Leçons de niveau 16

Résolution numérique d'équations différentielles/Équations différentielles ordinaires

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Équations différentielles ordinaires
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Résolution numérique d'équations différentielles
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Schémas numériques
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Résolution numérique d'équations différentielles : Équations différentielles ordinaires
Résolution numérique d'équations différentielles/Équations différentielles ordinaires
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition générale[modifier | modifier le wikicode]


Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


L'ordre d'une équation différentielle, parfois appelée degré, est l’ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant.

Équations différentielles ordinaires[modifier | modifier le wikicode]


Un bon exemple reste la Relation Fondamentale de la Dynamique, permettant de définir la position, la vitesse et l'accélération d'un corps solide indéformable dans un système newtonien.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Dans le cas où la solution recherchée est fonction de plusieurs variables (ce qui est souvent le cas lorsqu'on travaille dans des espaces vectoriels et non sur des valeurs scalaires), on parle d'Équations aux Dérivées Partielles (ou EDP). Dans un premier temps nous bornerons cette leçon sur le calcul numérique à l'étude d'EDO, la résolution d'EDP nécessitant de passer par des formes matricielles.

Un des points intéressant à noter dans le cas des EDO, c’est que la solution obtenue est totalement déterministe, ce qui n’est pas le cas dans le cadre des EDP, où une même équation avec le même jeu de conditions aux limites peut donner des solutions différentes.

Les EDO linéaires[modifier | modifier le wikicode]

La résolution des équations différentielles linéaires des 1er et 2e degré ne posent pas de problèmes particuliers. Elles sont déterministes et ont une solution analytique qui se résout à l'aide des conditions aux limites.

Searchtool.svg Voir le cours Équation différentielle.
Searchtool.svg Voir le cours Résolution d'équations différentielles simples.

Il existe des formules équivalentes pour le 3e degré.

En revanche, pour les équations différentielles non-linéaires, il existe rarement de solution analytique simple. Trois solutions s'offrent alors pour déterminer une solution:

  • utilisation de séries numériques dans certains cas particuliers pour obtenir une solution analytique,
  • développement en série de Fourier,
  • recherche d'une solution approchée par calcul numérique.

C'est cette dernière méthode qui est la plus fréquemment utilisée dans le cadre de la physique analytique. Elle a été rendue possible par l'évolution de la puissance des ordinateurs, et des calculs numériques qui prenaient auparavant plusieurs heures donnent aujourd’hui des résultats en quelques minutes.