Leçons de niveau 12

Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes

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Applications directes
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Exercices no1
Leçon : Produit scalaire dans le plan

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Droite d'Euler
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Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes
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Calculs avec les coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base orthonormée.

, ,

1. Calculer  ;  ; .

2. Parmi ces vecteurs, y en a-t-il qui sont orthogonaux ?

Coordonnées et angles[modifier | modifier le wikicode]

Dans une base orthonormée :

et

1. Calculer .

2. Calculer et .

3. En déduire une mesure de l'angle en radians puis en degrés.

Dans une base orthonormée :

et

Donner une mesure de l'angle en radians puis en degrés.

Dans une base orthonormée.

et

Donner une mesure de l'angle en radians puis en degrés.

Dans une base orthonormée.

et

Donner une mesure de l'angle en radians puis en degrés.

Vecteur orthogonal[modifier | modifier le wikicode]

Donner un vecteur orthogonal au vecteur .

Droite[modifier | modifier le wikicode]

Soit la droite D dont l'équation dans un repère orthonormé est :

1. Donner un vecteur directeur de la droite D.

2. Donner un vecteur orthogonal à la droite D (vecteur normal)

Droite définie par un point et un vecteur normal[modifier | modifier le wikicode]

Soit, dans un repère orthonormé, la droite passant par et

orthogonale au vecteur .

Déterminer une équation de la droite en notant un point de

et en écrivant que :

Somme de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Soit deux vecteurs et tels que :

1. Développer

2. En déduire la norme du vecteur

Théorème d'Al Kashi[modifier | modifier le wikicode]

Soit ABC un triangle.

1. Démontrer en développant que :

2. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

 ; et .

3. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

 ; et .

Tangente à un cercle[modifier | modifier le wikicode]

Soit le cercle de centre A (1;-1) et de rayon .

1. Démontrer que B(2,0) appartient à .

2. Donner une équation de la tangente à au point B.

Projection et symétrie[modifier | modifier le wikicode]

Soit la droite de d'équation .

  1. Donner une paramétrisation de . On notera un vecteur directeur de .
  2. Soit . Déterminer le projeté orthogonal de sur . Même question pour . Faire un dessin.
  3. Soient , et le symétrique orthogonal de par rapport à .
    1. Montrer que .
    2. Montrer que est orthogonal à .
    3. En déduire les coordonnées de (en fonction de et ).
  4. Soit la droite passant par l'origine et de vecteur directeur . Déterminer le projeté orthogonal de sur ainsi que l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à .

Deux droites[modifier | modifier le wikicode]

Dessiner les droites définies par les équations et . Déterminer leur point d'intersection et l'angle entre elles.