Résolution numérique d'équations différentielles/Équations différentielles ordinaires

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définition générale

Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

Par définition, une équation différentielle est une équation de la forme suivante :

$F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0$

où F est une fonction continue sur un ouvert U de $\mathbb {R} \times E^{n}$, appelé domaine, et y une fonction de x.

Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions.

Début de l'exemple

Exemple

Par exemple, l'équation différentielle du second degré:

$y''+y=0$

a une solution générale de la forme :

$y(x)=A.cosx+B.sinx$

avec A, B des constantes que l’on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales.

Fin de l'exemple

L'ordre d'une équation différentielle, parfois appelée degré, est l’ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant.

Équations différentielles ordinaires

Définition

On parle d'équation différentielles ordinaires (parfois abrégée EDO ou ODE) lorsque la solution recherchée est fonction d'une seule variable.

$y=f(x)$ et $F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0$

Un bon exemple reste la Relation Fondamentale de la Dynamique, permettant de définir la position, la vitesse et l'accélération d'un corps solide indéformable dans un système newtonien.

Début de l'exemple

Exemple

${\frac {d(m\cdot {\vec {v}})}{dt}}=\sum {\vec {F}}$

Fin de l'exemple

Dans le cas où la solution recherchée est fonction de plusieurs variables (ce qui est souvent le cas lorsqu'on travaille dans des espaces vectoriels et non sur des valeurs scalaires), on parle d'Équations aux Dérivées Partielles (ou EDP). Dans un premier temps nous bornerons cette leçon sur le calcul numérique à l'étude d'EDO, la résolution d'EDP nécessitant de passer par des formes matricielles.

Un des points intéressant à noter dans le cas des EDO, c’est que la solution obtenue est totalement déterministe, ce qui n’est pas le cas dans le cadre des EDP, où une même équation avec le même jeu de conditions aux limites peut donner des solutions différentes.

Les EDO linéaires

La résolution des équations différentielles linéaires des 1^er et 2^e degré ne posent pas de problèmes particuliers. Elles sont déterministes et ont une solution analytique qui se résout à l'aide des conditions aux limites.

Voir la page Équation différentielle.

Voir la page Résolution d'équations différentielles simples.

Il existe des formules équivalentes pour le 3^e degré.

En revanche, pour les équations différentielles non-linéaires, il existe rarement de solution analytique simple. Trois solutions s'offrent alors pour déterminer une solution:

• utilisation de séries numériques dans certains cas particuliers pour obtenir une solution analytique,
• développement en série de Fourier,
• recherche d'une solution approchée par calcul numérique.

C'est cette dernière méthode qui est la plus fréquemment utilisée dans le cadre de la physique analytique. Elle a été rendue possible par l'évolution de la puissance des ordinateurs, et des calculs numériques qui prenaient auparavant plusieurs heures donnent aujourd’hui des résultats en quelques minutes.