Produit scalaire dans le plan/Exercices/Droite d'Euler

On considère un triangle ABC.

On note G le centre de gravité du triangle.

1. On note A' le milieu de [BC]. On rappelle (et on admettra) que G se situe au ${\frac {2}{3}}$ des trois médianes du triangle.

Exprimer ${\overrightarrow {AA'}}$ en fonction de ${\overrightarrow {AG}}$.

2. Soient O et H deux points quelconques du plan. En introduisant O et H dans la relation du 1°, démontrer que :

$3{\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OH}}+{\overrightarrow {HA}}+2{\overrightarrow {OA'}}$

3. On note à présent H l'orthocentre du triangle ABC (l'intersection des 3 hauteurs)

et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (l'intersection des trois médiatrices).

Démontrer que :

$(3{\overrightarrow {OG}}-{\overrightarrow {OH}}).{\overrightarrow {BC}}=0$

4. Pourquoi peut-on en déduire également :

$(3{\overrightarrow {OG}}-{\overrightarrow {OH}}).{\overrightarrow {AC}}=0$

$(3{\overrightarrow {OG}}-{\overrightarrow {OH}}).{\overrightarrow {AB}}=0$

5. En déduire que :

$3{\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OH}}$

6. En déduire qu'O, G et H sont alignés (sur une droite appelée Droite d'Euler du triangle ABC).

Solution

Correction des deux premières questions :

1. G se situe au ${\frac {2}{3}}$ des trois médianes du triangle. On a donc : ${\overrightarrow {AG}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {AA'}}$

${\overrightarrow {AA'}}={\frac {3}{2}}{\overrightarrow {AG}}$

2. On vient de montrer que ${\frac {3}{2}}{\overrightarrow {AG}}={\overrightarrow {AA'}}$

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

${\frac {3}{2}}({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OG}})={\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OA'}}$

$3{\overrightarrow {AO}}+3{\overrightarrow {OG}}=2{\overrightarrow {AO}}+2{\overrightarrow {OA'}}$

$3{\overrightarrow {OG}}=-{\overrightarrow {AO}}+2{\overrightarrow {OA'}}$

$3{\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OA}}+2{\overrightarrow {OA'}}$

Et, en utilisant une nouvelle fois la relation de Chasles :

$3{\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OH}}+{\overrightarrow {HA}}+2{\overrightarrow {OA'}}$

 

NB : Voir aussi la démonstration avec les nombres complexes.