Produit scalaire dans le plan/Exercices/Droite d'Euler

On considère un triangle ABC.

On note G le centre de gravité du triangle.

1. On note A' le milieu de [BC]. On rappelle (et on admettra) que G se situe au $\frac{2}{3}$ des trois médianes du triangle.

Exprimer $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ en fonction de $\overrightarrow{AG}$.

2. Soient O et H deux points quelconques du plan. En introduisant O et H dans la relation du 1°, démontrer que :

$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$

3. On note à présent H l'orthocentre du triangle ABC (l'intersection des 3 hauteurs)

et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (l'intersection des trois médiatrices).

Démontrer que :

$(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}).\overrightarrow{BC}=0$

4. Pourquoi peut-on en déduire également :

$(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}).\overrightarrow{AC}=0$

$(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}).\overrightarrow{AB}=0$

5. En déduire que :

$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}$

6. En déduire qu'O, G et H sont alignés (sur une droite appelée Droite d'Euler du triangle ABC).

Solution

Correction des deux premières questions :

1. G se situe au $\frac{2}{3}$ des trois médianes du triangle. On a donc : $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$

2. On vient de montrer que $\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

$\frac{3}{2}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OG})=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$

$3\overrightarrow{AO}+3\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$

$3\overrightarrow{OG}=-\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$

$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$

Et, en utilisant une nouvelle fois la relation de Chasles :

$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$

 

NB : Voir aussi la démonstration avec les nombres complexes.