Repère euclidien non orthonormé/Coordonnées covariantes et contravariantes

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Nous repartirons de la formule établie au chapitre précédent.

$x_{k}=e_{k}.v$

Nous avons dit que cette formule n’est valable que dans les bases orthonormées.

Essayons malgré tout de voir ce qu'elle peut signifier dans une base qui n’est pas orthonormée.

(Pour simplifier, nous ferons la représentation dans un plan euclidien, mais les résultats restent valables en dimension 3.)

Soit un repère (O, e₁, e₂, e₃) normé mais pas orthonormé. Cela signifie que les vecteurs e₁, e₂, e₃ sont de norme 1 mais ne sont pas orthogonaux.

Soit M un point dans le repère (O, e₁, e₂, e₃) tel que :

${\overrightarrow {OM}}=v$

Soient M₁, M₂, M₃, les projections orthogonales du point M sur les axes du repère.

Nous voyons alors que :

$x_{k}=e_{k}.v=e_{k}.{\overrightarrow {OM}}=e_{k}\left({\overrightarrow {OM_{k}}}+{\overrightarrow {M_{k}M}}\right)=e_{k}.{\overrightarrow {OM_{k}}}+e_{k}.{\overrightarrow {M_{k}M}}=e_{k}.{\overrightarrow {OM_{k}}}=OM_{k}$

Nous voyons que les x_k sont des coordonnées, d’un type inhabituel, obtenues non pas en faisant des projections sur un axe parallèlement aux autres axes mais sont des coordonnées obtenues par projection orthogonale sur les axes.

Peut-on dire que ces coordonnées sont moins légitimes que les coordonnées habituelles ? Définissent-elles moins bien le point M ? Pas du tout, la connaissance de ces coordonnées permet de localiser aussi bien le point M que les coordonnées classiques. Ces coordonnées portent le nom de coordonnées covariantes du vecteur v.

Définition

Soit u un vecteur d’un espace euclidien de dimension n muni d’une base B = (e₁, e₂, … e_n). Les coordonnées covariantes du vecteur u dans la base B sont les nombres x₁, x₂, … ,x_n vérifiant :

$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad x_{k}=e_{k}.u$

Pour différencier les coordonnées habituelles des coordonnées covariantes que l’on vient de définir, nous mettrons l’indice en exposant (selon la coutume) et nous appellerons celle-ci coordonnées contravariantes (nous verrons pourquoi dans le chapitre suivant).

Définition

Soit u un vecteur d’un espace euclidien de dimension n muni d’une base B = (e₁, e₂, … e_n). Les coordonnées contravariantes du vecteur u dans la base B sont les nombres x¹, x², … ,xⁿ vérifiant :

$u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}.e_{k}$