi d'Ohm [14] appliquée au conducteur ohmique de résistance conduit à et

......Démonstration : celle appliquée à l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance et à d'où

......Démonstration : en éliminant par , l'expression de l'intensité de courant de sortie court-circuitée  ;

......Démonstration : la 2e expression de en fonction des résistances s'obtient en remplaçant chaque conductance par l'inverse de la résistance correspondante soit .

......Commentaires : C'est de l'une ou l'autre expression [65] que l'on tire le nom « pont diviseur de courant » (en sortie court-circuitée) car est l'intensité du courant traversant et montées en parallèle et l'intensité du courant traversant [66], intensité ne représentant que la fraction de  ;

......Commentaires : si on s'intéressait à l'intensité du courant traversant au lieu de celle traversant , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant alimenté en entrée par et en sortie en série avec court-circuitée d'où [65].

Générateur de Norton équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par iE(t) et vu des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants résistifs du P.D.C. et pour cela on utilise :

  • la loi de nœud [68] dans laquelle on élimine par
  • la loi de maille [52] soit ou, en explicitant en fonction de par loi d'Ohm [14] , la nouvelle expression de loi de maille dont on tire soit

......Démonstration : en reportant dans l'équation de nœud ou ou encore soit enfin dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton [67] équivalent au R.D. en convention générateur à savoir

  • de c.e.m. (de Norton) [69] et
  • de résistance (de Norton) [70].

......Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton [67] équivalent au R.D. « P.D.C. alimenté en entrée par iE(t) et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet :

  • d'une part le c.e.m. de Norton étant l'intensité du courant de sortie court-circuitée, elle représente la fraction de l'intensité du courant d'entrée,
  • d'autre part la résistance de Norton étant la résistance du R.D. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif [71] c'est-à-dire quand on a remplacé le courant d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P. « P.D.C. ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association sériee des conducteurs ohmiques de résistance et [72] soit .

Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en sortie court-circuitée ou par utilisation du modèle de Norton de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de courant alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

Pont diviseur de courant alimenté en entrée par iE(t) et fermé sur une charge de résistance Ru[modifier | modifier le wikicode]

......On souhaite déterminer l'intensité du courant de sortie d'un « P.D.C. alimenté en entrée par et fermé sur une charge de résistance  » en fonction de , des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :

  • Remarquer que est en série avec , remplacer cette association série par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D. en sortie court-circuitée « P.D.C. alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée en série avec  » …
  • Remplacer le R.D. « P.D.C. alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par son générateur de Norton [67] équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D. en sortie court-circuitée « P.D.C. alimenté en entrée par , de résistance d'attaque [73] et en sortie court-circuitée en série avec  » …

Première résolution : utiliser la résistance équivalente de « Ru en série avec R1 »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.D.C. alimenté en entrée par iE(t) et fermé sur une résistance Ru, traitement en considérant Réq = R1 série Ru en sortie court-circuitée d'un P.D.C. alimenté en entrée par iE(t)

......Voir schéma de situation ci-contre :

......On utilise que la résistance de la charge est montée en série avec , et on remplace la résistance de l'association série par sa résistance équivalente puis, on considère le nouveau P.D.C. alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée en série avec [59] soit

...... que l'on peut réécrire selon

[74].

Deuxième résolution : utiliser le générateur de Norton équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée et vu des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

P.D.C. alimenté en entrée par iE(t) et fermé sur une résistance Ru, traitement en considérant le générateur de Norton équivalent [ηN(t), rN] puis Ru en sortie court-circuitée d'un P.D.C. alimenté en entrée par ηN(t)

......On remplace le R.D.L. « pont diviseur de courant alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par le générateur de Norton [67] équivalent de c.e.m. de Norton et de résistance de Norton et on obtient alors le schéma ci-contre :

......on reconnaît alors un P.D.C. alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée en série avec soit : ou, par simplification évidente

[75]{{,} [60].

Autres exemples[modifier | modifier le wikicode]

......Ils sont beaucoup moins nombreux que ceux utilisant les P.D.T. et pourront être vus en exercices.

......Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. « pont diviseur de courant alimenté en entrée et en sortie court-circuitée » vérifier que le pont diviseur de courant est effectivement en sortie court-circuitée ;

......Remarques : reconnaître un pont diviseur de courant permet de résoudre plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff [34] alors qu'un pont diviseur de courant existe doit être considéré comme maladroit et cette utilisation n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple [76].

Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension, représentation de Thévenin équivalente à l'association, théorème de Millman appliqué au cas de deux branches du type « R, V » délivrant un courant d'intensité connue (ou à connaître)[modifier | modifier le wikicode]

Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension et générateur de Thévenin équivalent à l'association[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de deux sources réelles de tension en parallèle délivrant un courant avec choix de convention générateur

......Considérons le montage ci-contre dans lequel on a représenté les sources linéaires non idéales de tension par leur modèle générateur de Thévenin [50] ; vu des bornes de sortie ce R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » est équivalente à un générateur de Thévenin [50] dont nous cherchons la f.e.m. (de Thévenin) et la résistance (de Thévenin)  :

......le plus simple pour l'obtenir passe par la transformation de chaque source réelle de tension en son modèle générateur de Norton [67], [77] à savoir une « association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. et d'un conducteur ohmique de résistance  » [78] puis de remplacer

  • les deux conducteurs ohmiques en parallèle par leur conducteur ohmique équivalent de résistance ainsi que
  • les deux sources de courant parfaites en parallèle par leur source de courant parfaite équivalente de c.e.m. [79] ;

......on obtient alors le modèle générateur de Norton du R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » [c'est-à-dire l'association d'une source de courant parfaite de c.e.m. et d'un conducteur ohmique de résistance [77] et

......il reste transformer ce générateur de Norton en un générateur de Thévenin [50] équivalent pour établir le générateur de Thévenin équivalent au R.D. initial « association parallèle de sources non idéales de tension » [c'est-à-dire l'association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. et d'un conducteur ohmique de résistance [77]].

......Conclusion : le générateur de Thévenin [50] équivalent au R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » a pour

  • f.e.m. (de Thévenin) et
  • résistance (de Thévenin)  ;

......Conclusion : la loi d'Ohm [14] généralisée du générateur de Thévenin [50] équivalent au R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » s'écrit donc, en convention générateur :

[77].

......Commentaires : Le R.D. « pont diviseur de tension alimenté en entrée par avec sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance  » est un cas particulier de ce R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » avec , le générateur de Thévenin équivalent a donc la même résistance (de Thévenin) [80] et sa f.e.m. qui, dans le R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » était une C.L. des f.e.m. des sources, les cœfficients des f.e.m. étant croisés «  pour et pour  » devient, en imposant e2(t) = 0, [81].

Complément : théorème de Millman appliqué au nœud d'où partent deux branches de type « R, V » lesquelles délivrent un courant d'intensité « iS » connue (ou à connaître)[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de Millman doit être considéré comme un complément [82] mais il est très pratique et
permet le plus souvent un traitement plus rapide.
Réseau linéaire tracé en privilégiant un nœud S auquel n'aboutissent que deux branches internes de type (R, V) [83] et par lequel sort un courant d'intensité iS(t), la référence des potentiels étant un point interne M appelé masse

......Il s'agit du résultat du paragraphe précédent réécrit en termes de potentiel du nœud où on applique le théorème de Millman [84] (voir schéma ci-contre) :

......on pourra appliquer le théorème de Millman [84] en un nœud si, arrivent à ce nœud deux branches internes du type [85], [83], la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité  ;
......le théorème de Millman [84] appliqué au nœud permet de déterminer le potentiel du nœud considéré en fonction des deux potentiels et des deux résistances définis sur chaque branche interne ainsi que de l'intensité du courant délivré [86] ;

......l'« association parallèle de deux sources non idéales de tension » délivrant un courant d'intensité satisfait aux conditions d'« utilisation du théorème de Millman au nœud A » si « on choisit la masse en B » (voir schéma du paragraphe précédent) [87] ;

......or ayant établi on peut réécrire cette relation en termes de potentiel car [88] soit ou, en divisant haut et bas par [89], l'expression suivante