Leçons de niveau 14

Repère euclidien non orthonormé/Coordonnées covariantes et contravariantes

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Coordonnées covariantes et contravariantes
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Chapitre no 2
Leçon : Repère euclidien non orthonormé
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Formules de changement de bases
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Repère euclidien non orthonormé/Coordonnées covariantes et contravariantes
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Nous repartirons de la formule établie au chapitre précédent.

Nous avons dit que cette formule n’est valable que dans les bases orthonormées.

Essayons malgré tout de voir ce qu'elle peut signifier dans une base qui n’est pas orthonormée.

(Pour simplifier, nous ferons la représentation dans un plan Euclidien, mais les résultats restent valables en dimension 3.)


Soit un repère (O, e1, e2, e3) normé mais pas orthonormée. Cela signifie que les vecteurs e1, e2, e3 sont de norme 1 mais ne sont pas orthogonaux.

Soit M un point dans le repère (O, e1, e2, e3) tel que ;

Soit M1, M2, M3, les projections orthogonales du point M sur les axes du repère.

Nous voyons alors que :

Nous voyons que les xk sont des coordonnées, d’un type inhabituel, obtenues non pas en faisant des projections sur un axe parallèlement aux autres axes mais sont des coordonnés obtenus par projection orthogonale sur les axes.

Coordonnées covariantes.gif

Peut-on dire que ces coordonnées sont moins légitimes que les coordonnés habituelles. Définissent elles moins bien le point M. Pas du tout, la connaissance de ces coordonnées permet de localiser aussi bien le point M que les coordonnées classiques. Ces coordonnés portent le nom de coordonnées covariantes du vecteur v.




Pour différencier les coordonnées habituelles des coordonnées covariantes que l’on vient de définir, nous mettrons l’indice en exposant (selon la coutume) et nous appellerons celle-ci coordonnées contra variantes (nous verrons pourquoi dans le chapitre suivant).

Coordonnées contravariantes.gif