Résolution numérique d'équations différentielles/Schémas numériques

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Introduction

Afin de résoudre numériquement une équation différentielle ordinaire par une méthode de calcul numérique, il faut trouver une relation qui permet d'obtenir pas à pas les termes suivant lorsqu'une solution est donnée. Dans ce cours nous verrons des schémas numériques pour toute équation du premier degré. La méthode est équivalente pour les équations d'ordre supérieur, à vous de développer un modèle satisfaisant suivant le cas à traiter.

Il n’est pas possible d'extraire un schéma numérique à partir de la formulation implicite de la l'équation différentielle:

$G(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0$ (dans notre cas: $G(x,y,y')=0$)

Il faut en extraire le terme dérivé d'ordre 1; on a alors:

$y'=g(x,y)$

ainsi que les conditions initiales nécessaires: $y'(x_{0})=y_{0}'$ $y(x_{0})=y_{0}$

Développement de Taylor

Soit $h\in \mathbb {R}$ un pas de discrétisation. Par développement de Taylor d'une fonction $f\in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} )$, on a pour tout réel $x$: $f(x+h)=f(x)+hf^{\prime }(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f^{\prime \prime }(x)+\cdots +{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x)+o(h^{n})$,

$f(x-h)=f(x)-hf^{\prime }(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f^{\prime \prime }(x)+\cdots +{\frac {(-h)^{n}}{n!}}f^{(n)}(x)+o(h^{n})$

Alors, on a ainsi aisément accès à une approximation de la dérivation de $f$:

• à l’ordre 1:

$f(x+h)=f(x)+hf^{\prime }(x)+o(h)$ D'où : $f^{\prime }(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+o(h)$

• à l’ordre 2, en combinant les développements de Taylor:

$f^{\prime }(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+{\frac {h^{3}}{6}}f^{\prime \prime \prime }(x)+o(h^{3})$ $f^{\prime }(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+o(h^{2})$

$y$ qui est une fonction de $x$ ne déroge pas à cette règle.

Schémas d'ordre 1, les schémas d'Euler

$y$, qui est une fonction de $x$ ne déroge pas à cette règle.

Soit $h$ un pas de discrétisation, alors on a $x_{n+1}=x_{n}+h$. On aura donc par le développement de Taylor d'ordre 1:

$y'={\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}$

D'où dans le cas de notre équation différentielle: $y'={\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=g(x,y)$ Donc $y_{n+1}=y_{n}+h\times g(x,y)$

Définition

Dans le cas d'une équation différentielle du premier ordre de la forme $y'=g(x,y)$, il est possible de définir un schéma d'intégration d'ordre 1 de la forme

$y_{n+1}=y_{n}+h\times g(x,y)$

permettant d’avoir récursivement accès aux valeurs successives de y. Ce schéma d'intégration s’appelle Schéma d'Euler.