Leçons de niveau 14

Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases

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Formules de changement de bases
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Chapitre no 3
Leçon : Repère euclidien non orthonormé
Chap. préc. :Coordonnées covariantes et contravariantes
Chap. suiv. :Produit scalaire
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Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases
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Soit P la matrice de changement de base(matrice de passage) permettant de passer d’une base (e1, e2, … en) à une base (f1, f2, … fn). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f1, f2, … fn dans la base (e1, e2, … en).

Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule qui est :


Xc étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes d'un vecteur u dans la base (e1, e2, … en).

Yc étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes du même vecteur u dans la base (f1, f2, … fn).


Nous insistons sur le fait que pour obtenir cette formule, nous avons dû mettre X et Y sous forme de matrices colonnes.

Essayons alors de trouver une formule concernant cette fois les coordonnées covariantes.

Soit x1, x2, … ,xn, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (e1, e2, … en).

Soit y1, y2, … ,yn, les coordonnées covariantes du même vecteur u dans la base (f1, f2, … fn).

Nous avons par définition :

Si l’on appelle pij le coefficient de la ligne i et colonne j de la matrice P, on a :

En reportant cette relation dans la relation (2), nous obtenons :

Et compte tenue de la relation (1), on obtient :

Pouvons-nous représenter cette relation sous forme de produit matriciel.

Nous voyons que la seule façon possible est celle-ci:

Nous remarquons que nous avons dû cette fois mettre les coordonnées covariantes sous forme de matrices lignes.

Soit Xc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (e1, e2, … en).

Soit Yc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (f1, f2, … fn).

Nous avons alors :


Nous remarquons aussi que, compte tenue de la définition de la matrice P (et si l’on se permet de considérer des matrices de vecteurs), nous pouvons écrire :

Nous voyons que les coordonnées covariantes vérifient la même formule que les vecteurs des bases respectives. Ce qui justifient à posteriori le nom de coordonnées covariantes.

Et nous voyons que les coordonnées contra variantes vérifient une formule opposé par rapport aux vecteurs des bases respectives. Ce qui justifie à posteriori le nom de coordonnées contra variantes.

Nous retiendrons que les coordonnées contra variantes se représentent par des matrice colonnes Xc, Yc et nous avons la formule Xc = P.Yc.

Nous retiendrons que les coordonnées covariantes se représentent par des matrices lignes Xc, Yc et nous avons la formule Yc = Xc.P.

De plus, nous constatons que dans une base orthonormée, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contra variantes. Nous avons donc, dans une base orthonormée, les formules :


Panneau d’avertissement Formules uniquement valables dans les bases orthonormées